2024年高中物理新教材选择性必修第一册 第2章 简谐运动的描述

2简谐运动的描述

［学习目标］1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2.了解初相和相位差的概

念以及相位的物理意义(难点)。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能

依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。

一、简谐运动的振幅、周期和频率

如图甲所示为理想弹簧振子，。点为它的平衡位置，其中/、/'及8、中点关于。点对称。

图乙为先后两次分别从/、3两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。

(1)分析图乙中的0、6振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什

么共同点和不同点？

(2)从小球经过。点至下一次再经过。点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？

答案(1)。图像是从4点开始释放的，6图像是从2点开始释放的；弹簧振子两次形成的简

谐运动具有相同的周期，从3点释放时离平衡位置的最大距离比从/点释放时的最大距离更

大。

(2)不相同，两次速度方向相反。这段时间仅为半个周期。若经过一个周期，小球一定从同一

方向再次经过。点。

「知识梳理」

1.振幅

(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。

(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量,常用字母W表示。振动物体运动的范围是振幅

的两倍。

2.周期和频率

(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间

总是相同的。

(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,用7表示。在国际单位制中，周

期的单位是整(s)。

(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比,数值等于单位时间内完成全振动的次数,

用/表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹,简称赫，符号是取。

(4)周期和频率的关系：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小，频率

越大，表示振动越快。

(5)圆频率口：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比,它们间的关系式为。

_2兀£

一，CO—Z71/o

「深化总结」

1.对全振动的理解

(1)振动过程：如图所示，从。点开始，一次全振动的完整过程为。'f。；从/

点开始，一次全振动的完整过程为/一。一/‘f。一/。

Tg-

A—A

。

(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(°)、速度(力三者第一次同时与初始状态相同。

(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。

2.简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系

(1)位移和振幅

①最大位移的数值等于振幅。

②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。

③位移是矢量，振幅是标量。

(2)路程与振幅

①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即41。

②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即24

(3)周期与振幅

一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。

■辨析

(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的。(X)

(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量。(V)

(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(X)

(4)振幅越大，简谐运动的周期就越大。(X)

(5)振动物体;内通过的路程一定等于振幅(X)

【例1】(2023•如皋中学高二月考)如图所示，弹簧振子在/、8间做简谐运动，。为平衡位置,

/、8间距离是20cm，小球经过/点时开始计时，经过2s首次到达8点，贝!]()

