河南省南阳市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

河南省南阳市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．sin14πA．32 B．−12 C．12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个3．若α为第三象限角且sin(π−α)=−35，则A．−45 B．−35 C．4．下列说法正确的是（）A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．若向量a，b满足|a|>|C．若P，A，B三点满足OP=OA+3D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π5．将函数y=cos(3x+φ)的图象沿x轴向左平移π12A．−7π12 B．−π4 C．6．已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(φ>0，|φ|<π2)，y=f(x)A．2+3 B．3 C．−337．在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°．P为AB边上的动点，则A．[−14，1] B．[−188．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（）A．cos(cosC)>cos(sinB) B．cos(sinA)>cos(cosB)C．cos(sinC)>cos(cosB) D．cos(二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（）A．若向量a、b、c，满足a//b，bB．若向量a=(1，−3)，b=(2，C．若向量a=(5，0)，b=(4，3)D．若向量m、n满足|m|=2，|n|=310．已知函数f(x)=1A．f(x)的对称轴为x=B．f(x)的最小正周期为2πC．f(x)的最大值为22，最小值为D．f(x)在[π11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为SA、SB、SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SA．若OA+2OBB．|OA|=|OB|=2，∠AOB=C．若O为△ABC的内心，3OA+4D．若O为△ABC的重心，则OA12．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，且f(x)A．f(x)的最小正周期是πB．若f(2π3C．若f(x+π3)的图象与f(x)D．若φ=−π6，则ω三、填空题13．请写出终边落在射线y=3x(x≥0)上的一个角14．在平行四边形ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，M，N，C三点共线，若DN=λNB，则λ=15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π16．H为△ABC所在平面内一点，且满足||则点H为△ABC的心.若|AB|=7，|AC|=5，四、解答题17．已知向量a，b满足|a|=2，（1）若a//b，求（2）若a与b的夹角为60°，求(2a18．某同学用“五点作图法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<πωx+φ0ππ3π2πxπ5πAsin(ωx+φ)020−0（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；（2）若f(x)=m(m∈R)在[0，π2]19．已知向量a=(1，2cosx)（1）求|a（2）求a⋅20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a=3，b=5，c=7.（1）求△ABC的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S=14[21．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量e=(b，c)，f（1）若e∥f，求证：（2）若e⊥g，a=2，A=π22．已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+2(0<ω<2，0<φ<π2).请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数f(x)的图像过点(0，22)；②函数f(x)的图像关于点（1）求函数f(x)的解析式；（2）当a∈(−2，0)时，是否存在实数a满足不等式f(2a+3

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】sin14π故答案为：D

【分析】利用已知条件结合诱导公式得出sin14π2．【答案】C【解析】【解答】因为A=30°，a=3，b=4，所以bsin故答案为：C

【分析】利用已知条件结合正弦定理和解三角形的方法，进而找出满足条件的三角形的个数。3．【答案】B【解析】【解答】因为sin(π−α)=sinα=−3故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合诱导公式得出cos(π4．【答案】A【解析】【解答】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A符合题意；因为两个向量不能比较大小，所以B不符合题意；由OP=OA+3根据向量的共线定理可知，P，A，B三点不共线，所以C不符合题意；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60所以分针转过的角的弧度数为−π故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、向量不能比较大小的性质、平面向量基本定理和用向量共线定理判断三点共线的方法、角度与弧度的互化公式，进而找出说法正确的选项。5．【答案】C【解析】【解答】将函数y=cos(3x+φ)的图象沿x轴向左平移π12个单位后的函数为y=cos(3(x+π12)+φ)=故答案为：C

【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，进而得出φ=kπ+π4，再结合特殊值代入法得出满足要求的6．【答案】C【解析】【解答】由图象可知，3π8−π由T=πω=π2又f(3π8)=0所以3π4+φ=kπ，因为|ϕ|<π2，所以φ=π又f(0)=1，所以Atan(π4)=A=1所以f(x)=tan(2x+π所以f(7π故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合正切型函数的部分图象求出正切型函数的解析式，再结合代入法得出函数的值。7．【答案】B【解析】【解答】以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，则A(0，1)，B(1，设P(t，−t+1)，t∈[0，1]，则PB⋅当t=0时，(PB⋅PC)max故其取值范围为[−1故答案为：B.

