2024-2025学年山东省枣庄市高二年级上册11月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省枣庄市高二上学期11月月考数学检测试卷

第I卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的）.

1.已知直线^=》005'+1,则这条直线的倾斜角。的取值范围是（）

【正确答案】D

【分析】由已知直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线倾斜角

的范围.

【详解】直线了=》（：05，+1的斜率左=（：056€|-1』].

因为直线的倾斜角为a,（0<a<兀）,则tanae[—1,1],

兀37r)

根据正切函数的性质可得ae0,-u

_4

故选：D.

2.直线。与人的方向向量分别为工=（2,1,—3）和3=1—1,1,—g],则。与力的位置关系是

（）

A.平行B.垂直C.相交D.重合

【正确答案】B

【分析】判断向量工、[的关系，即可得出直线。与b的位置关系.

【详解】因为直线。与b的方向向量分别为2=（2,1,-3）和]=I

则)j(-l)+i㈢=。，所以，"，则

故选：B.

3.己知直线4：办+(。+2)歹+1=0,/2：G—J+2=0,若4〃/2，则。的值为().

A.0B.-3C.0或-3D.2或-1

【正确答案】C

【分析】根据两条直线平行，列式求解即可.

【详解】由题意ax(—l)=a(a+2),则。=—3或0,

经检验，a=-3或0时，满足两直线平行.

故选:C.

4.过点(3,2)且垂直于直线x-2y+1=0的直线方程为()

A.2,x—y—4—0B.2x—jv+4—0

C.2x+y-8=0D.x-2y+4=0

【正确答案】C

【分析】利用两直线垂直的充要条件及点斜式计算即可.

【详解】若直线与X-2y+l=o垂直，则其斜率为"=一［=-2,

2

又该直线过(3,2),根据点斜式有y—2=—2(x—3),整理得2x+y—8=0.

故选：C

5.圆Y+V—4x—4y—10=0上的点到直线x+y—14=0的最大距离是().

A36B.872C.18D.672

【正确答案】B

【分析】求出圆的圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式计算，判断直线与圆的位置关系,

即可求解.

【详解】因为圆x2+y2—4x—4y—10=0,即(x—2『+(y—2『=18,

所以圆心坐标为（2,2）,半径厂=3夜,

|2+2-14|I-

因为圆心到直线x+。—14=0的距离d=।]--------।=5j2>3V2r,

V12+I2

所以直线x+y—14=0与圆（x—2）2+（y—2『=18相离，

所以圆/+/—4%—4了—10=0上的点到直线x+y—14=0的最大距离为

d+r=5&+3亚=8万

故选：B.

6.点尸（x,_y）是直线Ax+.v+4=0（左>0）上动点，PA,网是圆C:/+/一2^=。的

两条切线，A,B是切点，若四边形面积的最小值是2,则k的值为（）

A.72B.C.D.2

23

【正确答案】D

【分析】根据切线的性质可知当圆心到P的距离最小时，四边形上45。的面积最小，列方程

求出k的值即可.

【详解】圆2>=0=炉+5—以=1,圆心为C（0,l）,半径尸=1,

设圆心C到直线Ax+y+4=0的最小距离为d,

则四边形上48c面积的最小值2Sj'c=2>gxl>J"—1=[屋―1=2,

又左>0,k=2.

故选：D

7.如图，已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱长为2,AC=BC=1,NACB=90。，点D是

AiBi的中点，E是侧面AAiBiB（含边界）上的动点，且有ABi，平面CQE,则直线CiE与

侧面AAiBiB所成角的正弦值的最小值为（)

c

VioVio

25To-

【正确答案】c

【分析】取AS1上靠近用的四等分点为F,由题设可得G。LAB1，利用空间向量证得

4811DF,由线面垂直的判定可证幺4，平面GDE，进而确定线面角正弦值最小时E的

位置，即可求得答案.

【详解】取3片上靠近A的四等分点为F,连接DE,此时48]±平面QDF,

证明如下：

因为直三棱柱48C—481cl中侧棱长为2,AC=BC=\,ZACB=90°,。是的中点,

所以CQ，面AA[B]B,48]u面AA[B&,则CAD±ABX,

以G为坐标原点，分别为X轴，y轴，z轴建系；

111—.—111

所以1（1,0,2）遇（0,1,0）,0（5亍0）,尸（0,1刁,即2）,。下=（7亍5）,

此时=即C〕DcDF=D,

所以/月，平面GDE,由u面/4用8,易知：△CQE上QE边的高为G。，

综上，动点E在线段上，且要使直线CiE与侧面AAiBiB所成角的正弦值的最小，只需E、

F重合，则0厂=、5,

12

故直线CiE与侧面AAiBiB所成角的正弦值的最小值为丝=回.

