2024-2025学年山东省临沂市高一年级上册期末模拟数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省临沂市高一上学期期末数学模拟检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知U={xeZk3VxW3},^={-3,-2,1},5={0,1,2},则()

A.{—1,0,1}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-1,0,1,31

2.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智

石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“〉”和“<”，便于不等式

的表示，则命题。:Vx,yeR,(x+4的否定为()

A.Vx,yeR,(x+y)3<x3+y3B.,JGR,(x+j)3>x3+y3

C.Bx,yeR,(x+j)3<x3+y3D.3x,yeR,(x+y)3<x3+j3

1,x>0,

3.已知符号函数sgnx={0,x=0,/(%)是R上的增函数，gW=/W-f(ax)(«>1),则

-1,x<0.

()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]

D.sgn[g(x)]=-sgn[/(x)]

4.甲、乙、丙、丁四位同学分别为四个函数画图象，

甲同学画函数y=）匕的图象，图1；乙同学画函数夕=|2'-1|的图象，图2；

v2-?%

丙同学画函数，的图象，图3;丁同学画函数y二:"的图象,图4。

X2-2X+1

画图正确的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子

都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数

据：1g2。0.3,1g3。0.48）

A.第5代种子B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子

6.已知X[=log32,x2=log1510,x3=log4520,则（）

A.x[<x2<x3B.x1<x3<x2

C.x3<x{<x2D.x3<x2<x[

7.已知定义在R上的函数满足++=/（1）=1,则

2024

»/（〃）=（）

A.-2B.-1

8.已知正实数。力满足a+6=g,则工+乙匕的最小值是（）

3113

12T

二、多选题（本大题共4小题）

9.下列各组函数中是同一个函数的是（）

A./（x）=f+2%与g（^）=t2+2t

l,x>0

-l,x<0

D•/(x)=Jx+1-yjx-l与g(x)=yJx2-1

10.下列命题中正确的是()

A.若x<0,贝!JxH—4—2

X2+2

C.若xeR且xwO,贝(]X+2之2D.x2+-^—>l

VI1

11.意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那

么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一

种特殊的悬链线函数，其函数表达式为coshx=£f,相应的双曲正弦函数的表达式

为sinhx=匚匚.设函数/。）=誓土，则（）

B.函数/（x）在其定义域上是增函数

C.若实数x满足不等式+〃-3）40,则x的取值范围是[-1,2]

D.函数/⑺的值域为（-叫1）

12.已知函数了（无）的定义域为R,且若〃x+y）+/（x）/3=4孙，则

（）

A-/Hh°B.d=-2

C.函数/卜-1是偶函数D.函数/卜+1是减函数

三、填空题（本大题共4小题）

13.已知国表示不大于x的最大整数，A={y\y=x-[x]},B^[y\O^y^m},若

yfN是ywB的充分不必要条件，则机的取值范围是.

14.设函数了=3$吊工与了=1211》在区间（0,%）上的图象交于点p,过点P作x轴的垂线

I,垂足为b,直线/与函数＞=cosx的图象交与点0,则线段0〃的长

为.

15.临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图

所示，。3向。/靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆/和圆3

TT7T

处于图1的状态，简化后如图2,ZCED=-,ZCBD=~,即=4.则彩

图1图2

16.已知函数/（月=占一；工2+1,若于使得不等式

/（4-侬/）+/（川+3〃?）V2成立，则实数。的最大值是

四、解答题（本大题共6小题）

91

log23

17.(1)计算：log23-log34+(1g5)-+1g5-1g20+-1g16-2.

⑵已知人/=2'求比号的值•

sin(兀-6)cos(2兀一。)tan(兀+6)

18.已知〃。）=

tan（一兀一8）sin（一兀一6）

（1）若角。是第三象限角，且sin（。-无）=（,求/（。）的值;

(2)若。为锐角，且(4cos500-tan40°)tan0=1,求/(。)的值.

19.已知a,6w7?且。>0,函数/（x）=-----是奇函数.

4x-a

（1）求a,b的值；

（2）对任意xe（0,+s）,不等式硒x）-70>O恒成立，求实数加的取值范围.

20.已知函数/3=%诒（30）（/>0,0>0切§］的图象过点尸,卷,（）］,图象与尸

点最近的一个最高点坐标为［.,3；

（1）求函数解析式；

（2）若xe,求函数〃x）的值域；

（3）若方程〃x）=2在xe0,y上有两个不相等的实数根a，得，求cos（w-々）的值.

