上财数学上册第一章全套教学课件

第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函数、极限与连续高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、区间与邻域三、函数的概念四、函数的几何特性五、反函数六、分段函数七、基本初等函数八、函数的运算九、常见的经济函数一、集合目录/Contents第一节函数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents一、集合1.集合的概念2.集合的运算一、集合(1)某校的学生人数；(3)不等式的解；(2)一元二次方程的解；(4)平面上所有直角三角形.确定对象的集体，称为集合，其中组成集合的每个对象叫做集合的元素.例如:1.集合的概念一、集合对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的.即任何一个对象要么是这个给定集合的元素,要么不是它的元素.一般地,集合用大写的字母A,B,C,X,Y,…表示；如果a是集合A的元素,就说属于,aA记作；就说a不属于A,

记作.a,b,c,x,y,…表示.元素用小写的字母a不是集合A的元素,如果如果集合A中的每一个元素同时也是集合B中的元素,则称A是B的子集或称A包含于B或B包含A,记作或.如果且,则称A与B相等,记作.集合一般有两种表示法:列举法,一、集合即将集合中所有的元素一一列举出来.一元二次方程的解集B,表示为；不等式的解集H,表示为.例如表示为；N可表示为.描述法,即通过刻画集合中元素的性质来说明.1,2,3,4,5五个数字组成的集合A,由自然数集12例如一、集合元素为数的集合称为数集,常见的数集有:自然数集合N,整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C.在这个次序中,前一个集合是后一个集合的子集.由有限个元素组成的集合,称为有限集,如某校的学生人数,一元二次方程的解；称为无限集,如不等式的解,平面上所有直角三角形.不含任何元素的集合称为空集,记作,例如由方程的实根组成的集合,就是一个空集.空集是任何集合的子集.,由无限个元素组成的集合一、集合图1.1,,.图1.1中所示阴影部分分别表示集合有三种基本运算,设A,B是已知的集合,即交,并,差.则称为A与B的交集,记作；称为A与B的并集,

称为A与B的差集,记作.2.集合的运算记作;一、集合含有我们所要研究的全部元素的集合称为全集,并用I表示,则差集也称为A的余集或补集,记作,例如,，.在两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔(Descartes)乘积,设A,B是任意两个集合,则由有序对组成的集合,称为A与B的直积,记作,即.例如,，常记作.则平面上全体点的集合,即为e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents二、区间与邻域1.区间2.邻域二、区间与邻域有限区间：无穷区间：若表示实数集，，当时，且定义各类区间如下：1.区间二、区间与邻域定义1.1设与是两个实数，的实数的全体称为的邻域.若用表示的邻域，其中称为的中心点，称为的半径；而，为的右邻域.，且满足不等式,则的去心邻域，称为称为的左邻域，其中称2.邻域的邻域用数轴形象地表示为图1.2所示二、区间与邻域δδx0-δx0+δxx0图1.2e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents三、函数的概念1.函数的定义2.函数的表示法三、函数的概念所谓变量是指在某一过程中不断变化的量.例如某地的气温；的产量、在任何一种自然规律或任何一个经济活动中，立的，例如，面积与圆的半径的关系为某种产品成本和利润；.世界人口的总数等都是变量各个变量的变化不是孤.而是彼此联系并遵循着一定的变化规律与时间的关系为物理学中自由落体的距离圆的；.1.函数的定义三、函数的概念在上面的关系式，中，变量之间联系的表达式完全不同，但它们却有着相同的本质，即在某个过程中的两个变量是相互联系的,当其中一个变量在某一范围内每取一个值时，另一个变量就按照一定的规律，有唯一确定的值与之对应.变量之间的这种相互依赖关系就是函数的概念，下面给出一元函数（只含一个自变量的函数）的定义.三、函数的概念在不引起混淆时,函数的定义域和值域简记为,.定义1.2设有两个变量和,如果当变量在某非空实数集合内任取一个数值时，变量按照一定的法则（对应规律），都有唯一确定的值与之对应，则称是定义在上的一个函数.记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函数的定义域,记作；因变量，它的取值范围称为函数的值域，记为,即称为变量三、函数的概念从函数的定义中不难看出，定义域与对应规律是构成函数的两个基本要素.如果两个函数的定义域与对应规律都分别相同，则称这两个函数相同.通常函数的定义域就是使函数表达式在实数范围内有意义的自变量的全体.当然，如在实际问题中，还须根据问题的实际意义来确定.【例1】(1).由，(2).由，得，故定义域.得，故定义域.三、函数的概念求下列函数的定义域：