CF5

故选：C

8.已知直线x-2y+a=。与圆。：/+『=2相交于A,B两点，则“口=石”是

“CM，08”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据题意，联立方程组，结合韦达定理求出%+为和％%,再根据向量垂直时的坐

标表示，求出实数。，即可求解.

/、/、fx-2y+a=0_,

【详解】设2（石,%），8（%,%），联立＜2”2°，得5/_4。了+/_2=0,

x+y=2

因此弘+了2=：，由A=16/—20（1—2）＞0,解得片＜10.

0AJ_OBox/2+必％=0，（2%-a）（2%―4+歹跖=0，

即5%为一2。（乂+8）+。2=°，；.5x“52-2axg+a?=o,解得。=±逐­

故‘a=后”是"CM±08”的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.

9.直线/过点（0,3）与（一2,6）,则直线/的方程可以是（

A.3x+2y=6B

-/片1

c.y_6=_/[x_(-2)]D.y=x+3

【正确答案】AC

【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项.

【详解】由直线/过点（0,3）与（—2,6）,

6-33

则直线/的斜率左=-------=-

-2-02

则直线方程的点斜式为y-6=-万卜-（-2）］,C选项正确；

其一般式为3x+2y—6=0,即3x+2y=6,A选项正确；

截距式为二+2=1,B选项错误；

23

3

斜截式为y=—］X+3,D选项错误；

故选：AC.

10.已知圆a：（x—iy+y2=4,圆。2：（x—5）2+歹2=4加，下列说法正确的是（）

A.若加=4,则圆已与圆。2相交

B,若加=4,则圆与圆2外离

25

C.若直线x—y=0与圆Q相交，则加〉工-

D.若直线x—y=0与圆相交于/,N两点，贝”儿小|=理

【正确答案】AC

【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.

【详解】解：圆a：（x—iy+/=4的圆心a（i,o）,半径。=2

22

若加=4,O2:（x-5）+y=16,则圆心。2（5,0）,半径为=4,则QQ=4,耳+%=6,,—*=2,

所以卜一臼<。］。2<4+4,则圆与圆。2相交，故A正确，B错误;

若直线x—y=0与圆&相交，则圆心Q(5,0)到直线x—y=0的距离d=Y

<,解

25

得7〃>---,故C正确；

8

若直线x—y=o与圆相交于M,N两点，则圆心a(l,o)到直线X—y=o的距离

1=卑1=也，所以相交弦长

\MN\===V14，故D错误.

V222

故选：AC.

11.如图，在正方体4BCD-481G3中，点P在线段BA上运动，则下列判断中正确的是

A,平面542。，平面ZCD］

B.平面NC，

C.异面直线4P与所成角的范围是［o，m

D.三棱锥A-APC的体积不变

【正确答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质，结合三棱锥的体积性

质逐一判断即可.

【详解】分别以£>/］、D©、为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

对于A：设边长为1,则于(1,0,0)中(1,1,0)6(0,1,0),A(0,0,0),/(1,0,1),3(1,1,1),

C(0,1,1),£>(0,0,1),

所以丽=(-1,-1,1)用=(l,0,l),^C=(0,1,1),

B、D•Z)/=_]+]=0----►----»----►----►

因为_____L，所以4。，幺44。，幺。，即40，。14g。，。。，

5^-^^=-1+1=0

又2。,。/u平面NCR,所以直线为0,平面ZCR,又BQu平面BBQiD,

所以平面58]D[D_L平面/CZ>i,故A正确；

对于B：因为点P在线段BG上运动，所以设甲=加m，me[0,1],则点

e[0,1],

则乖=(加—1,1,加)，由选项A可知：平面/CD1的法向量为瓦方=(T,—LD，

因为瓦万•[>=—(加—1)—1+加=0,又4P(2平面NCR,所以直线4。〃平面/cq,

故B正确；

对于C：4P=(m-l,l,m),西=(—1,0,—1),设异面直线4。与ZD1所成角为

L兀-

a,a€I0,—,

所以4尸|l-2m|

cosa=

J(m-l)2+l+m2-A/2

因为加£[0,1],所以当加=工时，coscr=0,

2

1

m2-m+.—

4

因为加2_+—ef0,-,所以cosajo,-,综上costze0,-,所以

4I2)「4」I2」L2j

故C错误；

对于D：因为BCJ/AD^点P在线段8。上运动，所以点P到直线ADX的距离不变,即AAP1

的面积不变，

又因为点C到平面ADXCXB的距离恒为;耳C,所以点C到平面APDX的距离不变，

所以三棱锥C-/P口的高不变，所以三棱锥C-APQ的体积为定值，

所以，D「APC=「C-APD、为定值，故D正确.

