2024-2025学年山东省高三年级上册12月数学阶段性检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省高三上学期12月数学阶段性检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.若集合/={-2,-1,0,1,2},8=x_g<x<2,则NC8=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

2.若）=（X,1）,B=（2,X—1）,则“x=2”是“方〃尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数=在上的最小值为（）

A.0B.1C.-+1D.e-1

5.已知数列{。〃}满足：％=加，加为正整数，。〃+1=<2'〃,若2=2,则

3c1n+1,当〃〃为奇数时

加所有可能的取值的集合为（）

A.{2}B.{16}C.{2,16}D.{2,4,16)

Y2+3

6.已知xeR,则〒^=的最小值为()

G+2

D.亘

A.1B.72C.2

2

71

7.已知。>0,若函数〃x）=sinCOXH---在（0,兀）上有且只有两个极值点，则公的取值

6

范围是（）

（47]「471（7101「710-

133J|_33」（33」1_33」

8.祖眶，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖曜在数学上有突出的贡

献，他在实践的基础上，提出了祖眶原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，

被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这

2

两个几何体的体积相等.已知双曲线。:/一匕=1,若直线歹=0与X=2在第一象限内与

3

双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为

C.5兀D.6兀

二、多选题（本大题共3小题）

9.设a,6eR,若”例>0,则下列结论正确的是（）

A.b-a>0B.b+a>0C.a2-h2>0D.a3+h3<0

10.设4/2为复数，则下列结论中正确的是（）

A.若L为虚数，则马也为虚数

zi

B.匕闻二卜司

C.若k+i|=l,则㈤的最大值为血

D.By4汗+㈤

11.已知函数〃x）的定义域为RJ（x）的图象关于y=x对称，且〃X+D为奇函数，则

A./(1)+/(0)=2B./(x)+/(-x)=2

C./(/«)=%D./(2024)=-2024

三、填空题(本大题共3小题)

12.若sin(e+工)=/，贝!]cos(g-a)=.

336

13.在等腰直角V48c中，已知48=/C=6,若。,E满足诙=2而，诟=的,C。与BE

交于点P,则万在万上的投影向量的模为.

14.已知函数=卜+若对任意的看,》2e(0,+oo),且x^x2,都

有必止"4>0成立，则正实数。的取值范围是___________.

X]—x2

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知正项数列｛叫满足%-。用=2%%(〃eN"),且%=1.

(1)证明：数列为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵证明.力出+a2a3+…+。〃%+1<g

16.记V/3C的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知土a=sm(/0.

csinC

⑴求A；

(2)。是8c上的点，AD平分/BAC,且40=2,BC=3,求V48c的面积.

17.如图，已知等腰梯形4SC£>,NB=4,C£>=6,/D=右,E,尸分别为的中点，沿

线段跖将四边形/瓦切翻折到四边形EFNM的位置，点尸为线段NC上一点，且满足

NP=-NC.

3

(1)证明：3P〃平面EEW；

(2)设二面角的平面角为。(0<6<兀)，在四边形/£7叫翻折过程中，是否存

在6,使得机与平面E3P所成角的正弦值为誓，若存在，请说明理由.

18.已知函数/(x)=ax+xln[l+|^-(l+x)ln(l+x).

⑴若曲线》=/(x)在点(OJ(O))处的切线与x轴平行，求。的值；

⑵设函数g(x)=M(£|,给出g(x)的定义域，并证明：曲线y=g(x)是轴对称图形；

(3)证叩+4e-(〃eN*)

19.对于一个“元正整数集§=｛1,2,…,n｝,如果它能划分成]个不相交的二元子集

｛%,。｝，=1,2,-一,|^的并集，即$=｛%,可｝。｛?也｝。…5,且存在后eN*,使得

%+6产3*,则称这个偶数"为可分数.例如，由于二元子集｛1,2｝满足1+2=3,则称2

为可分数.

(1)判断4和6是否为可分数，并说明理由；

(2)求小于81的最大可分数；

(3)记小于3"(〃eN*)的可分数的个数为为，令b”告,记S”为数列也｝的前”项和，

3

证明.s〃<5

答案

1.【正确答案】B

【详解】依题意，^05={-2,-1,0,1).

