2024-2025学年重庆市高三年级上册第一次联合考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市高三上学期第一次联合考试数学检测试题

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合。=2血，则下面结论中正确的是（）

A.B.

C.｛0｝《'D.。任力

2.记S"为数列｛""｝的前"项和，则“任意正整数"，均有%>°，，是“由｝是递增数列，，的（

）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量“'=（，）,（，）,（，）,若点A,B,C能构成

三角形，则实数机不可以是（）

1

A.-2B.2C.1D.-1

cos|则sin,-15。)+cos(105。-2）的值是（

4.已知)

22

C."3

A3B.3D.3

/(x)=lnx--“_1）处的切线与曲线》二ax2+-1)、-2

5.已知函数x在点只有一个公共

点：，则实数，a的取值范围为（）

｛叫B.｛0/，9｝c{-卜9}

A.D.

{05-1,-9)

6.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且

每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

CnClCj3

A.公盘盘34

B.4c.团D.

*仁仁43

7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%〜100%,当

血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:

S«）=SoeK’描述血氧饱和度S«）随给氧时间，（单位：时）的变化规律，其中与为初始血

氧饱和度，K为参数.已知*=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度

达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

（精确到0.1,参考数据：ln2a0.691n3“110）

A0.3B.0.5C.0.7D.0.9

8.若V48c的内角满足sin8+sinC=2sinN,贝ij（）

兀2兀

A.A的最大值为§B.A的最大值为3

兀71

C.A的最小值为3D.A的最小值为6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

EH

9.已知।的展开式中，二项式系数之和为64,下列说法正确的是（）

A.2,",10成等差数列

B,各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项

D.展开式中第5项为常数项

10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的

平均数为7°kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4,则下列说法正确的

是()

A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68kg

B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65kg

C.甲、乙两队全部队员的方差是296

D.甲、乙两队全部队员的方差是306

、sin^x

/(x)=~r

11.设函数％一x+1,贝I()

4

A./(X)的最大值为§R|/(x)|<5|x|

c.曲线'=/(")存在对称轴D.曲线，=/(“)存在对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复数z=6+1)0—41),则复数z的实部与虚部之和是.

13,若函数/(乃=2必一Inx在其定义域的一个区间(2左-1,2左+1)内不单调，则实数上的取

值范围是.

14.已知平面向量力，OB,反满足3上2百，1。31=4,〈04。8〉6,则

__UUUUUUUUULU

OAOB=,若(OC-CM).(00-08)=3,则的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知各项均为正数的等差数列｛""｝的前三项和为12,等比数列也｝的前三项和为妆,

日〃]=4a2=b2

(1)求｛%｝和也｝的通项公式；

an,n=2k-l

cn—<I——

⑵设[Jb“,〃=2k,其中左eN*,求数列匕｝的前20项和.

f(x)=sin2fx+—>I+V2sinfx+—Ycosfx+—>1-—

16,已知3I0I4jI4j2

(1)求/(X)的单调递增区间;

57i3兀

(2)若函数一机在区间124'8」上恰有两个零点多，%

①求机的取值范围；

②求项+%的值.

17.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”

软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学

2

员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为3,且计划

当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟

考试机会为止.

(1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；

(2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.

18.2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平

面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求48=20=4,BC=6,

(1)若3,3,求cosNADC的值；

⑵若CD=2,四边形.CD面积为4,求c°s('+C)的值.

2X

+ax+b(x-l)3

19.已知函数2+1(其中6eR).

(1)当。>0,6=0,记/(X)的导函数为了'(》),证明：/'(X)〉°恒成立；

(2)指出丁=/(0的对称中心，并说明理由；

2X

3

ng(x)=+e"—/(x)+b(x-I)+(b-1)zx>0

(3)已知QWO,设函数2,若g(x)»0对任意的

b+a

xeR恒成立，求a的最小值.

2024-2025学年重庆市高三上学期第一次联合考试数学检测试题

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合'而｝,。=20,则下面结论中正确的是（）

A.｛1Bi*

C.｛0｝"D.。任幺

【正确答案】D

【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据。=2夜为无

理数可得正确的选项.

【详解】因为口表示元素，卜｝表示集合，故B、C错误.

因为2正不是自然数，所以0e幺，且｛0｝口'不成立，故A也错误，D正确，

故选：D.

本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或

不包含，

2.记S"为数列｛%｝的前“项和，贝广任意正整数〃，均有％是“｛与｝是递增数列”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据4与S"的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，

即得答案.

