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微分几何——测地曲率相关研究测地曲率计算公式的总结，并给出实例。设曲面的方程是，是上的曲线，其方程是，是曲线的弧长参数，建立标架场，满足可设其中表示的是曲面上曲线的法曲率，都是待定的系数，表示测地曲率，由定义可知测地曲率的计算方法公式1由此我们可得到其中表示曲线的曲率，表示曲线的从法向量与曲面的法向量的夹角。其中表示曲面的曲率，表示曲线的从法向量与曲面的法向量之间的夹角。公式2其中表示曲线的主法向量与曲面的法向量的夹角结合，可将计算公式展开得到公式3其中，对于正交参数系来说，曲线的测地曲率是公式4特别地，u曲线的测地曲率，v曲线的测地曲率是。这样原公式就可以改写为。[例]计算曲线在单位球面上的切向法曲率和测地曲率，其中。解：由是曲线的弧长参数，故在单位球面上，做内积即可算出又由于，可得[例]证明：在球面上，曲线的测地曲率可以表示成，其中是球面上曲线的参数方程，是其弧长参数。是曲线与球面上u曲线之间的夹角。证明：由球面的表达式可以求出因此又得到测整理测地曲率和测地线的知识点，画出思维导图并做说明。曲率：根据Frenet的活动框架理论，空间曲线的曲率向量为r(s).曲率矢量的长度为曲率的大小，方向与曲线主法向量平行曲面上曲线的曲率：法曲率：曲线曲率在曲面法线方向上的投影。表示曲线的从法向量与曲面的法向量的夹角：kn=r测地曲率：曲线曲率在曲面切平面方向上的投影。kg2由活动标价法，可以推导弧长参数下测地曲率：r====(dk特别地，当曲线的参数网为正交参数网时，引入活动框架法：现有曲线参数下ru,rv正交，令edr于是有：=计算r在切平面上投影可以得到：所以：测地线测地曲率的线称为测地线：测地线唯一存在定理：在给定初始条件的情况下，由d唯一存在一条测地线。正交参数下，刘维尔公式确定的测地线：若给出初始条件，存在唯一解。测

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