故选：B

2.【正确答案】A

【详解】&〃B=x(x-l)=2,解得：x=2或x=-l,

所以“x=2”是“1〃的充分不必要条件，

故选：A

3.【正确答案】B

【详解】由/(x)=e，-x,求导可得/■'(x)=e=l,令/卜)=0,解得尤=0,

当T<x<0时，f(x)<0,/(无)单调递减；

当0<x<l时,r(x)>0,/(x)单调递增.

所以〃可3=7•⑼=L

故选：B.

4.【正确答案】C

x-1

【详解】函数y=/(x)e=Jcosx的定义域为R,

e"+1

-x_ii_x

f(-x)=-e-*<05(-；0=」e^0立=-/(X)，函数〃x)是奇函数，其图象关于原点对称,

e+1e+1

排除BD；

e2―1

而/(2)=方一cos2<0,排除选项A,选项C符合题意.

e+1

故选：C

5.【正确答案】C

【详解】依题意，“”是正整数，

当与是奇数时，%=3%+1=2,无解；当名是偶数时，4*=2,解得%=4；

当。2是奇数时，。3=3出+1=4,解得。2=1，显然可不可能为奇数，否则。2=3%+1为

偶数，

因此q为偶数，%/=1，解得%=2；

当的是偶数时，%=4=4，解得。2=8,若可为奇数，则％=3%+1=8,无解,

若可为偶数，则出=3=8，解得%=16,

所以机所有可能的取值的集合为{2,16}.

故选：C

6.【正确答案】D

2,〔1

【详解】令J—+2=1/后，则/一=JY+2+I~^==t+—，

“+2Vx+2t

而函数V=t+:在［啦,+8)上单调递增，

所以当仁血，即x=0时，4A取得最小值逑.

6+22

故选：D

7.【正确答案】A

兀兀

【详解】由函数/(x)=sina)x+—，则求导可得/'(X)=GCOSCf)X-\—

66

令f'(x\=0,解得刃x+巴=巴+左兀(左EZ),化简可得x=-^-+如(左£Z),

623(oco

27rIT47r

当左=一1时，占=----；当左=0时，x=—；当左=1时，x=—；当上=2时,

3。23a)33。

7兀

27r7T八4兀袅八解得夫。吟

由题意可得一尹＜0,0＜生＜兀0＜—〈兀，

3co3a)3a)

故选：A.

8.【正确答案】D

2

【详解】双曲线C:/-匕=1在第一、三象限的渐近线/:®-y=0,

3

过点。作轴于A,交直线/于点c,

在线段N0上任取点P,作尸5，/轴于3,交双曲线及直线/分别于点D,E,

依题意，点。(2,3),C(J§,3),令点尸(2,"),0W〃W3,〃(尤】㈤,E(x2,办)，

则"1+3"十2,点叱绕『轴旋转一周所得同心圆面积分别为叫IM，

对应圆环面积口;-心；=兀为定值，由祖胞原理知，平面封闭图形OCQ”绕了轴旋转

一周

所得几何体的体积匕等于底面半径为1，高为3的圆柱的体积，则匕=叱3=3兀,

所求体积的几何体可视为矩形O/QN绕y轴旋转一周所得圆柱体积%减去匕,

再减去RbCMC绕V轴旋转一周所得圆锥体积匕，而K=7cx22x3=127r.

匕=；x兀x(6)2x3=3兀，

所以所求的体积为%-匕-匕=6兀.

故选：D

9.【正确答案】BC

【详解】由。一例＞0,可得0＞同20,

对于A,由于。＞网26,所以6-a〈0,A错误；

对于B,由于。＞码2-6,所以6+a＞0,B正确；

对于C,由于。＞码20,所以”2＞M，则/一62＞O,c正确;

对于D,由于。＞|6|N-6,所以/＞_/，/+g3＞0,故口错误.