【分析】由题意画出图形，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，再由平面向量数量积的运算可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】因为△ABC为锐角三角形，所以B+C>π所以0<π2所以cos(cosC)>cos(sinB)，A符合题意；同理，1>sinA>cos同上，1>sinC>cos又A=π4时，故答案为：A

【分析】利用已知条件结合锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，得出0<π9．【答案】B,C【解析】【解答】对于A选项，若b=0且a//b，b//对于B选项，若向量a=(1，−3)，b=(2，6)，则所以，a、b可作为平面向量的一组基底，B对；对于C选项，因为向量a=(5，0)所以，a在b上的投影向量为|=(16对于D选项，因为向量m、n满足|m|=2，|n则|m故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合向量共线定理、向量共线定理判断平面向量基底的方法、数量积求投影向量的方法、数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而找出真命题的选项。10．【答案】A,B,C【解析】【解答】因为sinx−当2kπ≤x−π4≤2kπ+π(k∈Z)sinx−cosx≥0此时，f(x)=1当2kπ−π≤x−π4≤2kπ(k∈Z)sinx−cosx≤0此时，f(x)=1所以，f(x)=sin作出函数f(x)的图象如下图中实线所示：对于A选项，由图可知，函数f(x)的图象关于直线x=−3π4、x=π对任意的k∈Z，f(2kπ+=1所以，函数f(x)的对称轴为x=π对于B选项，对任意的x∈R，f(2π+x)==1结合图象可知，函数f(x)为周期函数，且最小正周期为2π，B对；对于C选项，由A选项可知，函数f(x)的对称轴为x=π4+kπ(k∈Z)要求函数f(x)的最大值和最小值，只需求出函数f(x)在[π因为函数f(x)在[π4，所以，当x∈[π4，因为f(π4)=所以，f(x)因此，f(x)的最大值为22，最小值为−1对于D选项，由C选项可知，函数f(x)在[π4，故答案为：ABC.

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求对称轴的方法对称函数的对称轴，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合正弦型函数的图象求最值的方法得出函数f(x)的最值，再利用正弦型函数的图象判断函数f(x)的单调性，从而找出结论正确的选项。11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A选项，因为OA+2OB+3对于B选项，由|OA|=|OB|=2，又2OA+3OB由SC=1可得，SA所以S△ABC对于C选项，若O为△ABC的内心，3OA+4OB又SA：SB：所以，a2+b对于D选项，如下图所示，因为O为△ABC的重心，延长CO交AB于点D，则D为AB的中点，所以，OC=2OD，S△AOD=S△BOD=所以，SA=S故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合奔驰定理的定义，再结合向量相等的判断方法、三角形的面积公式、三角形内心和重心的性质，进而找出真命题的选项。12．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，因为函数f(x)在区间(2π3，所以f(x)的最小正周期T≥π3，即f(x)的最小正周期的最小值为对于B，由f(2π3)+f(5π6)=0，则对于C，由f(x+π3)的图象与f(x)的图象重合，则π所以k×2πω=π3，所以ω=6k(k∈Z)又ω>0，所以0<ω≤6，所以ω=6，即满足条件的ω有且仅有1个，C符合题意；对于D，由题意可知(2π3，所以2π3ω−π6≥当k=0时，1≤ω≤2，当k=1时，4≤ω≤22故ω的取值范围是[1故答案为：BCD．

【分析】利用正弦型函数的图象判断单调性的方法和函数f(x)在区间(2π3，5π6)上单调递减，所以T2≥π6，进而得出f(x)的最小正周期的最小值；由f(2π3)+f(5π6)=0结合函数的图象的对称性，则f(x)的图像关于点(3π4，0)对称，进而得出f(3π4)的值；由f(x+π3)的图象与f(x)的图象重合，则π3为函数f(x)的周期或周期的倍数，再结合正弦型函数的最小正周期公式和A选项知ω≤613．【答案】π3（满足π【解析】【解答】设θ的终边落在射线y=3x(x≥0)上，则取y=3x(x≥0)上的一个点根据三角函数的定义可得，tanθ=又θ为第一象限角，所以θ=π3+2kπ，k∈Z故答案为：π3