【详解】当％〉°时，则S"-S"T=%〉0(〃”〃eN),

...S">,即数列£｝是递增数列，

所以“对任意正整数%均有%〉°”是“｛S'｝为递增数列”的充分条件；

取数列&｝为-1,1，2,3,4,…，显然数列｛S/是递增数列，但是为不一定大于零，

所以“对任意正整数力均有%>°”不是“%｝为递增数列”的必要条件，

因此“对任意正整数"，均有％〉°”是“｛mJ为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知向量°"=(，),(，),(，机―？)，若点A,B,C能构成

三角形，则实数机不可以是()

A.-2B.2C.1D.-1

【正确答案】C

【分析】求益与NC,使之共线并求出机的值，即可得解.

【详解】因为"==G，T)-。，-3)=(1,2),

AC=OC-OA=(m+l,m-2)-(l,-3)=(m,m+l)

假设48,C三点共线，则1义(机+1)—2机=0,即机=1.

所以只要加Hl,则48,C三点即可构成三角形.

故选：C

,cos（75+«）=-sin6z-15°）+cos（1050-a）

4.已知3,则'）\/的值是（）

j_2_2

A.3B.3C.3D.3

【正确答案】D

【分析】

将代数式中的角用75°+a表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值.

［详解］5沁,一15。）+85（105。-a）=sin［（a+75。）一901+cos［180。一（a+75。1

=-2cosQ+75。）=一2x；=-g

故选：D.

本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，

属于基础题.

5,已知函数/0）—1nx（在点处的切线与曲线＞=""+（"一1卜一2只有一个公共

点，则实数。的取值范围为（）

A{叫B也叫C{*9}D

{0,-1,-9}

【正确答案】B

【分析】求出切线方程，再对口分口=°和°°讨论即可.

【详解】由XX得/⑴-2,

所以切线方程是y=2(x—l)—l=2x—3,

①若。=°,则曲线为P=-X-2,显然切线与该曲线只有一个公共点,

②若a70,贝ij2x-3=ax~+(a-l)x-2,

即+(。-3)x+1—0

由A=(a—3)2—4。=0,即/一i()a+9=o,

得。=1或a=9,

综上:a=°或。=1或a=9

故选：B.

6.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且

每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

C12C9C64C：2c值《3

盘盘盘--4C.团

AB.4D.

禺CC；43

【正确答案】A

【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题

只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，

故不同的分配方案为：屐3，

故选A.

7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%〜100%,当

血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:

S«）=Soe"描述血氧饱和度5（/）随给氧时间「（单位：时）的变化规律，其中风为初始血

氧饱和度，K为参数.已知*=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度

达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

（精确到0.1,参考数据：ln2a0.691n3“110）

A.0.3B.0.50.7D.0.9

【正确答案】B

【分析】依据题给条件列出关于时间f的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要/一I小时，

由题意可得6。心=80,60e"=90,两边同时取自然对数并整理，

A?=In—=In—=In4-In3=2In2-In3AT?=In—=In—=In3-In2

得603602,

In3-ln21,10-0.69

则21n2-ln32x0.69-1.10,则给氧时间至少还需要。.5小时

故选：B

8.若V48c的内角满足sin8+sinC=2sinN,贝汁（）

兀2兀

A.A的最大值为§B.A的最大值为3

兀71

C.A的最小值为3D.A的最小值为6

【正确答案】A

【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

【详解】由题意结合正弦定理有：2a=b+c,结合余弦定理可得：

1

b+02—Q2

cosA=

2bc2bc

°时等号成立,

所以，cos/的最小值是2,

兀

又余弦函数y=c°sx在（0,兀）上单调递减得，A的最大值为3.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知।EH的展开式中，二项式系数之和为6%下列说法正确的是（）

A.2,〃，10成等差数列

B,各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项

D.展开式中第5项为常数项

【正确答案】ABD

【分析】先根据二项式系数之和求出"的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可

得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.

【详解】由I5）的二项式系数之和为2"=64,得"=6,得2,6,10成等差数列，

A正确；

15x—与=26=64

令x=l,IVxJ，则I皆）的各项系数之和为64,B正确；

A1T的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；

5x--C：（5x）2]—与=15x25x81

【Yx）的展开式中的第5项为—X）为常数项，D正确.

故选:ABD

10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的

平均数为7°kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4,则下列说法正确的

是（）

A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68kg

B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65kg

甲、乙两队全部队员的方差是296

D.甲、乙两队全部队员的方差是306

【正确答案】AC

【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可

求得结果.

i

【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为

又甲队体重的平均数为60kg,乙队体重的平均数为70kg,

14

-x60+-x70=68.