21.2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技

创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企

业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某

项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万

元，每生产x千件该产品，需另投入成本/（x）万元，且

1Ox2+1OOx,0<x<60

厂(x)=8100，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全

90卜+------21980,x>60

.x

年内生产的该产品当年能全部售完.

⑴求出全年的利润G(x)万元关于年产量x千件的函数关系式；

(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润.

22.临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调

性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数>=lnx和了二X2,

虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异.通过观察图像和阅读数学文献，

该小组了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义：设连续函数/(x)的定义域为

[a,b],如果对于回内任意两数%x2,都有〃五产)V4*)；".),则称/⑴为

[凡句上的凹函数；若〃七强”也皆9,则/(x)为凸函数.对于函数的凹凸

性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式(Jensen不等式)：若/(x)是

区间可上的凹函数，则对任意的X]=X2h-=X"e[a,b],有不等式

/卢+9+.••+%)<"”小2)+…+〃斗)恒成立(当且仅当西=%=…=X“时等号成

nn

立).小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运

用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数

〃x)=4和对数函数g(x)=log°x,研究函数的凹凸性.

1—X

rX.X.X”

(1)设再，/，…，天〉°，几22,且可+%2+…+%〃=1,求%---+-----+•••+-----的最小值.

]—X[1—%2]—玉

111、〃

⑵设叱2,…力,为大于或等于1的实数，证明初+於+…而彳F(提

示：可设々=炉)

(3)若0>1,且当xe(O,l]时，不等式g(mx2+x)«0恒成立，求实数加的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

【详解】由。=卜eZ|-3<x<3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},

/U8={-3,-2,1}U{0,1,2}={-3，-2,0,1,2},

所以用(/U2)={T3}.

故选：B.

2.【正确答案】D

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题。:Vx,yeR,(x+yf>/+艮的否定为三尤，yeR,(x+y)3<x3+/.

故选：D.

3.【正确答案】B

l,x>0

【详解】试题分析：本题是选择题，可以用特殊法，符号函数sgnx={0,x=0,/(x)

—1,x<0

是R上的增函数，g(x)=/(x)-/(ax)(a>l),不妨令〃x)=x,a=2,则

g(x)=/(x)-/(ox)=-x,sgn[g(x)]=-sgnx,所以A不正确，B正确，

sgn[/(x)]=sgnx,C不正确，D正确；

对于D,令/1(x)=x+l,a=2,贝！|g(无)=/(尤)-/(ox)=-x,

1,X>—1

sgn[/(x)]=sgn(x+l)={0,x=-l

—1,x<—1

-1,x>0-1,x>-1

sgn[g(x)]=sgn(-x)={0,x=0,-sgn[/k力=-sgnS+I)={0,x=-l,所以D不正确；

l,x<0l,x<-1

故选B.

考点：函数与方程的综合应用

【思路点睛】符号函数或者说函数的新定义问题是高考中一类常考题目，此类题目

一般难度不是很大，但想做出来也是很复杂的.所以做此类题目一定要弄清楚新定

义函数的意思，然后根据函数的意义及性质，逐步进行解题.此题中新定义的函数

sgn,是分段函数的形式，且给了我们另一个函数g(x)以及与的关系，利用函数

的性质代入即可得到所求答案.

4.【正确答案】D

【详解】对A,令^=1=0,无解，而图像上与x轴有交点，故错误，

X-1

对B,令=则2<1=1,此时x=l,而2=1=_1，无实数解，故直线>=1

应与函数图像只有一个交点，故B错误，

对C,令x=l,则y=ln(亚故C错误；

对D,根据尤2-2x+l=(尤-Ip20,根据分母不为0,贝！JxWl,

x2-2x1I根据。得号节>。，

y=-------------=l----------------d-2x+l>

—2x+1/—2x+1

则--7<0-贝~~-+l<l，故图中上边界正确，

x-2x+lx-2x+l

首先乂=x2-2x+l=(x-l)2,尤Hl,易知其关于直线x=l对称，且在xe(-00,1)上单调递

减，在xe(l,+⑹上单调递增，则%=一二~xwl的图像也关于直线x=l对称，

且在xe(-8,1)上单调递增，在xe(l,+s)上单调递减，再将其图像关于x轴对称，得

到%=~~7，其图像关于直线x=l对称，且在xe(T»,l)上单调递减，在

xe(l,+s)上单调递增，最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当尤=0

时，y=o，故D正确，

故选：D.

