河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z−3i=4−i，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．-2 D．2i2．若向量a→=(2,A．{−1,1} B．{−2,3．如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（）A．FG B．EH C．EF D．BC4．如图，△ABC的斜二测直观图为等腰直角三角形A'B'C'A．62 B．63 C．6 5．向量a→,bA．2e1+4e2 B．e16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acosC+ccosA．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形（）7．已知正方形ABCD的边长为6BM→=A．-6 B．-5 C．-4 D．-38．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC=1027米，∠BOC=120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2)，在点C处测得点A．200米 B．202米 C．204米 D．206米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l平行B．若直线l与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l平行C．已知两条相交直线m，n，若m//平面α，则n//D．已知直线m，n，平面α,β，若m⊂α10．若(1+iA．m=1 B．m=2 C．n=2 D．n=411．已知圆锥SO的侧面展开图是圆心角为3π2，半径为2的扇形，SA，SB是两条母线，P是SBA．圆锥SO的体积为3B．△SAB面积的最大值为3C．当△SAB为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为5+2D．圆锥SO的内切球的表面积为9π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12．若|a+11i|=5513．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为6cm,5cm，高为6cm，则该青铜器的容积约为14．若a→,b→,c→均为单位向量，且a四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知z=m2−12m+32+(（1）若z为纯虚数，求z的共轭复数；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．16．已知向量a→，b→满足（1）若向量a→，b→的夹角为π3（2）若|a→+（3）若a→⊥(a→17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin（1）若sinC=18，求△ABC（2）若△ABC的面积为534，求A的大小及18．如图，在长方体ABCD−A1B1C（1）证明：AC//平面A（2）证明：EF//平面A（3）已知AB=BC=2，以A1B为直径的球的表面积为8π，设B1,D,F19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6，求AF+BF的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为z−3i=4−i，所以z=4−i+3i=4+2i，则z的虚部为2.

故答案为：A.

【分析】根据复数的加减运算求得z，再根据复数的概念判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量a→=(2,2)，b→=(x,x3)，且满足a3．【答案】C【解析】【解答】解：将展开图还原直观图，如图所示：

因为AD//BC//EH//FG，所以AD与BC共面、AD与EH共面、AD与FG共面，

则与直线AD是异面直线的是EF.故答案为：C.

【分析】将展开图还原直观图，根据图形判断即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，如图所示：因为A'B'=B所以AC=2A'C则△ABC的面积为122故答案为：D.【分析】将直观图还原为原图，求出A'C'5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，取AB=a,

故答案为：D.【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：由acosC+ccos即sinA=sin(A+C)=故答案为：A.【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.7．【答案】A【解析】【解答】解：BN→=BC→故BN⋅故答案为：A.【分析】根据平面向量的线性运算结合向量的数量积运算求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：设OA=h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2)，所以OAOB=2，

则OB=12h米，因为点由余弦定理BC可得1022×7=故答案为：C.【分析】设OA=h米，由题意表示出OB，OC，再利用余弦定理求解即可.9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、若直线l与平面α平行，则直线l与平面α的无数条直线平行，故A正确；B、直线l与平面α相交，则直线l与平面α的任意直线不平行，故B正确；C、已知两条相交直线m，n，m//平面α，则n与平面αD、已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α//β，则m与故答案为：AB.【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的基本关系，逐项分析判断即可.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：(1+i3)m+n1−i=(1−i)m+n(1+i)1−i故答案为：AD.【分析】根据复数的乘除运算，结合复数相等的充要条件列方程组，求解即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为3π2所以扇形的弧长为3π2×2=3π，即圆锥的底面周长为设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr=3π，解得r=32，

又因为l=2，所以圆锥的高h=l2−B、当△SAB为轴截面时，在△SAB中，SA=SB=2,AB=3，因为所以此时∠ASB为钝角，又S△SAB当∠ASB=90°时，C、当△SAB为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为PA，如图所示：

在△SAP中，SP=1，SA=2，∠ASP=3π4，

由余弦定理可得：D、当△SAB为轴截面时，△SAB的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，设△SAB的内切圆半径为R，则S△SAB=12×3×72故答案为：ACD.【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可判断A；确定当∠ASB=90°时△SAB的面积最大，即可判断B；如图，确定点A到点P的最小距离为PA，利用余弦定理计算即可判断C；△SAB的内切圆半径即圆锥12．【答案】2【解析】【解答】解：|a+11i|=a2+121=55故答案为：2.【分析】根据复数的几何意义可得a213．【答案】182【解析】【解答】解：该青铜器的容积约为V=π故答案为：182π.【分析】由题意，根据圆台体积公式计算即可.14．【答案】(【解析】【解答】解：由题意，设a=则a⋅c=因为a⋅c的取值范围是(−3所以α的取值范围是(π又因为a⋅当α∈{π2,当α∈(π4,综上所述，a⋅cb故答案为：(−3【分析】由题意，设a=(1,0),b=(0,15．【答案】（1）解：因为z为纯虚数，所以m2−12m+32=0m则z=32i，故z的共轭复数为-32i．（2）解：因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以m2即4<m<8m<0或m>4，解得4<m<8，故m的取值范围是(【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数列方程组求得m，再利用共轭复数概念求解即可；（2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可.16．【答案】（1）解：a⋅（2）解：由|a+b所以|a故|a（3）解：由题意得a⋅(a+b所以cosa因为⟨a,b即向量a,b的夹角为【解析】【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）由题意，可得a⋅b=3（3）由垂直关系的向量表示可得a⋅17．【答案】（1）解：因为csinA=5asinB，所以又因为b=1，所以c=5，因为2R=csinC（2）解：△ABC的面积S=12bc因为A∈(0,π)当A=π3时，由余弦定理可得a2=b2+当A=2π3时，由余弦定理可得a2=b2+综上可知，△ABC的周长为6+21或6+【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得c=5，再次利用正弦定理求解即可；（2）根据三角形的面积公式可得A=π3或2π318．【答案】（1）证明：在长方体ABCD−A1B所以四边形ACC1A又A1C1⊂平面所以AC//平面A（2）证明：取BC的中点G，连接FG，EG，如图所示：因为E，F分别为AB,CC又A1C1因为EG∩FG=G，所以平面EFG//平面A又EF⊂平面EFG，所以EF//平面A（3）解：取AA1的中点H，连接则要求作的截面为四边形B1在矩形ABB1A所以4π×(4+AA所以截面B1HDF的周长为【解析】【分析】（1）由题意可得A1（2）根据线面平行的判定定理可得FG//平面A1BC1（3）确定要求作的截面为四边形B119．【答案】（1）解：因为sin2A−所以sin由正弦定理得a2则cosC=因