故选：BC

10.【正确答案】ABD

12———

【详解】对于A,因为一=一为虚数，为4为实数，所以马为虚数，所以马也为虚

zi44

数，所以A正确；

对于B,设马二〃+Zri,Z2=c+片(。,仇GDER),贝!J

Z]-z2=(Q+Z?i)・(c+di)=(〃c-bd)+(〃d+6c)i,

zx-z2=(c-d\\=(ac+bdU(^c-ad1,

所以E•z2|=^ac-bd^2+^ad+bc^=yl(ac)2+(bd)2+(ad)2+(be)2,

22222

|^-z21=(ac+bd^+(be-ad)=)+)+)+),

所以2囚二卜司，所以B正确，

对于C,当4=-2i时，满足|4+i|=l,此时㈤=2＞四，所以C错误；

对于D,设4/2对应的向量分别为OZ1,OZ2,则由向量三角不等式得

|西_区卜囤卜体

所以I4-Z2Iqzj+㈤恒成立，所以D正确,

故选：ABD

11.【正确答案】BC

【详解】对于A,由〃x+1)为奇函数，得〃x+l)+/(r+l)=O,则/⑴=0,

由“X)的图象关于N=x对称，7(0)=1,因此〃1)+/(0)=1,A错误；

对于C,点(xj(x))关于丁=》的对称点是(/(尤),x),由〃x)的图象关于y=x对称，

得点(〃x),x)在函数“X)的图象上，/(/(x))=x,C正确；

对于B,由〃x+l)为奇函数，得于(X+1)+〃T+1)=0,/(2-/(x))+/(/(x))=0,

于是“2-/(x))=-x,即点(2-/⑴,-X)在函数/(x)的图象上，

则点(r,2-7(x))在函数〃x)的图象上，因此〃-x)=2-/(x),BP/(x)+/(-x)=2,B

正确；

对于D,由/(X+1)+/(T+1)=0,得/(尤+2)+/(-无)=0,而于㈤+〃T)=2,

贝I]f{x+2)-/(x)=-2,因此/(2024)=/(2024)-/(2022)+/(2022)-/(2020)

+-••+/(4)-/(2)+/(2)-/(0)+/(0)=-2x1012+1=-2023,D错误.

故选：BC

12.【正确答案】亚4百

33

【详解】由sin(6Z+—)=-，得cos(—-<z)=cos[—~(a+=sin(a+4=-.

3362333

故也

3

13.【正确答案】3

【详解】依题意，以点A为原点，射线/8,/c分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐

则/(0,0),3(6,0),C(0,6),由AD=2DB,AE=EC,得。(4,0),E(0,3),

由点尸在BE上，设AP=25E=（-6/l,3；l）,则点尸（6-6432）,

于是丽=（2-6尢32）,而觉=（一4,6）,由点P在CD上，得加〃皮,

因此6(2-6㈤=-4x32,解得2=］1,点尸(3,；3),—/尸=(33,n，又—42.=(6,0)

\AP-AB\

所以N在冠上的投影向量的模为

\AB\3

故3

14.【正确答案】（0,e]

［详解］g(x)=xf(x)=(x-l)ex-a—+xlnx-x求导可得g'(x)=xe"-aInxex,

令yxefO,令%（t）="alnf,求导可得〃«）=宁，令〃（。=0,

当0<，<a时，则单调递减；

当a<f时，则单调递增.

所以，⑺脸=a-alna,即g^x）^=a-a1na,

由题意可得函数g（x）单调递增，则g'3mln=a-alna20,

由a>0,贝!Jl-lna〉0,解得0<a«e.

故答案为.（0,e]

15.【正确答案】（1）证明见详解，氏=二二，“eN*

2n-l

（2）证明见详解

【详解】（1）由题意得。”>0,«„+1>0,

因为一a”.=2%+~“eN"）,所以=2,又一=1,

an+\ana\

因此，数列]:，是以1为首项，2为公差的等差数列；

IJIij—=1+（H-1）X2=2H-1,

%

所以"〃=C]，HGN*.

2〃一1

11（11A

（2）由（1）得：“心=（2"一1）（2〃+1）=5〔—}

所以的2+叩3+…+*—一?+!}一口+…+（占土1」

-2C2n+lJ<2'

JT

16.【正确答案】(l)/=§

(2)—

2

【详解】(1)因为j=sm、-8),由正弦定理得sinC-sin8=sin(4-2),

csinCsinCsinC

所以，sinC-sin5=sin(^4-5),

在VZ3C中,sinC=sin(/+3),

所以，sin5=sin(4+5)—sin(4—5)=(sin/cosB+cosZsin5)一(sin4cosB-cos4sin4)

=2cossin5,

因为A、5G(O,7i),所以，sin5>0,cosA=—故4=—.

v723f

(2)由题意可得S^ABD+SMCD=S/\ABC,

所以，—c-ADsm—+—b•^Dsin—=—Z?csin—,即—(/?+(?)=，

2626232V74

所以，b+c=—be，

2

因为q=3,由余弦定理可得。2=62+/—»。馆51=/+。2—庆=9+。)2_%。，

即7%2-36c=9,整理可得伍c『-4bc-12=0,

因为6c>0,解得bc=6,因此，VN3c的面积为/的,=：6csinN=.