5.【正确答案】C

【详解】设第x代种子的数量为15入，由题意得15-21()7,得x^logVO,+l.因为

1g1077

log107+l=+1=------------+1+1-6.9,故种子数量首次超过1000万

l5lgl5Ig3+lg5Ig3+l-lg2

粒的是第7代种子.

故选：C.

6.【正确答案】B

„,b+mb嘤W>o,即

【详解】若S>0,贝！J

a+maa(a+m)a+ma

e_lg2lgl0_lg2+lg5x21g2+lg5

而再0=

=log32=——,x2lgl5-Ig3+lg5'三一21g3+lg5

lg3

又因为lg3>lg2>0,lg5>0,

斫以x-坨2+坨5八_lg2*_21g2+lg5_lg2

Ig3+lg5lg321g3+lg5lg3

_lg2+lg521g2+lg5_Ig5(lg3-lg2)

乂X?_XR=------------------------------------------=------------------------------7>U,

Ig3+lg521g3+lg5(Ig3+lg5)(21g3+lg5)

所以马>X3,

所以X]<三<%.

故选：B.

7.【正确答案】C

【详解】因为〃1)=1,由〃x+y)+〃x-y)=〃x)/(y),

令y=l,则〃x+l)+〃x_l)=〃x)〃l),

即f(x+l)+/(x-l)=f(x),得/(x+2)+f(x)=f(x+1),

两式相加得〃x+2)+/(x-l)=0,则有〃x+3)+/(x)=0,即式x+3)=-/(x),

则有/(x+6)=_/a+3)=/(x),所以函数的一个周期为6,

令x=l,y=O,则/⑴+/⑴=/(1)/(0),得40)=2,

令x=l,y=l,贝!|/(2)+/(0)=”1)/(1),得/(2)=—1,

又/(x+3)=_/*),得〃3)=-/(0)=-2,/(4)=-/(l)=-h

〃5)=-"2)=1,〃6)=-〃3)=2,

所以/。)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=1-1-2-1+1+2=0,

由周期性得£〃〃)=3371(1)+〃2)+〃3)+/(4)+/(9+H9]+/0+；(2T4=(.

n-1

故选：C

8.【正确答案】B

【详解】•・・。+6=:，

2

.•.2〃+26=5两边平方得：4/+4/=25-8仍，

75

'：a+b=—,

2

2Q+2+2b+1=8,

a22b22a22b2

---------1----------------------1-----------

。+12b+12。+22b+1

\(2a1+非I]。"2)+1)]

8[2a+2

£2a2+2/(26+1)+2b2(2a+2)+2bl

82a+22b+1

_1252/（26+1）2/（2Q+2）

-82a2a+226+1

>-[--4ab+2,2「2

8（2

=------Aab+4ab

*2)

25

一记‘

当且仅当2/(26+1)=2/(2a+2),等号成立，故金十二匕的最小值为

2a+226+1(z+12b+l16

故选：B

9.【正确答案】AC

【详解】关于选项A,因为对应关系和定义域一致，所以A是同一个函数;

关于选项B,因为/(x)的定义域为xwl,g(x)定义域为xeR,定义域不一致,

所以B不是同一个函数；

关于选项C,因为对应关系和定义域一致，所以C是同一个函数；

[x+1>0「、

关于选项D,因为/⑶的定义域为可得xe1,+”，

[x-l>0

2

g(x)定义域为x-l>0,.-.xs(-co,-l]u[l,+oo),

定义域不一致，所以D不是同一个函数.