BOA

A.从0-8一。小球做了一次全振动

B.振动周期为2s,振幅是10cm

C.从2开始经过6s,小球通过的路程是60cm

D.从。开始经过3s,小球处在平衡位置

答案C

解析小球从。一2一。只完成半个全振动，A错误；从是半个全振动，用时2s,所

以振动周期是4s,振幅/=1/8=10cm,B错误；因为/=6$=11匚所以小球经过的路

22

程为44+2/=6/=60cm,C正确；从。开始经过3s,小球处在最大位移处（/或8）,D错

、口

伏。

【例2】一质点做简谐运动，其位移x与时间，的关系图像如图所示，由图可知（）

A.质点振动的频率是4Hz,振幅是2cm

B.质点经过Is通过的路程总是2cm

C.0〜3s内，质点通过的路程为6cm

D.%=3s时，质点的振幅为零

答案C

解析由题图可以直接看出振幅为2cm,周期为4s,所以频率为0.25Hz,故A错误；质点

在1s即1个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；f=0时质点在正向最大位移

4

处，0~3s为则质点通过的路程为3/=6cm,故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的

4

最大距离，与质点的位移有本质的区别，/=3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm,故

D错误。

■总结提升

1个周期内路程与振幅的关系

4

1.振动物体在1个周期内的路程不一定等于一个振幅4只有当初始时刻振动物体在平衡位

4

置或最大位移处时，1个周期内的路程才等于一个振幅。

2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位

置，则质点在L个周期内的路程大于若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在1个

44

周期内的路程小于4

二、简谐运动的相位、表达式

如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题：

(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？

(2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？

(3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x=/sin(&+9)中哪个量不同？相

差多少？

答案(1)两个小球在相同位置同时释放，除振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，

同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。两个小球的振动步调完全一致。

(2)当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置，而当第二个小球到达最高点时，

第一个己经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后1个周期，或者说总是

4

滞后;个全振动。

4

(3)由问题⑴可得两振子4。相同，可知9不同，且(。%)—92)=；X2兀，即寸

I■知识梳理」

I.相位

⑴概念：物理学中把3山)叫作相位，其中°是时的相位，叫初相位，或初相。

(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。

(3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值,=g—02(。1>02)。

2.简谐运动的表达式

x=/sin(0/+0o)=/sin('彳+网)，其中：x表示振动物体在f时刻离开平衡位置的位移，/为

振幅,。为圆频率，7为简谐运动的周期,0。为初相位。

I■深化总结」

1.相位

相位祝+0代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，

相位每增加2兀，意味着物体完成了一次全振动。

2.相位差

频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即A0=wi—92（夕1>92）。

若A°=0,表明两个物体运动步调相同，即同相；

若A0=71,表明两个物体运动步调相反，即反相。

3.简谐运动的表达式x=/sin（卓f+p）

⑴表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。

（2）从表达式x=/sin（o/+w）体会简谐运动的周期性。当49=（O/2+。）一（0/1+3）=2河时，Nt

=~=nT,振子位移相同，每经过周期7完成一次全振动。

CD

【例3］（多选）（2022•广州六中月考）物体A做简谐运动的振动位移XA=3sin（100/+?m,物体

B做简谐运动的振动位移XB=5sin（100t+匹）m„以下说法正确的是（）

6

A.物体A的振幅是6m,物体B的振幅是10m

B.物体A、B的周期相等，为100s

C.物体A振动的频率人等于物体B振动的频率走

D.物体A的相位始终超前物体B的相位匹

3

答案CD

解析物体A、B的振幅分别是3m、5m,A错误.物体A、B的圆频率①=100rad/s,周期

T=~=^-s,B错误；因为7\=TB,故以=向C正确；A。=9AO-夕BO=四，故物体A的相

co503

位始终超前物体B的相位四，D正确。

3

【例4】有一个弹簧振子，振幅为0.8cm,周期为0.5s,初始时具有负方向的最大加速度，则

它的振动方程是（）

A.x=8X10-3sin（4^+^）m

B.x=8X10-3sin（47iZ—m

_3TT

C.x=8X10-3sin（7uz+-^-）m

D.x=8X10-3sin（^+^）m

答案A

解析由题可知，^4=0.8cm=8X103m,T=0.5s,可得①=四=4兀rad/s,初始时刻具有负

T

方向的最大加速度，则初位移xo=0.8cm,初相位夕0=]得弹簧振子的振动方程为x=

8X10-3sin(47iZ+m,A正确。

三、简谐运动的周期性与对称性

简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在/、

8两点间做简谐运动，。点为平衡位置，OC=OD。

A~CODB

（1）时间的对称

①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB=tBD.