所以甲、乙两队全部队员的平均体重是55kg,即可得A正确，B错误；

S2=1200+(60—68汴1300+(70—68月=296

乙两队全部队员的方差是,可知C

正确，D错误.

故选：AC

=/、sm/rx

/(x)=--------T

11.设函数％一x+1,则()

4

A./(x)的最大值为3B|/(x)|<5|x|

C.曲线片/⑺存在对称轴D.曲线，=/(“)存在对称中心

【正确答案】ABC

r,、sinrex

/(%)=-27

【分析】函数X—x+1，

对于A：分别求出分子分母的范围，即可求出/(“)的最大值；

x——交

X|7TX{_1Y3

对于B：借助于12)4,判断出，(x)l45|x|；

对于C：分析出>=sin⑪和.v=V—x+1的对称轴即可

对于D：利用对称中心的定义进行验证.

r,、Sin7TX

/(x)=F---------7_

作出X—X+l的图像，如图示:

33

・r11112—x+1—>—

对于A：•.吩子sinGe[T，l],分母4~4

，,、sin7ix14

f(x)=—；----------<v=—

x2-x+l33

，故A正确;

Sin7TX

71X

对于B：

1

X——.

2是y=sin7LV

对于C：的对称轴,

1

X=—N=/(x)的对称轴，故C正确;

2是

对于D：.../("X)+/("+x)不可能为常数，故D错误.

故选：ABC

(1)多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

(2)对于非基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，利用定义法进行分析.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12,复数z=0+1)°一旬，则复数z的实部与虚部之和是.

【正确答案】-4

【分析】先化简求得Z再计算实部和虚部的和即可.

【详解】z=（3+i）（l-41）=3-⑵++4=7-12故实部和虚部之和为7-11=-4.

故~4

13.若函数/（幻=2--Inx在其定义域的一个区间（2左-1,2左+1）内不单调，则实数上的取

值范围是.

【正确答案】弓

【分析】只需函数/（X）的极值点在区间Q后一1，2k+1）内，再利用（2后T，2后+D为定义域

的真子集即可求出实数左的取值范围.

【详解】解：函数/（X）=2x?—Inx的定义域是（0,+oo）,

k>]_

所以2左T»0,即

f'（x）=4x-—

因为x,

所以/'（X）在（°，+00）上单调递增，

由/'（x）=°,可得'=5

若函数/（X）=2/-InX在区间（2k-l,2k+1）内不单调，

113

2左一1（一<2左+1_±<k<~

则2,解之可得44,

11,3

k>--<k<-

又因为2,所以24.

故答案为.与'1）

14.已知平面向量而，OB,反满足|昌|=261=4〈OA,。玲啜

------------------3UUU4ULU

0A5=—，若。=则|码的最大值为.

【正确答案】①.T24+V13

【分析】空1,利用向量的数量积的定义求解即可；空2,先建立平面直角坐标系，再设

C(2),则点。在圆/+3-1)2=16上运动,结合三角函数范围得出I"区4+巫,

即可求解.

【详解】空1,因为Qm=26，31=4,6'°'〉—6,

OAOB=2^/3x4xcos—=-12

空2,以。为坐标原点，°”所在直线为了轴建立如图所示的平面直角坐标系，

、cos0A,0B=sin0A,OB=—

不妨设C(x,y),由题知2,则2,

故可设砺=(一26,2),m=(250),设c(x,y),

UUUUUUUUUUUJ—J—

则(0C_CM>(0C_08)=(x_2j3/)ax+2j3j_2)=x2+y2_2y_i2=3,

x=4cos0

即点C在圆/+3—1)2=16上运动，令卜-l=4sin£,

故|AC|=7(4cos-2V3)2+(4sin6+1)2=也9+8sin"16百cos。

=j29+8VHsin(M+0)<也9+8屈=4+旧

所以Ik饱最大值为4+而.

故答案为.4+旧

关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点C(x/)的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角

公式求得最大值.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知各项均为正数的等差数列｛""｝的前三项和为12,等比数列他"｝的前三项和为74,

日=b]a2~b?

,n*，.

(1)求｛%｝和也｝的通项公式；

a〃,n=2k-\

(2)设[g,n=2k,其中左eN*,求数列匕｝的前20项和.

n

【正确答案】(1)%=2〃，bn=2

⑵2246

【分析】(1)设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求

解;

(2)利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.