故选:AC

10.【正确答案】ACD

【详解】x<0时有一x>0,贝UxH—=—f—xH'j<-2^—x—=-2,

当且仅当-X=,，即x=-l时等号成立，A选项正确;

-X

等号成立的条件是4^=7^

即*+2=1,显然不能成立,

Vx+2

Y2+3

故2的等号取不到，B选项错误;

G+2

若xeR且X/0,贝!]x+一

X

当且仅当国=1，即x=-l或x=l时等号成立，C选项正确;

x2+-^—=x2+l+—~-1>2

—1=1,

x2+lx2+l

当且仅当即.。时等号成立，D选项正确;

故选：ACD

11.【正确答案】BC

xx

_-e2j-l2

【详解】依题意,eet

e2x+l--e2j+l

对于A,/(1)==二，A错误；

e+1

对于B,函数〃x)的定义域为R,显然函数y=e2，+l在R上单调递增，

2

函数y=b匚在R上单调递减，因此函数/a)在R上单调递增，B正确;

e+1

对于c,显然〃一x)=34s4=-/(幻，则不等式

e+e

/(12x-l|)+/(-3)<0«/(|2x-l|)</(3),

由选项B知，|2x-l|<3,解得TVxV2,因此x的取值范围是[T2],C正确；

22

对于D,e2l+l>b则即有因此函数的值域为

e+1e+1

(-1,1),D错误.

故选：BC

12.【正确答案】ABD

【详解】令x=:、k0,则有/：£|+/„/(0)=/；曰[1+/(0)]=0,

又/g>0，故1+/(。)=0,即〃0)=-1,

令x1、L；，则有也-卜唱/「小卜一卜

即/'(0)+/1]4-3=一1,由/'(O)=T,可得一曰=°，

又/g>0，故/(一：]=0,故A正确；

令y=-g，贝U有m=4rx]_?,

即/=故函数是奇函数，

有/(x+1-J=-2(x+1)=-2x-2,即/(X+；］=_2x_2,

即函数/1x+J是减函数，

令x=l，有/g］=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

13.【正确答案】［1,+<»)

【详解】对于集合/={PB=工-［灯},不失一般性我们不妨设左Wx<左+lQeZ),

此时由［x］的定义可知，有OVy=x-［x］=x-笈<1,

所以［={>|y=x-［x］}={川OVy<1},

若N是的充分不必要条件，则AB,

所以机的取值范围是［1,+s).

故答案为.［1,+°0)

14.【正确答案】1

【详解】由函数>=35m丫与夕=1211%在区间(0,1)上的图象交于点尸，设

则3sin%=tanx°,得cosx°=g,此时求出的看即为点尸的横坐标，所以直线/方程为

X=%0，

又直线/与函数〉=cosx的图象交与点。，所以。点横坐标为公,

将X=x0代入y=cosx,可得y=cosXo=g,所以点Q坐标为,

所以线段。”的长为;.

15.【正确答案】46T

TT

【详解】ZCED=-,则。为。/的直径，连接CD,如图所示,

2

则△8。为等边三角形，CD=4,

。/的半径为2,03的半径为4,

TT

阴影部分的面积为O/的半圆面积减去03中圆心角为§的弓形面积，

贝"阴影部分的面积为S=[=£_：><4义4*4]=46_4，

21622J3

故46-红

3

16.【正确答案】8

【详解】构造函数g(x)=〃x)--：)，

乙IJ.乙乙IJ.乙

因为g(x)+g(-x)=x2(a_；)+&士一)=《3+昼_1]=0,

所以函数g(x)是奇函数，

当％2>项>0时，

2*2>2』>1=2向+1〉2』+1>2^0<^———-<———-<0

2冷+12X'+1222必+122为+12

2町+122国+12

因为％2>再>0,所以x；>x；>0,

因止匕0，

所以有g(x)<o(x>o),g(x2)<g(xj，因此此时函数g(x)单调递减，而g(0)=0,函数

g(x)是奇函数，所以函数g(x)是实数集上的减函数，

f+f^m2+3m)<2=>/(4-ma^-1<-[/(m24-3m)-1]

ng(4一加Q)<—g(加2+3加)=g^-m2-3m)=>4-ma>-m2-3m,

因为加E[1,4],所以由4-加a>-m2-3m^>m24-3/7?+4>ma，---1-3,

m

4

令=m-\---i-3,mG[1,4],

m

当1(加<2时，P(加)单调递减，当2〈冽《4时，夕(加)单调递增，

因为0(2)=7,p(l)=p(4)=8,；.p(m)在[24上的最大值为8,

要想土〃«1,4],使得不等式/(4-加°)+/(/+3加)42成立，只需a<8,则实数。的

最大值是8

故8

17.【正确答案】(1)1(2)4

【详解】(1)原式=log23-21og32+(lg5)2+lg5(lg2+l)+；.41g2-3

=2+lg5(lg5+lg2)+lg5+21g2-3=2+2lg2+21g5-3=l.