17.【正确答案】(1)证明见解析

(2)存在，理由见解析

2

【详解】(1)在线段板取一点0,使得NQ=]NF,

—►2—►2

因为NP=NC,所以PQ//FC,^PQ=-FC,

因为产。=J。。=3,£5=,45=2,EB//FC,

22

2

所以所以EB//PQ,且£8=尸。，所以四边形£8尸。是平行四边形，

所以BP//EQ,由于3尸（z平面EFM,EQu平面所以8尸〃平面EFM.

N

(2)存在，理由如下：

因为等腰梯形分别是的中点，

所以EFLFN,EFLFC,FNcFC=F,FN,FCu：^^NFC,

所以所，平面NFC,以下为坐标原点，网,/力所在直线分别为x轴,

z轴建立如图所示空间直角坐标系，

由题意知，EF=EB=EM=2,FC=FN=3,ZNFC=0,

所以尸(0,0,0),£(0,0,2),河(2,0,2),N(3,0,0),5(2cos0,2sin6»,2),C(3cos6»,3sin0,O),

/\—►2——►

设尸因为NP=§NC,

2

所以(％-3,歹/)=§(3©05。-3,3sin0)=(2cos3-2,2sin8,0),

解得％=2cos0+l9y=2sm0,z=0,所以P(2cos6+L2sine,0),

所以FM=(2,0,2),EB=(2cos^,2sin0,d),£P=(2cos。+1,2sin氏一j,

设平面£AP的法向量为五=(x/,z),

n-EB=2cos3x+2sin0y=0

则一/、.，

力•£/>=(2cos。+1)x+2sin3y-2z=0

设桥与平面所成角为。，

jr

解得.。八因为。＜"兀，所以

18.【正确答案】(l)a=l

⑵函数g(x)的定义域为(-叫-1)50,+8),证明见解析

(3)证明见解析

【详解】(1)因为/(%)=ax+xln[l+|^—(l+x)ln(l+x),

,f'(x]-a+\nx+2+-----In(1+x)-1=———FIn+a-\

则,L22iJI>尤+22尤+2

1H---

2

由题意可知，/'(0)=。-1=0,解得Q=l.

(2)

11；

g(x)=才x-+-ln|1+—I-11+Hln(1+Ha+ln[1+—7+l)n1+

XXV2rXXI2x

对于函数〃x)=ax+xln1+—_(1+x)ln(l+x),

I2

x+1>0

有1+X>0，解得%>-1,即函数的定义域为(-1,+8),

2>

1Y+]

对于函数g(x)=V",则一>一1,可得---->0,解得x<—1或x>0,

IXX

所以，函数g(x)的定义域为(f,T)u(O,+s),故该定义域关于直线x=对称,

因为i2x+1ix

g(-l-x)=^+lnfl+^---+xln[l+^—=a+ln---------bxIn-----

I-x-12x+2x+1

=a+ln(2x+l)-ln(x+l)-ln2+xlnx-xln(x+l)

=a+ln(2x+l)-ln2x-ln(x+l)+(x+l)lnx-xln(x+l)

—t7+In[1H-----|+(x+l)lnx-(x+l)ln(x+l)

I2x)

-(x+l)lnfl+^j=g(x),

—tz+InI1H-----

I2x

故函数g(x)的图象关于直线苫=-;对称，所以曲线y=g(x)是轴对称图形.

(3)当4=1时，/(x)=x+xlnH+|^_(x+1)ln(x+1),

贝!=上+ln-土4A(x)=—

'7x+22x+2'7x+22x+2

22x+21_x

贝l"x)=

(x+2)2x+22(x+l)2(x+l)(x+2)2'

当x>0时，〃(x)>0,则函数0(x)在(0,+司上为增函数，此时，/z(x)>/z(O)=O,

BPr(x)>0,所以，函数/(x)在(0,+功上为增函数，此时，/(%)>/⑼=0,

取x=L可得，+Lln(l+与一11+11J1+口>0,

于是1+山+曰一("+1加卜+口>0，即+,

所％W>〔一J

1丫2n+ln2〃+l(1

故1+—