辽宁省鞍山市2024-2025学年高三下学期第一次月考试卷数学答案

高三数学试卷第6页共6页高三数学试题参考答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。题号1234567891011答案DCBCDABABDACDAD三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．13.14.105四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案；（2）先利用面积公式求，再利用余弦定理求，则面积可求.解：（1）因为，又，所以，（3分）整理得，即，因为，所以，所以，则；（7分）解：（2）由（1）得，得，（10分）所以，所以，所以的周长为.（13分）16.（本小题满分15分）【分析】（1）根据题意先证平面，进而可得，根据勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.证明：（1）因为底面，底面，则，由题意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨设，由题意可得：，可知：，即，且，平面，所以直线平面.（7分）解：（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，可得，设二面角为，则，所以二面角的正弦值.（15分）17.（本小题满分15分）【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详解】（1）记“第次打靶的人是小明”为事件，“第次打靶的人是小亮”为事件，所以，.（4分）（2）设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（10分）（3）因为，，所以当时，，故．（15分）18.（本小题满分17分）【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ斜率不相等，从而判断出四边形ARQF为梯形.解（1）由题得，将代入得：，椭圆E的方程为.（5分）（2）设，则，且，两式相减得：，可得，l方程为，即.（11分）（3）由得：，且，，∴，又直线的斜率存在，AF与RQ不平行，∴四边形ARQF为梯形.（17分）

19.（本小题满分17分）（1）首先求，利用导数分析函数的单调性，并结合“最接近”直线的定义，分情况分析证明；（2）首先设函数，再令，利用导数判断函数的单调性和最值，并结合并结合“最接近”直线的定义，分析证明.解（1）由题意，则当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，又，，在区间上的最大值为，根据函数的图象特点，可知对任意，均有，，下面讨论的大小：①若至少有一个大于等于1，则，②若两个都小于1，则，因为是直线，故对任意，均有，，从而，即由①②可知，，当时，，，此时等号成立.（8分）解（2）设，再令，，令，，在区间上单调递减，而，，存在，使得，即，且时，，单调递增，时，，单调递减，在区间上的最大值为，而，，则在区间上大于等于0，由（1）问分析知，对定义在上的函数