【分析】设θ的终边落在射线y=3x(x≥0)上，则θ为第一象限角，取y=3x(x≥0)上的一个点A(1，3)，根据三角函数的定义可得tan14．【答案】2【解析】【解答】取基底{AB由图可知DB=因为DN=λNB，所以所以NB=1λ+1又M是AB的中点，所以MB=所以MN=又MC=M，N，C三点共线，所以∃μ∈R，有MN=μ即(1因为AB，AD不共线，所以有12故答案为：2.

【分析】取基底{AB，AD}，再利用平行四边形的结构特征和三角形法则以及向量共线定理和平面向量基本定理得出DB→=(λ+1)NB→，所以NB=1λ+1DB，显然λ≠−1，再利用M是AB的中点和平面向量基本定理得出MN→=(115．【答案】20.5【解析】【解答】据题意得28=A+a，18=−A+a解得A=5，a=23所以y=23+5令x=10得y=23+5cos故答案为：20.5

【分析】利用已知条件得出28=A+a，18=−A+a，从而解方程组得出A，a的值，从而得出三角型函数的解析式，再结合代入法得出10月份的平均气温。16．【答案】垂；5【解析】【解答】因为|HA则HA2+CB即(HA即BA⋅(即BA⋅(所以，HC⊥AB，同理可得HA⊥BC，HB⊥AC，故点H为△ABC的垂心，因为|=|CB|因为|CB|≥0，解得因此，CB2解得AB⋅因此，AH⋅故答案为：垂；5.

【分析】利用|HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2=|HC|217．【答案】（1）解：若a，b方向相同，则a⋅若a，b方向相反，则a⋅（2）解：由已知可得，a⋅所以(2a【解析】【分析】（1）利用已知条件结合共线向量的定义，从而结合分类讨论的方法和数量积的定义，从而得出a⋅b的值。

（2）利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出18．【答案】（1）解：补充表格：ωx+φ0ππ3π2πx−π3π5π7πA020−0由最大值为2，最小值为−2，可知A=2再根据五点作图法，可得2⋅π8故f(x)=（2）解：令t=2x+π4所以f(x)=m有两个根，转化为2sint=m在t∈即sint=m2由y=sint在t∈[所以1≤m<故实数m的取值范围为[【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦函数五点法和换元法，从而填写完数据表，再结合数据表中的数据和函数的最值得出A的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出ω的值，再利用代入法和五点对应法得出φ的值，从而得出函数的解析式。

（2）令t=2x+π4和x的取值范围，再结合不等式的基本性质，从而得出t的取值范围，所以f(x)=m有两个根，转化为sint=m2在t∈[π19．【答案】（1）解：因为a=(1，2cosx)又|cosx|≤1，则0≤cos2x≤1所以|a（2）解：因为a=(1，2cosx)则a⋅所以当sinx=14时，a⋅【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及余弦函数的值域和不等式的基本性质，进而得出|a|的取值范围。

（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，进而得出a⋅b20．【答案】（1）解：∵a=3、b=5、c=7∴角C最大.由余弦定理得：cosC=a2+b∴C=120°.（2）解：在△ABC中，S=∵sin2B+∴S==1当a=3、b=5、c=7时，S=1即△ABC面积为153【解析】【分析】（1）根据大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数；

（2）利用三角形面积公式S=12acsinB，以及sin2B+cos221．【答案】（1）证明：因为e=(b，c)，f=(sinC，由正弦定理可得b⋅b2R=c⋅c2R（2）解：因为e=(b，c)，g所以(b，又a=2，则bc=b+c，因为a=2，A=π则由余弦定理可得4=b2+所以△ABC的面积为S△ABC【解析】【分析】（1）利用e=(b，c)，f=(sinC，sinB)，且e∥f，再结合向量共线的坐标表示和正弦定理得出b²=c²，再结合等腰三角形的定义证出三角形△ABC为等腰三角形。

（2）利用e22．【答