解

解

(3).由故定义域即，得，三、函数的概念

解

.(4).由，.即，得，三、函数的概念

解

故定义域【例2】设，解；.三、函数的概念；求，，.将换成，【例3】设，

解则，于是，三、函数的概念用换元法，令，求.即得三、函数的概念函数的表示法一般有三种：函数的三种表示法各有其特点，则简捷准确，公式法（解析法）、.表格法与图示法表格法和图示法直观明了，而解析法易于运算，便于理论研究.2.函数的表示法公式法三、函数的概念显式的标准形式为，例如，等.隐式的标准形式为，变量的一个解析式，（）.公式法也称解析法，常有显式和隐式两种.就是用解析表达式来表示函数关系的一种方法，是一个含自变量的解析式，这里是一个含自变量与因这里的值和可确定相应的值，由例如1表格法月份t

123456789101112销售量s14416112381845045404590100120三、函数的概念上表表示了某城市大米销售量s随月份t而变化的函数关系.在现实生活中许多函数关系难以用公式来表示，例如一天的气温作为时间的函数，表示这些函数关系就用表格法与图示法.例如某城市一年里每月大米的销售量（单位：万吨），如下表所示:2图示法三、函数的概念这里深度y与测距x的函数关系是用图形表示的.图示法是用图形来表示函数关系的方法，它直观性强.随着计算机的发展，图示法愈来愈得到广泛的使用.例如某河道的一个断面图形如图1.3所示.其深度y与一测岸边o到测量点的距离x的函数关系由下图所示曲线.3Oyxbyxe7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents四、函数的几何特性1.函数的有界性2.函数的奇偶性3.函数的单调性4.函数的周期性四、函数的几何特性1.函数的有界性定义1.3设函数的定义域为，得对于上任意点，显然，直线之间.否则，或称为区间上的无界函数.，区间，若存在正数使都有成立，在区间上有界，则称函数为区间上的有界函数；或称在区间上无界，就称函数上有界函数的图形一定在区间上介于两条平行在区间四、函数的几何特性显然，是有界函数.定义1.4设函数的定义域为，若存在数A，在区间I上有下界.若存在数B，使得对于区间I上任意点x，都有成立，则称在区间I上有上界；，区间I上任意点x，使得对于区间，都有则称有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必1.函数的有界性而函数因为它只有下界而无上界.例如与在定义域内有界，注意函数的有界性与所选的区间有关.例如在内无界，函数在定义域上有界，,因为,.因为内有界.但在在定义域内是无界函数，2.函数的奇偶性定义1.5如果函数的定义域关于原点对称则必），若对每一个，若对每一个，例如，是奇函数,函数，，（为非零常数）既不是奇函数也不是偶函数.显然，原点对称，，（即若成立，都有为奇函数；则称成立，都有.为偶函数则称，函数是偶函数，既是奇函数又是偶函数，函数而函数奇函数的图形关于轴（或）对称.而偶函数的图形则关于因为【例4】判断下列函数的奇偶性：（1）.所以是偶函数.2.函数的奇偶性解