故选：ABD

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知向量：=(1,3,-2),3=(1,0,-2)且£+23与£—疡垂直，则k的值是.

Q

【正确答案】-##1.6

【分析】两向量垂直，它们的数量积为零，据此即可求k的值.

【详解】a+26=(3,3,—6),a-kb=(1-k,3,2k-2),

因为Z+2B与£—左石垂直，

所以(a+2b),(a—左b)=0,即(3,3,—6),(1—k,3,2k—2)=0,

Q

即3(1—%)+9—6(2k—2)=0,解得左=].

Q

故答案为

5

13.函数歹=%一%的图象与函数＞=/匚^的图象有两个交点，则实数加的取值范围是

【正确答案】（-72,-1]

【分析】画出函数歹=X-%的图象与函数y=Jl—f的图象,结合图象求得加的取值范围.

【详解】解：y=，即r=1——（了之。），即/+必=1320）,

表示圆心在原点，半径为1的圆在x轴上方的部分（含点（±1,0））,

令△=4掰*一8（加*一1）=0,解得加=±行，

由于函数歹=X-%的图象与函数y=的图象有两个交点，

结合图象可知，加的取值范围是-1，即加1].

故1]

14.在平面直角坐标系内，已知2（-1,0）,5（2,0）,动点/满足黑=；,且M在直线

奴-y-2a=0上.若满足条件的点M是唯一的，贝叱=.

【正确答案】土立

3

【分析】由已知求得动点附的轨迹以（-2,0）为圆心，2为半径的圆.根据直线与圆的位置关系

可求得答案.

工，化简得

【详解】解：设动点M的坐标为（xj）,由题意得

2

(X+2)2+V2=4,

动点M的轨迹方程为（x+2『+y2=4,表示以（—2,0）为圆心，2为半径的圆.

又附在直线依一歹-2a=0上，且满足条件的点M是唯一的，.•.直线与圆相切，且切点为

\-2a-2a\、巧

所以一/二2,得3。2=1，a=±—•

yja2+13

故答案为.土里

3

四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.如图，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，AB=a,AD=1,^,E为A1D1的中点,

F为BCi与BiC的交点.

（2）化简历i+丽+西，并在图中标出化简结果.

【正确答案】（1）DB,=a—b+c,BE=—aH—b+c,AF=a—b—c；（2）DA,,

12221

图中标注见解析.

【分析】（1）利用空间向量加、减法法则可得出方瓦、BE，/关于万、5、己的表达式;

（2）结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】（1）DBi=DC+CB^=DC+BB[-BC=a-b+c,

BE—BA.+AAXA.,E——aH—b+c,

112

AF=AB+BF=a+-Cb+^=a+^b^c；

2、122

(2)DDi+DB+CD=DDx+(DB+CD^=DDi+CB=DD^+I\4i=DAi

如图，连接DAi,则西即为所求.

DiG

16.已知三角形ABC的顶点C（4,3）,边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,点

（1,—2）是边AB的中点.

（1）求边AC所在直线的方程；

（2）求点B的坐标.

【正确答案】（1）2x+y-ll=Q

【分析】（1）由边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0得到边AC所在直线的斜率,

利用点斜式写出方程即可；

（2）设点B的坐标为（后,%）,由点（1,-2）是边AB的中点，可得点A的坐标，点B在直线

BH上，点A在直线AC上，联立方程组即可求得%,%值，从而得解.

【小问1详解】

因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,

所以边AC所在直线的斜率为-2,且经过点。（4,3）,

所以边AC所在直线的方程为y—3=-2（x—4）,

即AC所在直线的方程为2x+j-ll=0;

【小问2详解】

设点B的坐标为（工0，%）,

因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,

又因为点（1,-2）是边AB的中点，

所以点A的坐标为（2—x。,—4—%）,

由边AC所在直线的方程为2x+7-11=0,

所以2(2—x0)+(―4—%)—11=0,即2x0+y0+11=0,

17

2xo+%+n=O/曰%=一"5~

由＜将＜

x0-2j/-5=021

0%=~

（1721

所以点B的坐标为［~

JT

17.如图，在三棱锥尸—N8C中，ZABC=-,AO=CO,PA=PB=PC.

