2024-2025学年山东省德州市高中五校高二上学期1月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省德州市高中五校高二上学期1月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若C22m=C22m+2A.45 B.55 C.120 D.1652.在x−2x25的展开式中，xA.40 B.64 C.20 D.−403.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1ℎ，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是A.15 B.716 C.254.为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人．若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为(

)A.12 B.24 C.36 D.485.生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告(2024)》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分X近似服从正态分布N51,256，则得分在区间67,83内的企业大约有(参考数据：若X～Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σA.108家 B.116家 C.124家 D.136家6.已知点A−3,0,B3,0，动点P满足PAPB=2，设P点的轨迹为曲线Γ，直线l:x−y−1=0与Γ交于C,DA.22 B.42 C.7.如图，在三棱锥P−ABC中，▵ABC为等边三角形，▵APC为等腰直角三角形，PA=PC，平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(

)A.−34 B.34 8.已知甲、乙去北京旅游的概率分别为34，23，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为56，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为A.47 B.35 C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项正确的是(

)A.若随机变量X服从两点分布，也称0−1分布，且EX=12，则DX=18

B.若随机变量X满足PX=k=C2kC42−kC6210.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(

)A.事件M发生的概率为12 B.事件M与事件N不互斥

C.事件M与事件N相互独立 D.事件M+N发生的概率为11.以下四个命题表述正确的是(

)A.若点A4,3,B3,5到直线l:2x+ay+1=0的距离相等，则a的值为1或−2．

B.设O为坐标原点，直线y=−3x−1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于M,N两点，则MN=1633

C.若圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若随机变量X服从标准正态分布N0,1，则PX<0=

13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，直线x−c=0与双曲线C的一个交点为点四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知在ax22−1(1)a的值；(2)展开式中x10(3)含x的整数次幂的项共有多少项．16.(本小题12分)某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为13，抽中“安慰奖”的概率为2(1)记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望；(2)求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率．17.(本小题12分)

为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求,提高市民“反诈”意识,某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛,共有10000名市民参与了知识竞赛,现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人,得分统计如下:成绩(分)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数61218341686(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率;(2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布N(64,152),试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数(结果四舍五入到整数(3)为了进一步增强市民“反诈”意识,得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动,规则如下:参加答题的市民的初始分都设置为100分;参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量n(n≤20,n∈N∗),每一题都需要用一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时所需的分数为0.1k(k=1,2,⋯,n每答对一题得2分,答错得0分;答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数(单位:元).

​​​​​​​已知市民甲答对每道题的概率均为0.6,且每题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他获得的平均话费最多?参考数据:若Z~N(μ,σ​2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545.P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且BC=22,AB=2,∠ABC=45∘(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；(2)点Q是棱PC上靠近点P的三等分点，求直线AD与平面BDQ所成角的正弦值；(3)求点C到平面BDQ的距离．19.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32(1)求C的方程；(2)若AM⋅AN=0，求▵AMN参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BCD

10.ABC

11.ACD

12.12或0.513.7614.35515.【小问1详解】由已知得二项展开式的通项T因为常数项454，令20−5k2=0，解得k=8，此时a【小问2详解】由(1)知Tk+1=(−1)k1所以x10的系数为【小问3详解】要使20−52k为整数，只需k为偶数，由于0≤k≤10，k∈N因此含k的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

16.【小问1详解】X的所有可能取值为20,40,60．且P(X=20)=2所以X的分布列为X204060P441故E(X)=20×4【小问2详解】设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件A，甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元．①若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，其概率为C3②若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”，其概率为C2所以P(A)=4

17.解：(1)从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,基本事件总数为C1002,

设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A,则事件A包含的基本事件的个

数为C701C301,因为每个基本事件出现的可能性都相等,所以P(A)=C701C301C1002=1433,

即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为1433;

(2)(i)因为μ+δ=79,所以P(X>79)≈1−0.68272=0.15865,

故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为0.15865×10000≈1587;

(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,

则ξ∽B(n,0.6)且E(ξ)=0.6n,

记甲答完n题所加的分数为随机变量X,

则X=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=1.2n,

依题意为了获取答n道题的资格,

甲需要的分数为:0.1×(1+2+3+⋯+n)=0.05(n2+n),

设甲答完n题后的最终得分为f(n),

则f(n)=100-0.05(n2+n)+1.2n

=-0.05n2+2320n+100=-120(n−232)2+852980.18.【小问1详解】证明：在▵ABC中，BC=由余弦定理，得AC所以AC2+A因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥AC,AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面PAB．又AC⊂平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．【小问2详解】设AB,BC的中点分别为O,E，连接OP,OE，因为PA=PB,O为AB的中点，所以PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，所以PO⊥OE．因为O,E分别为AB,BC的中点，所以OE/​/AC，又AB⊥AC，所以OE⊥AB，即OB,OE,OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OB,OE,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=2，则A−1,0,0,B1,0,0则BD=设m=x,y,z是平面则m⋅BD令x=1，则m=设直线AD与平面BDQ所成角为θ，又AD=则sinθ=所以直线AD与平面BDQ所成角的正弦值为10【小问3详解】由(2)知，平面BDQ的一个法向量为m=由点到平面的距离公式得：C到平面BDQ的距离d=BC所以C到平面BDQ的距离为2

19.【小问1详解】由题意可知：b=1e=c所以椭圆C的方程为x2【小问2详解】若AM⋅AN=0设直线l:y=kx+mm≠1联立方程y=kx+mx24+y2=1，消去y可得x因为A0,1，则AM由AM⋅AN=0，可