所以是奇函数.（2）.2.函数的奇偶性因为解

因为也不等于，所以既非偶函数，也非奇函数.（3）.既不等于，2.函数的奇偶性解

，3.函数的单调性定义1.6设函数的定义域为，任意两点及，当时，则称在该区间上单调增加（严格单调增加）；则称在该区间上单调减少（严格单调减少）.，区间上若对于区间时，当（）成立，恒有（）成立，恒有3.函数的单调性若在某区间给定函数为单调的，则称该区间为这函数的单调区间.故为函数的单调减少区间，为函数的单调增加区间.单调增加函数或单调减少函数统称为单调函数.例如在内单调减少函数，它不是单调函数.内单调增加函数，在内但在整个定义域图1.4yxO【例5】判断函数的单调性.解当时，3.函数的单调性，恒有.因此，1.4所示.内单调增加，在函数它的图形如图4.函数的周期性定义1.7设函数的定义域为D，使得对于定义域内的任意x，成立，T称为函数的周期.如果T是函数的一个周期，般说的周期指的是最小正周期.例如与都是周期为的周期函数，常数T，如果存在一个非零都有为周期函数.则称2T，3T等也是的周期，则一与都是周期为的周期函数.而【例6】求函数的周期.所以，的周期为.解4.函数的周期性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents五、反函数五、反函数定义1.8设函数的定义域为，都有唯一确定的与之对应，为自变量的函数，，注意到函数，是自变量，是因变量，为.而函数中，是自变量，是因变量，为.，值域为，若对任何，且满足是定义在上以则，记为的反函数.称其为，定义域为值域，定义域为值域五、反函数习惯上，或用表示.显然与互为反函数，值域分别是的值域和定义域.函数与的图形关于直线对称.x表示，自变量用y表示，因变量用可写为因此的定义域和且五、反函数求反函数的步骤是：需要指出，例如，内就没有反函数.只有一一对应函数，一对应..并非所有的函数都存在反函数在定义域函数才存在反函数且反函数也一中解出，先从y互换，x与然后将.即得到反函数【例7】求下列函数的反函数：（1）；故所求反函数为.五、反函数解由得，解之得，（2）【例7】求下列函数的反函数：故所求反函数为.五、反函数解之得，解由得，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents六、分段函数六、分段函数在用解析法表示函数时，表示一个函数，有时需要在不同范围中用不同的数学式子来这种函数称为.“分段函数”其图形如图1.5所示.【例8】求函数的定义域及函数值，

，

，

并作其图形.六、分段函数解它是一个分段函数，函数值：，，；定义域是其各段定；即义区间的并集，图1.5yx12321-1Oy-1-1-2112323-2Ox图1.6【例9】求函数的定义域，并作其图形.，…六、分段函数解这个函数称为取整函数，是一个分段函数，即，它的定义域1.6所示.图形如图的最大整数，不超过表示即【例10】已知函数求.解六、分段函数六、分段函数解根据题意可列出函数关系式如下：【例11】从5:00到23:00间，上海出租车起步费为14元（不超过3公里），超过3公里不超过10公里时，每满1公里，24加价.元，超过10公里时，每满1公里，36加价.元，求出租车费用y（单位:元）与行驶距离x（单位:公里）的函数关系式.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents七、基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数1.常数函数

y=C(C为任意实数)，其定义域为一切实数，如图1.7所示.OxyC图1.72.幂函数①线性函数Oayxb图1.8幂函数(为任意实数)，其定义域随的不同而不同.但不论取何值，总在内有定义，并且图形均经过点.它的图形为一条直线，为其在轴上的截距，（），为直线与轴正向的夹角，如图1.8所示.2.幂函数②二次函数（）其图形为抛物线，顶点坐标为.当时，抛物线开口向上；抛物线开口向下，如图1.9与1.10所示.时，当图1.9图1.10xOyxyO,3.指数函数图1.11，，其定义域为.当时，为单调减函数；当时，为单调增函数.如图1.11所示.Oxyy=10xy=exy=2xy=2-xy=e-xy=10-x有理指数的定义为(其中n,m

为正整数)：3.指数函数在实际中，其中…是一个无理数.，，，，.指数运算的性质，，.e为底的指数函数常出现以，4.对数函数，，以10为底的对数函数记为，记为，，义域为1.12所示.如图称为常用对数，e为底的对数函数而以称为自然对数.其定yOxy=log2xy=lnxy=lgxy=log

x10—1y=log

x2—1y=log

xa—1图1.12根据对数的定义，4.对数函数运算的性质，.可以推出两个常用等式：恒等式.换底公式.5.三角函数三角函数有以下6个：切函数；.余切函数与余割函数的定义域为.正弦函数与余弦函数的定义域为；定义域为；；正弦函数；余弦函数正；余切函数；正割函数余割函数正切函数与正割函数的图1.13图1.145.三角函数这6个三角函数都是周期函数，的最小正周期为；与的最小正周期为.它们的图形如图1.13，1.14所示.yOx

xy=sin-ππxy=cos

-π2—π2—

Oyxπ2πy=tan

xy=cotx-π2—π2—3π2—6.反三角函数图1.16由于三角函数有周期性，因此对应于一个函数值y的自变量x有无穷多个，在整个定义域上三角函数不存在反函数.但我们可以选取适当的区间上考虑反函数.反正弦函数，它是正弦函数在上的反函数.其定义域为，值域为，其图形如图1.16所示.y=arcsin