2

（1）证明：OP_L平面48C；

（2）若PA=6AB=6BC,E是棱BC上一点、且2BE=EC,求二面角C—PZ—E的大

小.

【正确答案】（1）证明见解析

7

【分析】（1）根据题意，证得OP1ZC和OPLOB,利用线面垂直的判定定理，即可证得OP1

平面ABC.

（2）由（1）,得到08,0C,0尸两两垂直，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，分

别求得平面上或和尸2。的一个法向量为万=（2石,-6,1）和3=（1,0,0）,结合向量的夹角

公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：连接08,因为R4=PC,Z0=C0,所以。

7T

因为/ABC=—,Z0=C0,所以80=Z0,

2

因为P4=PB,所以AP40三APBO,则/尸。/=/?。8,所以。P_L05,

因为08I/C=。，且08,/Cu平面48。，所以OPL平面45c.

【小问2详解】

解：由题设45=5。，又因为。为/C的中点，所以05，/。，

由（1）,可得03,0C,0P两两垂直，

以。为坐标原点，08,0C,。尸所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，设。4=1,因为PA=61AB=6BC，由题意易得ZC=

所以APZC为正三角形，可得尸（0,0,、回）,2（0,—1,0）,C（0,1,0）,

因为2BE=EC,所以所以Q=（0,l,g）,左=（g,g,0

n-AP=y+A/3Z=0

设平面尸/E的法向量为万=(x/,z),则|.24

n-AE=-x-\"—v=0

[33.

令z=l,则y=-x=2,所以方=(2j§\-,

又由平面尸NC的一个法向量为之=。,0,0),

设二面角C-0/-£的平面角为，，且。为锐角，

所以cos0^cos伍砂=里^网=立，可得。=£

1、〃\n\-\a\1x426

7T

即二面角C—PA—E的大小为一.

6

18.如图，在棱长都为2的平行六面体中，NDAB=60°，点A'在底面上的投影恰为AC与BD

的交点。；

(1)求点C到平面A'AB的距离；

(2)求直线ZC'与平面所成角的正弦值.

【正确答案】(1)2包

7

(2)叵.

14

【分析】(1)根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果；

(2)由线面角的向量求法计算即可得出结果.

【小问1详解】

由题意可知，底面48CD为菱形，可得2。，30,

依题意08,00两两垂直，故以点。为坐标原点，以刀，砺，方为x轴，了轴，z轴的

正方向建立空间直角坐标系，如下图所示:

D'

易知。(0,0,0),/(百,0,0),3(0,1,0),。卜6,0,0),Q(0,—1,0)/(0,0,1)

就=卜2百,0,0),方=(—也,1,0),衣=(―6,0,1)；

设平面A'AB的法向量为五=(阳y,z),

n-AB=0f-V3x+y=0

则〈—.即＜厂,，

n-AAr=0[-j3x+z=0

据此可得平面的一个法向量为：百=0,也,也),

又易知不省,0,0)

点C到平面A'AB的距离d=k^cl=会2V&2T.

同7

【小问2详解】

设直线AC与平面B'BD所成角为，,平面B,BD的法向量为m=(z,j,k),

又丽=(0,2,0),砺=/=(—6,0,1)

n-DB=0f2j=0

则＜___,即〈厂.,

in-BB'—0i—J3z+左=0

据此可得平面B'BD的一个法向量为m=(1,0,6),

又而=就+/=13百,0,1)

/——.\|[应zc]V21

因止匕sin。=cos(m-^Cj=-——,*=----,

-、〃\m[\AC'\14

故直线AC与平面B,BD所成角的正弦值为叵.

14

19.已知点尸(1,3),圆O:/+/=4.直线/与圆。相交于A、B两点，|/同=26.

(1)若直线/过点尸，求直线/的方程;

(2)①若线段AB的中点为。，求点。的轨迹方程C；

②过点P作直线加与曲线C交于两点M、N,设。(1,0),。河、QN的斜率分别为勺、k2,求

证：左+左2为定值.

【正确答案】(1)x=l或4x—3.v+5=0

(2)①犬+丁=1；②证明见详解

【分析】(1)根据题意分析可知：圆心。到直线/的距离d=1,分析讨论直线的斜率是否存

在，结合点到直线的距离公式运算求解；

(2)①分析可知=即可得方程；②设直线