1_1I

(2)+a=4a+—j==2,

+4+2

2+2)

所以原式=一一----二4

2-1

a+--\

a

18.【正确答案】(1)歧

5

⑵一！

sin(7i-0)cos(2TI-0)tan(TI+0)_sin6cos6tan6

【详解】（1）〃。）=-COS0

tan（一兀一8）sin（一兀一6）-tan0sin0

因为。是第三象限角，且sin（8-兀）=1,所以sin6=-；

则cos0=-V1-sin20=~~~~

所以/（e）=羊

（2）方法一:

.__s。/•s。^八。4sin40°cos40°sin40°

4cos50-tan40=4sm40-tan40=------------------------------------

cos40°cos40°

2sin(120o-40o)-sin40°

cos40°

V3cos40°+sin40°-sin40°_6

cos40°

;.tane=J==也，又。是锐角，所以6=2

V336

贝U/(^)=-cos~=~~~~

七、/十—."/八。..._._4sin40°cos40°sin40°

方法一：4cos50no-tan40=4sm40o-tan40o=------------------------------------

cos40°cos40°

2cos10。-sin(30°+10°-cosl0°--sinl0°

22

cos40°cos40°

(h1)

——cos10°——sin10°

(22=父>

=V376

cos40°

_1_V371

「.tan。=，又。是锐角，所以。

73-T6

贝U/(^)=-COS~=~~~~

19.【正确答案】（1）a=b=\；（2）m>2.

【详解】解：（1）因为〃%）是奇函数,所以=,

即2-2H+S-4)(4'+4")=0恒成立,

b-a=0

2-2仍=0'解得"八1；

(2)不等式阻(%)-/§)>0

22

oM+广）-。+^）＞°对任意xe（0,+8）恒成立,

42-1

令

£+1

(r+l)2/+1+2/,2t2

贝U加----------------------=1Vi=i-f对恒成立,

t2+l*+1

「k二T在，＞1时，单调递减，力+二1"

tt

.•.”2.2,的取值范围为［2,+00）.

20.【正确答案】（1）/（x）=3sin2尤咛；（2）一年＞3

(3)

【详解】⑴根据〃x）最高点可知/=3.

《唱,0为〃x）的零点，与P点最近的一个最高点坐标为7,3

71E271_

=—,1=71,CD=——=2,

471

所以/(x)=3sin(2x+9).

4i]=3sin^+^=3,sinB+^=1,

,71717171571717171

由于一5<“<于一不<"+§</=夕+§=于?=%

所以/(x)=3sin(2x+器

/c、兀//兀兀八兀/5:括,.乙71A,

(2)——<x<—,----<2x+—<——,--------<sin2x+—k1,

433662(6广

所以/（X）在区间-上的值域为一号,3

/、八717tA兀5%

(3)0<x<—<2x+—<——，

3666

2

屋的两个解为Xj，Z，

则巴士6"+彳f=2关苫,

—IO%2+8OOx—6200,0<x<60

【正确答案】⑴G(x)=；"与1]5780,丑6。

21.

(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元

【详解】(1)当0cx<60时，G(x)=900x-(10x2+100x)-6200=-10x2+800x-6200,

当xN60时，G(x)=900x-|901%+^^-21980|-6200=-[1+1578(,

-10x2+800x—6200,0<x<60

所以G(x)=((8100

—XH-------+15780,%>60

IX

(2)若0<x<60,贝I]G(x)=-10(x-40y+9800,当x=40时，G(x)1mx=9800；

若M60,G(x)=-^+^^^|+15780<-2^7^^+15780=15600,

当且仅当x=2手，即x=90时，等号成立，此时6(x^=15600.

因为15600>9800,所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.

22.【正确答案】(I)」―

n-1

(2)证明见解析

(3)-l<m<0.

【详解】(1)记函数/(x)=J,首先证明其凹凸性：

1—X

]]

Vx1Tx2e(0,1),则=l-xti-x2-------1

1

_1-51+1--2_________2_+_4(1_演)(1_X2)_[(1一芯)一(1--2)]

2(1—X])(1一%2)1_/+1—.2(1—再)(1_%2)(1—项+1—工2