xyxπ2—-π2—-11O图1.176.反三角函数反余弦函数，其定义域为，在上的反函数.它是余弦函数，值域为1.17所示.其图形如图y=arccos

xyxπ2—π-11O图1.18图1.196.反三角函数反正切函数，它是正切函数在内的反函数.其定义域为，值域为，其图形如图1.18所示.反余切函数，它是余切函数在上的反函数，其定义域为，值域为，其图形如图1.19所示.y=arctan

xyπ2—xO-π2—y=arccot

xyxπ2—πOe7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents八、函数的运算1.函数的四则运算2.复合函数3.初等函数1.函数的四则运算定义1.9设函数的定义域都为，，则它们进行四则运算后仍然是一个函数,且定义域不变(除法运算时除数为零的点除外),其中等号左端括号内表示对两个函数进行运算后所得的函数，的值等于右端的值.而有理函数是由两个多项式函数经过除法运算得到.例如多项式函数是由幂函数经过数乘运算与加法运算得到.函数值的对应定义如下:处它在(1)加法运算.(3)乘法运算.(2)数乘运算.(4)除法运算.2.复合函数例如与构成复合函数；与构成复合函数.定义1.10设y是u的函数，而u又是x的函数，定义域与的值域的交集非空，称为自变量，y为因变量，u为中间变量.中间变量的个数可以多于一个，例如是由与以及复合而成，注意并非任何两个函数都可构成一个复合函数.例如由与就不能构成复合函数，的如果，y是x的复合函数则称，记作x其中.即可以由两个以上的函数经过复合构成一个函数u与v都是中间变量.其中的定义域与的值域的交集是空集.这是因为（1）；【例12】设,,求的定义域.【例13】分解下列复合函数的复合结构：解

最外层是，得故定义域2.复合函数第二层是，内层是.解因为，，由解最外层是，【例13】分解下列复合函数的复合结构：（2）.2.复合函数第二层是，第三层是，内层是.3.初等函数并可用一个式子表示的函数称为初等函数.定义1.11由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成，3.初等函数例如，，等等都是初等函数.例如是分段函数，故也可看作初等函数.形如的函数，称之为幂指函数.由于，因此幂指函数也是初等函数.例如，都是初等函数.通常分段函数不是初等函数，但有些分段函数仍是初等函数.，与都是初等函数，（其中，但它又可表示为e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents九、常见的经济函数1.需求函数2.供给函数3.成本函数4.收益函数5.利润函数1.需求函数市场上某种商品的需求量是指消费者愿意购买品的数量，它与该商品本身的价格、消费者的收入品的价格等因素有关，我们暂且只把需求量（或）看作是该商品本身价格的函数，即，称之为需求函数.一般来说,需求函数是价格的单调减函数.商品价格的上涨会使需求量减少,商品价格的下降会使需求量增加.反过来，需求量也会影响商品的价格，价格也可以表示成需求量（或）的函数，，称之为价格函数.且有能力购买的该商以及与该商品有关的商常用下面的几种初等函数来近似表示需求函数:1.需求函数幂函数,指数函数,线性函数,...2.供给函数类似于需求，响.若不考虑其它因素，看作是该商品本身价格的函数.供给函数是对生产者或经营者而言的.供给必须具备两个条件：售商品的愿望，记作，一般来说，如果商品的价格下降，反过来，的价格，.而当商品的价格上升时，一是有出.二是有可供出售的商品供给也受许多因素的影只考虑价格因素对供给的影响，（或）这时供给量供给函数.称之为是价格的单调增函数.供给函数生产者或经营者获得的利润就减少，生产量就下降，因而供给量降低；.则会导致供给量增加供给量也会影响商品也可以表示成供给量（或）的函数，价格常用下面的几种初等函数来近似表示供给函数:2.供给函数线性函数,.幂函数,.指数函数,.图1.202.供给函数在经济学中，表示供给函数.常用

