高三一轮复习 合情推理与演绎推理讲义

学思堂教育个性化教程教案

数学科教学设计

学生姓名教师姓名陈传波班主任

日期时间段年级课时

教学内容合情推理与演绎推理

教学目标掌握合情推理与演绎推理的基本思路和方法

重点合情推理与演绎推理

难点合情推理与演绎推理

教学准备

合情推理与演绎推理

知识梳理

1.归纳推理

(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物

中建二仝事物都有这种属性的推理.或者由个别事实概括出一般结

教

论的推理，称为归纳推理(简称归纳).

教

(2)归纳推理的特点学

①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；

学效

②归纳推理的结论不一定为真；

果

③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可

过

靠.分

2.类比推理

程析

(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，

根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征

的推理，称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.

⑵类比推理的特点

①类比推理是由特殊到特殊的推理；

②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能

为假；

③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比

得出的命题就越可靠.

3.演绎推理

(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的

逻辑法则得到新结论的推理过程.

(2)演绎推理的特点

①演绎推理是由一般到特殊的推理；

②当前提为真时，结论必然为真.

(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：教

教

①大前提——已知的一般原理；

学

②小前提一所研究的特殊情况；

学效

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

考点一归纳推理果

过

【例1］古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，

分

如二角形数1,3,6,10,…，第九个二角形数为上~鹿,记

程析

第〃个k边形数为N(〃，分)第23),以下列出了部分k边形数中第〃

个数的表达式：

三角形数N(〃,3)=T〃2+f，

正方形数M几4)=层，

五边形数N(〃,5)=%—%,

六边形数N(〃,6)=2/—〃

可以推测M〃，卜)的表达式，由此计算M10,24)=___________.

解析由N(几3)=1？+3〃，

N(〃,4)=，2+$Z,

30।-1

M〃,5)—2〃*■十2〃，

4—2

2序+2n,

推测M〃，卜)一(2)「+(2

从而M几24)=11"一］0〃，N(而24)=1000.

答案1000

规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归

纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有

代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性

规律的重要方法.

【训练1】(1)(2014.佛山质检)观察下列不等式：

则第5个不等式为.

⑵(2013・陕西卷)观察下列等式

教

教(1+1)=2X1

学

(2+l)(2+2)=22XlX3

学(3+l)(3+2)(3+3)=23X1X3X5效

果

过照此规律，第〃个等式可为.

分

解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第〃个等式左边

程为5+1)(〃+2)…(〃+〃)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第析

〃个等式右边为2"与〃个奇数之积，即2nXlX3X5X-X(2n-l).

答案⑴9+J+症+忘+忘〈小

(2)(w+l)(n+2)-(n+n)=2nXlX3X-X(2n-1)

考点二类比推理

【例2】在平面几何里，有“若△48C的三边长分别为〃，b,c,

内切圆半径为八贝I三角形面积为S,M"=gm+〃+c»”，拓展到空

间，类比上述结论，”若四面体48C。的四个面的面积分别为S，

S2,S3,S4,内切球的半径为八则四面体的体积为”.

审题路线三角形面积类比为四面体的体积"三角形的边长类比

为四面体四个面的面积=＞内切圆半径类比为内切球的半径今二维

图形中:类比为三维图形中的：=＞得出结论.

答案V四面体A8CD=；(S+S2+S3+S4)r

规律方法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意

方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：

三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素

的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边

相等对应面积相等.

［训练2）二维空间中圆的一维测度（周长）/=2”,二维测度（面积）S

=兀凡观察发现S'=/；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4兀/，

4

三维测度（体积»=卒尸，观察发现V,=S.则四维空间中“超球”教

教

的四维测度W=2〃4,猜想其三维测度^=_______.学

解析由已知，可潺圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维

学效

测度是三维测度的导函数.类比上述结论，“超球”的三维测度是

四维测度的导函数，即^=卬,=（2兀力'=8TU3.果

过

答案8兀尸分

考点三演绎推理

程析

〃+2

【例3】数列｛斯｝的前〃项和记为S”已知。—〃Stl（n

£N»）.证明：

⑴数歹吟［是等比数列；

（2）S〃+i=4〃〃.

-〃+2

证明（1）.4〃+|—S"+lSn，〃”+1—Sn，

—

.*•（n+2）Sn=n（Sn+1S〃）,即nSn+1=2（〃+1）Sn.

・"+1-2"又］-IWO,（小前提）

故是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由⑴可知,-4-］（"22）,

n-r\n-1

Sn-l〃+1

••Sn+1—4（〃+1>［—4,.,Sn-1

n-1n-1

=4小522）,（小前提）

又s=3Si=3,82=0+42=1+3=4=40,（小前提）

・•・对于任意正整数〃,都有&+1=4%.（结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，

应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如

果前提是显然的，则可以省略.

【训练3】”因为对数函数），=log〃_r是增函数（大前提），而产谒

工是对数函数（小前提），所以,，=1。蠢是增函数（结论）”，以下推

教

教理的错误是________.

学

①大前提错误导致结论错误；②小前提错误导致结论错误；③推理

学形式错误导致结论错误；④大前提和小前提错误导致结论错误.效

解析当。＞1时，函数y=l0gd是增函数；当OVaVl时，函数枭

过y=logd是减函数.故大前提错误导致结论错误.

分

答案①

程1课堂小结1析

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到

一个新结论前，合清推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学

结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.

2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的

推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数

学问题的证明主要通过演绎推理来进行.

3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正

确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前

提下）.

课堂检测

1.在单调递增数列｛〃〃｝中,41=2,不等式（〃+1）4会〃侬对任意〃

£N”都成立.

(1)求s的取值范围；

⑵判断数列｛m｝能否为等比数列，并说明理由.

解⑴因为｛斯｝是单调递增数列，所以即c”>2.

又(〃+1)知令〃=1，贝4有2412a2,即sW4,所以俏£(2,4].

⑵数列｛斯｝不能为等比数列.

用反证法证明：

假设数列｛斯｝是公比为4的等比数列，由0=2>0,得知=2/7

因为数列｛〃〃｝单调递增，所以q>l.

因为(〃+1)斯2〃侬对任意〃WN*都成立，

所以对任意〃WN*,都有1+注心①

因为^>1，所以存在如£N*,

使得当"。⑶时，/>2.

因为1+[W2(〃£N").

所以存在〃oWN*,使得当心〃°时，^>1+;,与①矛盾，故假设

不成立.

2.(2014.福州质检)阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

sin(a+")=sinacos^+cosasin4，①

sin(a-/^)=sinacos^-cosasinB，②

由①+②得sin(a+夕)+sin(a一夕)=2sinacos夕，③

A+BA—B

令a~\~B=A