第03讲 4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解8大核心考点（解析版）

第03讲4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查求函数的零点 1题型二：重点考查函数零点个数的判断 3题型三：重点考查判断函数零点所在的区间 6题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围 9题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围 12题型六：重点考查函数与方程综合 14题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值 19题型八：函数模型的应用 22题型一：重点考查求函数的零点典型例题例题1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】令，解出即可.【详解】因为，令，解得，即函数的零点为1.故选：B.例题2．（24-25高一上·上海·课前预习）求下列函数的零点．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)4(2)，4(3)【分析】（1）根据零点概念解指数方程即可；（2）根据零点概率解一元二次方程即可；（3）根据零点概念解对数方程即可.【详解】（1）令，即，故，即的零点为4.（2）令，即，解得或，故的零点为.（3）令，即，解得，故的零点为.精练核心考点1．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】由二次函数的零点与二次函数的系数之间的关系即可得解.【详解】由题意二次函数的零点为和3，所以，所以.故选：A.2．（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数的零点：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)无零点(4)1【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令解关于方程即可.【详解】（1）在中令，得，解得或，所以函数的零点为.（2）在中令，得，解得或，所以函数的零点为.（3）在中令，得，又此方程无解，所以函数无零点.（4）在中令，得，解得，所以函数的零点为1.题型二：重点考查函数零点个数的判断典型例题例题1．（23-24高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分别判断函数在时以及时的零点个数，即得答案.【详解】当时，令或，有2个零点；当时，令，即，结合函数的图象可知二者在时有1个交点，即此时有1个零点.综合可知，的零点个数为3.故选：D例题2．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】，即，令，，故的零点个数为与的交点个数，在同一坐标系内画出与的图象，如下：显然与的交点个数为1，故的零点个数为1.故选：D例题3．（23-24高一上·江苏南京·期末）函数有个零点．【答案】2【分析】将问题转化为方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，画出两函数的图象，即可求得结果.【详解】函数的零点个数，就是方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，函数和的图象如下图所示，

由图象可知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点，故答案为：2精练核心考点1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的零点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】时，可以直接求出零点，时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结果.【详解】当时，令，解得或（舍），所以时，有一个零点；当时，令，得，作和图象如下，所以时，有两个零点.综上，共有3个零点.故选：C2．（2024高二上·新疆·学业考试）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】C【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数.【详解】函数的零点个数等价于根的个数，因为，即有2个根，所以函数有2个零点.故选：C3．（23-24高一上·上海·期末）函数的零点个数为.【答案】2【分析】由题意可知：函数的零点个数为与的交点个数，结合图象分析求解.【详解】令，则，可知函数的零点个数为与的交点个数，在同一坐标系内作出与的图象，由图可知与有2个交点，即函数的零点个数为2.故答案为：2.题型三：重点考查判断函数零点所在的区间典型例题例题1．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合函数与函数的单调性可得函数的单调性，即可结合零点的存在性定理进行判断.【详解】由函数定义域为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，故函数在上单调递增，又，，故函数的零点所在的区间是.故选：B.例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点存在定理即可求解.【详解】因为当时，当时，根据零点存在定理可得存在方程的根.故选：B例题3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零点存在性定理结合单调性判断.【详解】因为函数在单调递减，函数在上单调递增，所以在上单调递减，又，，所以函数在上存在唯一零点.故选：D.精练核心考点1．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零点存在性定理，只需证出：，即可得到结论．【详解】函数的定义域为，又函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，所以，所以零点所在的大致区间为.故选：B.2．（23-24高一下·广东深圳·期末）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数的定义域为，函数在上单调递增，又，，根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为．故选：B .3．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零点存在性定理可得答案.【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增，又，所以在内存在一个零点，使.故选：C.题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围典型例题例题1．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解.【详解】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解，即函数与的图象有两个不同的交点，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得或，解或，即.故选：B.例题2．（多选）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数，有4个零点，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意，转化为与的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】设函数，令0，可得，作出的大致图象，如图所示，当时，，因为，所以由图可知，当时，直线与的图象有4个公共点，要使得有4个零点，则，即实数的取值范围为，结合选项BC符合题意.故选：BC.例题3．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为．【答案】【分析】将问题转化为函数与的图象的交点个数为3，作出函数图象，结合图象求解即可.【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3，的图象如图所示，由图可知当时，两函数图象有3个交点，所以的取值范围为，故答案为：精练核心考点1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】令，故，画出与的图象，函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，则，解得.故选：D2．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】BCD【分析】转化为在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.【详解】由题意在上有解，.故选：BCD．3．（24-25高一上·全国·课堂例题）函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是.【答案】【分析】利用数形结合思想来求函数的零点问题.【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图，结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点，即函数仅有一个负零点.故答案为：.题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围典型例题例题1．（23-24高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据题意，由求解.【详解】解：因为函数在单调递增，且在内存在一个零点，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：B例题2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为【答案】【分析】根据题中条件，列出不等式组，解出即可.【详解】因为在上有两个零点，所以，，解得.故答案为：.例题3．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.【答案】2【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果.【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，易知，而，所以,根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，所以可得.故答案为：精练核心考点1．（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.2．（23-24高一上·山东枣庄·期中）函数在上存在零点，则的取值范围是．【答案】【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数的取值范围.【详解】为增函数减函数=增函数，若函数在上存在零点，则且，解得：.故答案为：3．（23-24高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可.【详解】考查，因为，且开口向上，故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解，则，即，解得.故答案为：题型六：重点考查函数与方程综合典型例题例题1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．(1)已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】(1)为“局部奇函数”，理由见解析(2)【分析】（1）将问题转化为有解，解方程可求得，由此可得结论；（2）令，将问题转化为方程在有解，通过讨论二次函数的图象可构造不等式组求得结果.【详解】（1）为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．当时，方程，即，所以，则，-解得，方程有解，所以为“局部奇函数”．（2）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．令，1°当，在有解，由，即，解得；2°当时，在有解等价于，解得．综上，所求实数m的取值范围为．例题2．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知函数．(1)若恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m为何值时，函数没有零点?有且仅有两个零点?【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）将恒成立转化为，利用基本不等式即可求得数m的取值范围；（2）利用换元法令，再由指数函数值域及二次函数根的分布情况即可求得实数m的取值.【详解】（1）由恒成立可得，恒成立；即，所以，又，易知，当且仅当，即时，等号成立；即可得，所以；因此实数m的取值范围为；（2）令，可得，易知，且关于对称，当时，无正根，即可得函数没有零点，当时，若要使函数没有零点，可得，解得；因此可得当时，函数没有零点；当时，函数仅有一个零点；当时，易知，且两根同为正数，此时函数有且仅有两个零点.综上可知，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有两个零点.例题3．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，(1)①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；(2)对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．【答案】(1)①答案见解析；②；(2)．【分析】（1）①先利用描点法作出区间上的函数图象，结合偶函数的对称性可得上的图象，②利用图象和实数根的个数可得实数的取值范围；（2）先根据复合函数求出的最小值，利用可得答案.【详解】（1）①当时，．列表：01234567891012432101234描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；（2）由题意，，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，因为在上为增函数，所以在上为增函数，所以，由（1）可知在上的最小值为0，因为，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的最小值为．精练核心考点1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数有零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时即解不等式可得答案；（2）令得，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）当时，由得，可得，即，解得，不等式的解集为；（2）令得，则，因为，所以，当且仅当即时等号成立，若函数有零点，则．2．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知函数.(1)若，解不等式；(2)若关于的方程有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次不等式以及指数函数单调性解不等式即可；（2）令，把原题转化为方程有解，由二次函数性质求解范围即可.【详解】（1）当时，即，化简得，所以，解得，所以原不等式的解集为；（2）方程即，令，则，因为函数在上单调递减，所以，所以要使方程有解，则，故的取值范围为.题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值典型例题例题1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.【详解】对于A，在上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误；对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在上单调递增，且，可以使用二分法，故D错误.故选：C例题2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【答案】D【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答.【详解】由表格可知,方程的近似根在内,又因为,故方程的一个近似根(精确度0.04)为1.4375.故选:D.例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为（）A．1.4375 B．1.375C．1.25 D．1.422【答案】D【分析】根据二分法直接判断即可得解.【详解】设近似解为，由零点存在性定理及二分法计算数据：因为，，所以，又，所以，又，所以，又，所以，又，所以，因为，所以可取故选：D精练核心考点1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（