表在经济领域中，需求曲线与供给曲线的交点称为供需平衡点.所谓“均衡价格”对某种商品的需求量与供给量相等时的价格.当市场价格时，供大于求，商品滞销；供不应求，商品短缺.如图1.20所示.就是指市场上时，当示需求函数，Qd=fd(P)Qs=fs(P)P0QOP3.成本函数成本函数即生产Q单位产品的总成本,包括固定成本和可变成本，即.而称之为平均成本函数，即.固定成本是指支付固定生产要素的费用,包括厂房、机器设备等，它与产量Q无关；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料，工人工资等，它随着产量Q的变动而变化.即单位产品的成本，,记作4.收益函数收益函数即销售Q单位产品的总收益,设产品的单价为P，销售量等于需求量为Q，则收益，这里的P可以是给定的常数，也可以是需求量Q的函数，那么.而称为平均收益，即.即单位产品的收益，,记作5.利润函数售量为Q，利润函数即生产或销售Q单位产品的总利润,设产销平衡，而称为平均利润，即.即产量等于销.显然有利润即单位产品的利润，,记作5.利润函数解设，解得,,由题意得于是需求函数为(台).【例14】若某商品的需求量Q是价格P的线性函数.已知每台售价500元时，每月可销售1500台，如果每台售价降为450元时，每月可增销250台，试求线性需求函数.5.利润函数解当价格时，品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量；【例15】设某商品的需求量函数为，，，当时的需求量和当时的价格.当需求量时，意购买该商品.讨论，需求量表示当价格为零时，消费者对商，价格时，它表示价格上涨到没有人愿5.利润函数【例16】已知某商品的需求函数和供给函数分别为，，求该商品的均衡价格.解由，解得，即，.即均衡价格5.利润函数(1)总成本函数(元).(4)总利润函数(元).【例17】设生产某种产品，固定成本1000（元)，可变成本4(元)，每件售价7(元)，求：（1）总成本函数；（2）单位成本函数；（3）总收益函数；（4）总利润函数.解设产量为Q（件)，则(2)单位成本函数(元/件).(3)总收益函数(元).5.利润函数【例18】生产某种产品，固定成本5(万元)，每多生产1(百台)，成本增加3(万元)，已知需求函数，(其中P表示价格，单位：万元；Q表示需求量，单位：百台)，假设产销平衡，试写出利润函数的表达式.利润函数(万元).解收益函数(万元)，成本函数(万元)，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.集合及映射的概念定义域对应法则3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.基本初等函数2.函数的定义及函数的二要素5.函数的运算6.常见经济函数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函数、极限与连续高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、数列极限的概念三、收敛数列的主要性质一、引例目录/Contents第二节数列的极限或一、引例战国时代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》引用过一句话“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.也就是说一根长为一尺的棒头,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去.把每天截剩下部分的长度记录如下（单位为尺）：第一天剩下；这样就得到一系列剩下部分的长度：；第二天剩下；第三天剩下天剩下.第即无限制地每天截下去,在这个过程中,在数学上称这在解决实际问题时,经常用到这种极限方法,极限作为高等数学中的一种基本方法,很有必要作进一步的详细的讨论.设想无限增大（记为,读作趋于无穷大）,截剩下部分的长度无限接近于.个确定的数是数列当时的极限.一、引例e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、数列极限的概念三、收敛数列的主要性质一、引例目录/Contents第二节数列的极限二、数列极限的概念如：（1）:

,

,

,…,

,…；（2）：,

,

,…,

,…；（3）

:

,

,

,…,

,…；（4）

：

,

,

,…

,

,….数列

可看作是定义在自然数集上的函数：=

,

….1.数列定义1.12按照一定规律,依次排列而永无终止的一列数……称为数列.简记为.其中第项称为数列的通项.不难看出,上面数列（1）与（2）中,通项无限趋向于某个确定的数；而数列（3）与（4）中,通项不趋向于某个确定的数.二、数列极限的概念定义1.13如果数列满足条件上面数列（1）是单调减少的数列,数列（2）（4）是单调增加的数列,而数列（3）则不是单调的数列.称是单调增加的数列；如果数列满足条件称是单调减少的数列.单调增加的数列和单调减少的数列统称为单调数列.二、数列极限的概念定义1.14若存在正数,对所有的都满足,则称数列为有界数列,否则称为无界数列.若存在实数,对所有的都满足,则称数列为有下界数列,是数列的一个下界.同样,若存在实数,对所有的都满足,则称数列为有上界数列,是数列的一个上界.显然,有界数列既有上界,又有下界;反之,同时具有上界,下界的数列必为有界数列.上面数列（1）（2）（3）是有界数列,而数列（4）是无界数列.二、数列极限的概念2.数列极限的定义定义1.15（描述性定义）设数列,当项数无限增大时,如果通项无限趋近于某个常数,则称为数列的极限,记作否则,称数列发散,或极限不存在.二、数列极限的概念【例1】（2）.当无限增大时,无限趋于,因此.考察下列数列当时的变化情况,并用极限形式表示其结果：（1）.当无限增大时,无限趋于,因此.（3）.当按奇数增大时,始终为;当按偶数增大时,始终为,因此,当时,