②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中=a==

tD0=t（）C=tC0。

⑵速度的对称

①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。

②物体经过关于O点对称的两点（如C点与。点）时，速度大小相等，方向可能相同，也可能

相反。

（3）位移的对称

①物体经过同一点（如C点）时，位移相同。

②物体经过关于O点对称的两点（如C点与。点）时，位移大小相等、方向相反。

【例5】（多选）弹簧振子以。点为平衡位置做简谐运动，从小球通过。点时开始计时，小球第

一次到达M点用了0.3s,又经过0.2s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过

的时间可能是（）

A.'sB."s

315

C.1.4sD.1.6s

答案AC

解析假设弹簧振子在反。之间振动，M点在。点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振

0.3+—16…一、

动，小球的振动周期为T=_____2_X4s=s,则小球第三次通过M点还要经过的时间是

33

~s-0.2s=­So如图乙，若小球开始先向右振动,

33

1.6s,则小球第三次通过"点还要经过的时间是/=1.6s-0.2s=1.4s,A、C正确。

R_____2MCBQMC

甲乙

■总结提升

1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而

速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。

2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、

加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。

课时对点练

基础对点练

考点一简谐运动的振幅、周期和频率

1.（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（）

A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B.周期和频率的乘积是一个常数

C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小

D.做简谐运动的物体，其频率与振幅无关

答案BD

解析振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即。'=：!,选项B正确；简谐运动

的周期和频率由系统本身决定，与振幅没有关系，选项C错误，D正确。

2.（2023•厦门一中月考）如图所示，弹簧振子在8、C间振动，。为平衡位置，8O=OC=5cm。

若小球从3到C的运动时间为1s,则下列说法正确的是（）

COB

A.小球从2经。到C完成一次全振动

B.振动周期是2s,振幅是5cm

C.经过两次全振动，小球通过的路程是20cm

D.从3开始经过3s,小球通过的路程是20cm

答案B

解析小球在8、C间振动，小球从8经。到C再经。回到8,完成一个全振动，A错误；

小球从8到C经历的时间为半个周期，所以振动周期为2s,小球在8、C两点间做机械振动，

BO=OC=5cm,O是平衡位置，则振幅为5cm,B正确；经过两次全振动，小球通过的路

程是2X4/=40cm,C错误；从8开始经过3s,小球运动的时间是1.5个周期，通过的路程

为s=1.5X44=1.5X4X5cm=30cm,D错误。

3.（多选）如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是（）

|x/cm

_jr|12\|3/456f/（xio-2s）

A.物体的振动周期是2X10-2$

B.第2个IO、s内物体的位移是一10cm

C.物体的振动频率为25Hz

D.物体的振幅是10cm

答案BCD

解析由题图可知，物体周期为7=4乂10一2A错误；在第2个10「2s内，即在ixi（T2s

到2X10一2$内物体由正向的10cm处到达平衡位置，故位移为x=0-10cm=-10cm,B

正确；频率/=1=Hz=25Hz,C正确；由题图可知，物体的振幅为10cm,D正确。

T4X10-2

考点二简谐运动的相位、表达式

4.（多选）（2022•山东省实验中学检测）一弹簧振子A的位移x随时间，变化的关系式为x=

0.1sin2.57r/,位移x的单位为m,时间/的单位为s。则（）

A.弹簧振子的振幅为0.2m

B.弹簧振子的周期为1.25s

C.在f=0.2s时，振子的运动速度为零

D.若另一弹簧振子B的位移x随时间i变化的关系式为x=0.2sin（2.5位+为m,则A的相位

4

滞后B的相位工

4

答案CD

解析由题意可知振幅为0.1m,圆频率to=2.5兀rad/s,故周期7=四=s=0.8s,故A、

co2.571

B错误；在7=0.2s时，x=0.1m,即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两弹簧

振子的相位差=2.5兀/+：-2.5加=；,即B的相位超前A的相位;，或者说A的相

位滞后B的相位攵，故D正确。

4

5.弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5s,M、N相距0.8cm,计时开始时具

有正向最大加速度，则它的振动方程是（）

A.x=8X10飞皿4兀/+；）m

B.x—4X10-3sin（47t?—m

C.x=8X10-3sin（2^+1）m

D.x=4XlO—sinQ兀f+；）m

答案B

解析振子在M、N两点之间做简谐运动，由于M、N相距0.8cm,所以2/=0.8cm,振幅