【小问1详解】

解：设等差数列也｝的首项为％、公差为",

等差数列｛4｝的首项为4、公比为q,

3%=12

%+d=bxq

4(1+9+/)=74

q>0

d>0

由题意，得

解得"1=2,d=2,b\=2,q=2

所以。"=2〃，"=2"

【小问2详解】

解：由题知｛'"｝的前20项和

S=%+%+…+。19+y[^2++…+yj^20

2+382X(210-1)

S=xl0+—-----L=2246

即22-1

f(x)=sin2x+—+V2sinx+—•cosx+———

16.已知㈠l刃I4；I4；2

(1)求/(X)的单调递增区间；

5兀3兀

（2）若函数V=l/（x）一机在区间124'8」上恰有两个零点为，%

①求机的取值范围；

②求匹+々的值.

3兀7兀7,7

-------F左兀,一+左兀（左eZ）

【正确答案】（1）188」

11兀

一＜加＜——

⑵①42或加=0②4

【分析】（1）根据降募公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦

函数单调性进行求解即可；

（2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即

可.

【小问1详解】

71

/(x)=sin2X+-+A/2sin1%+4

・心力2

-2。s2x+2m2x+Q°s2x」

24422

—sin2x+—cos2x

44

-sin2x+-

214

--+2hr<2x+-<-+2kn(keZ)

结合正弦函数的图象与性质可得：当242

SirTT

--+kll<X<-+kTl(k^Z)

即88时，函数单调递增,

37r,71,Z,ry\

----F左兀，一+左兀（左£

所以函数/（X）的单调递增区间为L88」'

【小问2详解】

c兀5兀3兀711.

H—xet€,71—sinZ€

t—2x~24"~8时~64；2

①令4当L」时，2

y=

所以

5兀3兀111

-----,———<m<—

所以要使一机在区间L248」上恰有两个零点，机的取值范围为42或

m=0.

1jrjr

tty=ysinr~mh=2xj+-,t=x2+7

②设4再是函数2的两个零点（即424）,

,,_2X|H---F2%2—二兀

由正弦函数图象性质可知4+‘2=兀，即44

兀

Xy+%2=7

所以

17.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”

软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学

2

员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为3,且计划

当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟

考试机会为止.

（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；

（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.

8

【正确答案】（1）5

1210

②寸

【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得；

（2）求出一天内模拟考试的次数4的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解

4的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可.

【小问1详解】

c2n122

P4=—£=—X—=—

设学员小张恰第7•次通过模拟考试的概率为4,则3,339,

8

9-

所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为39

【小问2详解】

设口表示一天内模拟考试的次数，则4T，2,3,4,5,

由题意知：尸…彳，尸…）十三尸（"A：|x”

1327

尸（"）叫X=

4l|^尸（=）=I।=8l

/、22221121

£G）=1X—+2x—+3x——+4x——+5x——=——

所以v73927818181,

因为X=10J,所以I'IJ81,

1210

所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为81分钟.

18.2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平

面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求48=ND=4,BC=6,

(1)若3,3,求cos/ADC的值；

(2)若C£>=2,四边形/BCD面积为4,求c°s("十0)的值.

V7

【正确答案】(1)4

5

(2)6

【分析】(1)中求出5。，在△BCD中，由正弦定理求出sin/BOC,根据

cosZ.BDC=Vl-sin2Z.BDC即可求cosZ.BDC.

(2)在△480、△C8D中，分别由余弦定理求出BO2,两式相减可得cosZ与cosC的

SASCD~SA+SCBD=!,AD,AB,sinA+,CB-CD-sinC,■「

关系式；又由c22的smN与smC的

关系式；两个关系式平方后相加即可求出c°s("+C)

【小问1详解】

/=空ZADB=-

在AABD中，...AB—AD-4,3,贝|6

BD=2ADcosZ.ADB=2x4xcos?=4百

6

BC_BD

在△5CQ中，由正弦定理得，sinZBDCsinC,

6sin-a

sinZBDC=BCsmC3=3

BD4百4

由BC=6,80=4百，得BC<BD,

0<ZBDC</BCD=1

cosNBDC=71-sin2ZSZ)C=$—&=*

【小问2详解】

在△480、△C8O中，由余弦定理得，

m2=/炉+32—2/8.3C°S/=42+42-2x4x4xcos/=32-32cosN,

22222

^=CS+CZ)-2C5.C2?COSC=6+2-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

从而4cos/-3cosc=-1①，

由S△加0+Scm=3x4x4xsinN+3x6x2xsinC=4得

4sin/+3sinC=2②，

①❷2彳曰16(sin2A+cos24)+9(sin2C+cos2C)一24(cosAcosC一sin4sinC)=5

即25—24cos(4+C)=5,

C0S(y4+C)=|

QX

f(x)=