没有明确的趋势,即（4）.不存在.当无限增大时,也无限增大,且的趋势不是一个确定的数,即不存在,这种情形可记为.二、数列极限的概念若要,即,得,这表示从数列的第项起,以后各项与之差的绝对值都小于.若要,即,得,这表示从数列的第项起,以后各项与之差的绝对值都小于；所谓无限趋近于,即

无限趋近于零.以数列（2）为例作如下分析：对于：二、数列极限的概念若要（其中是任意给定的一个充分小的正数）,即,得,这表示对于项数的以后各项,总有成立.由于是任意给定的充分小的正数,不等式就刻划了无限趋近于这个事实,这样的一个数,称为数列的极限.二、数列极限的概念定义1.16（分析定义）对于任意给定的充分小正数,总存在一个正整数,当项数时,不等式恒成立,则称常数是数列的极限,记作这里记号“”表示任意的,“

”表示存在.注意定义中的刻划与常数的接近程度,刻划充分大的程度；是任意给定的正数,是随而确定的正整数.如果一个数列有极限,则称这个数列是收敛数列,否则就称它是发散数列.,,当时,有,则.为简便起见,上述定义可用下列记号：【例2】用定义验证二、数列极限的概念可见,,当时,有成立,所以解,要使成立,即,取,3.数列极限的几何意义二、数列极限的概念在几何上表示了凡是下标大于的各项所对应的无穷多个点…,全都落在点的邻域之内,而在邻域之外至多只有个点.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、数列极限的概念三、收敛数列的主要性质一、引例目录/Contents第二节数列的极限三、收敛数列的主要性质存在正整数,当时,有；定理1.1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的.证明用反证法.假设收敛数列的极限不唯一,即有,,且,于是对于某个,由可知,同理,由可知,存在正整数,当时,有取,当时,与都成立,矛盾,这就证明了的假设不成立,所以唯一性得证.于是三、收敛数列的主要性质于是有成立,取定,,当时,有例如,,显然此数列是有界的,但它不收敛.因此数列有界只是数列收敛的必要条件.定理1.2（有界性）如果数列收敛,那么数列必有界.证明由可知,对于任意给定的正数,,当时,取,则对一切,有成立.注意根据上面结论,如果数列无界,那么数列一定发散；但是,如果数列有界,却不能断定数列一定收敛.因此收敛数列必有界.三、收敛数列的主要性质则.利用反证法,根据保号性容易得此推论.定理1.3（保号性）若,且（或）,则存正整数,存在正整数,当时,有,即得,从而当时,有（或）.证明就的情形给出证明,由于,于是对于,对于的情况类似可证.推论1.1如果数列从某项起有（或）,且,三、收敛数列的主要性质定理1.4（收敛数列与其子数列间的关系）若数列收敛于,则它的任一子数列也收敛于.证明设是数列的任一子数列.由于,故对于任意给定的正数,存在正整数,当时,有成立.取,则当时,有,于是,得证.定理1.5（夹逼定理）设有三个数列、、,如果,且,则.【例3】求

三、收敛数列的主要性质解因此,由夹逼定理可知由于,且又由于,且三、收敛数列的主要性质定理1.6单调有界数列必有极限.显然,单调增加有上界或单调减少有下界的数列必有极限.【例4】解证明数列

极限存在.三、收敛数列的主要性质由二项式定理,有同理.三、收敛数列的主要性质比较上面两个展开式,容易看出,即说明了数列是单调增加的；又因为表明

有上界；三、收敛数列的主要性质根据单调有界数列必有极限,所以存在,这个数是一个无理数,它的值是.通常用字母来表示它,即e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结

2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性；任一子数列收敛于同一极限3.极限存在判定定理:夹逼定理;单调有界定理.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函数、极限与连续高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数极限的主要性质一、函数极限的概念目录/Contents第三节函数的极限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents一、函数极限的概念1.当自变量

