高中数学一元二次函数方程和不等式重点归纳笔记

单选题1、设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.

双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故

面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号

的焦距的最小值：故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2、关于的不等式

的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.由得

，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是故选：C．3、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（

）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.4、已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B5、已知实数满足，则的最小值为(

)A．2B．1C．4D．5答案：A分析：将a-1和b-1看作整体，由构造出，根据即可求解．由得，因式分解得，则，当且仅当时取得最小值．故选：A．6、若，则“”是

“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7、若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（

）A．B．C．D．答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.8、若不等式对任意的恒成立，则（

）A．，B．，C．，D．，答案：B分析：由选项可知，故原不等式等价于，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B9、关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（

）A．B．C．或1D．或4答案：A分析：，利用韦达定理可得答案.关于x的方程有两个实数根，，解得：，关于x的方程有两个实数根，，，，，即，解得：或舍去故选：A.10、若正数满足，则的最小值为（

）A．6B．C．D．答案：C分析：由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C填空题11、若，，则的最小值为___________.答案：分析：根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为:12、已知，，则，的大小关系是________．答案：分析：利用作差法直接比大小.,所以答案是：.13、函数的值域是________.答案：解析：先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数，则，解得：，所以函数的定义域为，设，，则时，为增函数，时，为减函数，可知当时，有最大值为，而，所以，而对数函数在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，，∴函数的值域为.所以答案是：.小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知集合,

,若，则实数a的取值范围为______．答案：分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，，当，即时，，当，即时，，当，即时，，又，，于是得，解得，或，解得，而，则，综上得：，所以实数a的取值范围为．所以答案是：15、若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________答案：或分析：令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；解：因为，所以令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为所以答案是：16、关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．答案：分析：根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.所以答案是：.17、设，，且，则的最小值为___________.答案：分析：由得到，再将化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.因为，所以，所以

，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.所以答案是：小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18、在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．这次事故的主要责任方为________．答案：乙车分析：依题意,分别列出一元二次不等式,求出各车的最低速度,即可求解.解:由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10．分别求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.19、函数的最小值为______.答案：4分析：利用基本不等式直接求解即可因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以答案是：420、设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；

②；

③(a＋b)；

④a2＋9＞6a.其中恒成立的是________(填序号).答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.由于a2＋1－a＝，故①恒成立；由于＝＋＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.解答题21、已知关于x的不等式．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）．分析：（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围解：（1）不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，或；当时，不等式化为；①时，，解不等式得，②时，，解不等式得，③时，，解不等式得．综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为．（2）由题意不等式对恒成立，可设，，则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：，解得：，所以x的取值范围是．22、设函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得；（2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围．解：（1）由题意可知：方程的两