第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式含新定义解答题 分层精练（解析版）

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用正切的和差公式，结合特殊角的三角函数值即可得解.【详解】.故选：B.2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦的差角公式即可化简求解.【详解】,故选：B3．（22-23高一下·江苏苏州·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.【详解】由题意.故选：C.4．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，利用两角和的正切公式求解.【详解】已知，，则.故选：A5．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】设正方体边长为1，由图可得，则且，所以.故选：B.6．（2024·四川南充·二模）已知函数．设时，取得最大值．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案.【详解】，其中；所以当时，，取得最大值，由题意，即..故选：C7．（23-24高一下·四川资阳·阶段练习）已知都是锐角，，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求．【详解】、为锐角，，，由于为锐角，.故选：C8．（21-22高三上·湖南株洲·期中）在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得，，再利用两角和的余弦公式求解．【详解】由题意可得，，由于，所以．故选：A．二、多选题9．（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】运用二倍角公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，，故选项A错误；对于选项B，，故选项B正确；对于选项C，，故选项C正确；对于选项D，，故选项D错误.故选：BC.10．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用和（差）角公式计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD三、填空题11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，且，则.【答案】【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解.【详解】因为，由题意可得，即，且，可知.故答案为：.12．（2024高三·全国·专题练习）已知tanα＝－，cosβ＝，α∈(，π)，β∈(0，)，则α＋β＝．【答案】【详解】由cosβ＝，β∈（0，），得sinβ＝，tanβ＝2，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α∈（，π），β∈（0，），所以＜α＋β＜，所以α＋β＝.四、解答题13．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）7；（2）【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果；（2）根据与的关系式判断出，即可得结果.【详解】（1），且，可得所以（2）由两边平方可得：即，所以，则，因此.14．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得；（2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为，所以；（2）且，，则，，，，，且，解得（负值舍去），，又，，，.B能力提升1．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）如图所示，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意求出的正弦值以及余弦值，根据两角差的余弦公式求得，再由二倍角余弦公式，即可求得答案.【详解】由题意知,则，，故，故，故选：C2．（2024·湖北·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.【详解】由条件等式可知，，整理为，则，又，，所以，，所以.故选：D3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦的差角公式计算即可.【详解】由题意可知，因为，所以，所以，所以，而，所以，而.故选：B4．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数在处取到最大值，则的值为．【答案】【分析】利用两角和的余弦公式将函数化简得到其中，再由余弦函数的性质及两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为，其中，又函数在处取到最大值，所以，不妨令，则，所以.故答案为：5．（2024高一下·全国·专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差米（参考数据：，）【答案】2.232【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.【详解】在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因为，且，所以，所以（米）．故答案为：C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据新定义函数直接计算即可；（2