）A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65【答案】C【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，因为，，，所以，精确度为，又，，，精确度为，又，，，精确度为又，，，精确度为，需要求解的值，然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C2．（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.【详解】由表格可得，函数的零点在之间．结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选：C.3．（2024高一·全国·单元测试）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解【详解】对A，的零点为；对B，的零点为；对C，的零点为；对D，的零点为；，，，故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；故选：B题型八：函数模型的应用典型例题例题1．（24-25高一上·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．①求出与之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，所以两边同乘得：，解得：，经检验：为该分式方程的解，且符合题意．所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；（2）①由题意，故与的函数解析式为②由①知，函数开口向下函数在对称轴处有最大值．因为销售部门规定其销售单价不高于每对元所以，所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．例题2．（2024高三·全国·专题练习）某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据：年份2019202020212022…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下三个函数模型：①；②；③．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．【答案】(1)选③；(2)要考虑转型【分析】（1）将分别代入三个函数进行求解，再检验；（2）由，则，进行求解．【详解】（1）将代入，得，解得，得，当时，，不符合题意；将代入，得，解得，得，当时，，不符合题意；将代入，得，解得，得当时，，当时，，故可用③来描述之间的关系．（2）由，则.∵年利润率为，∴该企业要考虑转型．例题3．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表．上市时间天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(2)记你所选取的函数，若存在，使得不等式成立，求正实数的取值范围．【答案】(1)选择，该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元(2)【分析】（1）由表格数据分析变量与变量的关系，由此选择对应的函数关系；（2）不等式变形为在上恒成立，只需，求出相应的函数最小值，列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1）将分别代入，得，所以，即，当且仅当,即时，最小，所以该纪念章市场价最低时的上市天数为天，最低市场价为；（2）因为为正实数，所以原不等式可以整理为：，，因为对，都有不等式恒成立，即，根据的函数性质，可知上单调递减，上单调递增，所以时，，则，解得，所以正实数的取值范围为.精练核心考点1．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和.(1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度；(2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？【答案】(1)，；(2)倍.【分析】（1）利用给定条件求解出，再分别代入求值即可.（2）利用给定条件建立方程得到，利用对数的运算性质求解出，得到答案即可.【详