^4=0.4cm=4X10-3m,周期为0.5s,所以①=—=4兀rad/s,而初始时刻具有正向最大加速

T

度，即在负向最大位移处，综上可得x=4X10-3sin（4m-；）m,B正确，A、C、D错误。

6.（多选）（2022•北京四中期中）弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足xi

=3asin10n6/和X2=9asin（l（hr6/+；）,下列说法正确的是（）

A.弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同

B.弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同

C.弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是四

3

D.弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是我

3

答案BD

解析1的振幅为3a,2的振幅为9a,所以两个弹簧振子的振幅不同；1的频率为力=岬=

271

542的频率为及=3皿=5'所以两个弹簧振子的频率相同，故A错误，B正确；从表达式

2兀

可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是三，故C错误，D正确。

3

考点三简谐运动的周期性和对称性

7.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点河处，再经0.2s第二次到

达M点，则其振动频率为（）

A.0.4HzB.0.8Hz

C.2.5HzD.1.25Hz

答案D

解析由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3s,故完成一个全

振动的时间为：r=0,3s+0.2s+0.3s=0.8s,故频率为/=：=1.25Hz,D正确。

8.如图所示，一质点做简谐运动，。点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，

历时1s,质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12emo则

质点的振动周期和振幅分别为（）

MON

A.3s,6cmB.4s,6cm

C.4s,9cmD.2s,8cm

答案B

解析质点以相同的速度依次通过M、N两点，画出示意图如图所示。

।1s।O.qs

0AH

—।

0.5s

质点由M到。和由。到N运动时间相同，均为0.5s,质点由N到最大位移处和由最大位移

10

处到N运动时间相同，均为0.5s,可见周期为4s,振幅4=-cm=6cm,故B正确。

2

9.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为。点，其在5、。两点之间做简谐运动，规定水

平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是（）

।।।

100000000006——0——Q----1

C：\O\B

甲

x/m

乙

A.弹簧振子从8点经过。点再运动到C点为一次全振动

B.弹簧振子的振动方程为x=0.1sin（2m+：）m

C.图乙中的尸点对应的速度方向与加速度方向都向右

D.弹簧振子在0〜2.5s内的路程为1m

答案D

解析弹簧振子从3点经过。点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误;根据题图乙可知，

弹簧振子的振幅为4=0.1m,周期T=1s,则圆频率为（z>=—=2兀rad/s响右为正，£=0时刻

T

位移为0.1m表示振子从B点开始运动，初相为次=1则振动方程为x=/sin（①方+夕。）=0.1sin

（27U+；）m,故B错误；简谐运动的图像中尸点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左

做减速运动，加速度方向向右，故C错误；因周期T=1s,则0~2.5s内振子振动了21个周

2

期，则振子从8点开始振动的路程为s=2X4/+2N=1m,故D正确。

10.（2022•湖北十堰市期末）如图所示，小球以。点为平衡位置在2、C两点之间做简谐运动,

B、C相距20cm。小球运动到3点时开始计时，/=0.5s时小球第一次到达C点。若小球偏

离平衡位置的位移随时间的变化规律满足》=然亩（卑/+网），则下列说法正确的是（）

COBX

A.周期T=0.5s

B.振幅4=20cm

c—兀

C.（pc———

2

D.，=0.125s时，小球的位移为5cm

答案C

解析小球运动到5点时开始计时，，=0.5s时小球第一次到达。点，历时半个周期，故周

期为T=ls,故A错误；振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为4=10cm,故B错误；

£=0时刻，x=A,代入题中位移表达式可得90=]故C正确；位移表达式为x=10sin（2兀/+

三）cm,/=0.125s时，代入表达式可得小球的位移为5也cm,故D错误。

2

11.（多选）一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。r=0时刻振子的位移x=-0.1m；

s时亥Ux=0.1m；£=4s时刻x=0.1m。该振子的振幅和周期可能为（）

Q

A.0.1m,-sB.0.1m,8s

3

Q

C.0.2m,-sD.0.2m,8s

3

答案ACD

解析如果振幅等于0.1m,则&s是半周期的奇数倍，4s--s=-s是半周期的偶数倍，故

333

A正确，B错误；如果振幅大于0.1m,可能有4s=〃T+Z当〃=0时，T=8s；当几=1时，

2

Q

T=-s,故C、D正确。

3

12.（2022・黄石二中期末）如图所示，弹簧振子以。点为平衡位置，在