时，函数的极限2.当自变量

时，函数

的极限3.左极限与右极限1.当自变量

时，函数

的极限观察函数和

的图像.图1-21一、函数极限的概念y=arctan

xyπ2—xO-π2—xyO图1-22一、函数极限的概念一般地，我们假设函数在（为某一正数）时有定义，考虑自变量的变化过程为，如果当时，对应的函数值无限接近于某个确定的数值，那么叫做函数当时的极限，精确地说，就有如下定义.定义1.17对于任意给定的充分小正数，总存在一个正实数，当时，有成立，则称是函数当时的极限，记作分析定义)(一、函数极限的概念注意定义中的刻划与常数的接近程度，刻划充分大的程度；是任意给定的正数，是随而确定的正实数.若讨论当时，函数的极限，只须将定义1.17中的改为；函数的极限，只须将定义1.17中的改为即可.时，同样对于【例1】验证..一、函数极限的概念解，要成立，可见，，当时，有成立，只要，取，所以图1.23一、函数极限的概念下面给出的几何意义：对于任给，当时，函数的图形都落在两条直线与之间，定理1.7的充要条件是.，存在正数1.23所示.如图MA+εA-εA-MyOx2.当自变量

时，函数

的极限一、函数极限的概念观察函数和的图像.对于函数的图像(图1-24所示)，当越来越接近时，无限接近于常数，对于函数的图像(图1-25所示)，尽管在处无定义，但当从的左侧或右侧趋向于时，仍无限接近于常数，越来越接近于零.从的左侧或右侧趋向于时，即当.一、函数极限的概念定义1.18（分析定义）对于任意给定的充分小正数，总存在一个小正数，当时，有不等式成立，从上面例子我们看到，自变量是指无限接近于，但，因此在考虑当，函数的变化趋势时，只要在点的某一个邻域（可以除外）内考虑就可以了.一般地，我们考虑自变量的变化过程为，如果当时，对应的函数值无限接近于某个确定的数值，那么叫做函数当时的极限，精确地说，就有如下定义：则称为函数当时的极限，记作一、函数极限的概念注意：（1）定义中的刻划与常数的接近程度，刻划与的接近程度；是任意给定的正数，.是随而确定的正数（2）表示，的极限是否存在与在点处是否有定义以及取什么值都无关.时，即当【例2】.

用定义验证.所以

.一、函数极限的概念解，只要，，当时，有成立，取，，要使可见一、函数极限的概念下面给出的几何意义：对于任给，存在正数，当x落在的邻域内(点可除外)时，函数的图形都落在两条直线与之间，如图所示.yOxA+εA-εx0-δx0+δx0Ay=f(x)3.左极限与右极限一、函数极限的概念如果当时，数当时的右极限.根据左右极限的定义，定理1.8的充要条件是定义1.19（分析定义）对于任意给定的充分小的正数，存在正数，则称为函数当时的左极限；时，如果当成立，有成立，有为函则称显然有下述定理..一、函数极限的概念由上述定理可知，存在但不相等，【例3】解由于在左右两侧的表达式不同，故不存在.设，由如果左右极限中至少有一个不存在或者它们虽然都就不存在了.那么，所以考虑左右极限.求.一、函数极限的概念【例4】解由于在左右两侧的表达式不同，故.设，.与求，由所以考虑左右极限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函数极限的主要性质一、函数极限的概念目录/Contents第三节函数的极限二、函数极限的主要性质定理1.9(唯一性)若当时，函数有极限，定理1.10(局部有界性)若，则在的某邻域内（点可除外），函数有界..则极限值是唯一的二、函数极限的主要性质定理1.11(局部保号性)若，邻域（点可除外），证明就的情形给出证明：由于，，即得，，且的某则存在(或).在此邻域内有，于是对于时，当有得证.可见二、函数极限的主要性质.推论1.2若，(或)，则必有.利用反证法，下面介绍函数极限存在的一个判定定理：定理1.12（函数极限的夹逼定理）设在点的某去心邻域内，，且，的某邻域内（点可除外）有且在.根据保号性容易得此推论有则e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.函数极限的或定义2.函数极限的性质.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函数、极限与连续高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节极限的运算第四节极限的运算定理1.13设,,则有特别（为常数）（1）（3）（2）（）.【例1】解

求

【例2】解...

求

.第四节极限的运算【例3】解

求

【例4】解..

求

.第四节极限的运算令