2024-2025学年江西省景德镇市高二上学期1月期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省景德镇市高二上学期1月期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若P0,1,1,Q2,3,5在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为A.1,1,2 B.1,2,1 C.1,2,2 D.2,2,22.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AA.π6 B.π4 C.π33.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是(

)A.1 B.2 C.3 4.已知椭圆x2a2+y2A.33 B.32 C.5.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=4,O′C′=1，那么▱OABC的面积为(

)

A.4 B.42 C.8 6.“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高80m，底部直径40m，口部直径80m.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积(单位：m3)是(

)

A.224000π3 B.224000π C.160000π3 7.在空间中，设l,m,n为三条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，下列命题错误的是(

)A.若m//n,n//α,m⊄α，则m//α

B.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l，则l⊥γ

C.若m,n在平面α内，且l⊥m,l⊥n，则l⊥α

D.若α⊥β,α∩β=l,m//α,m⊥l，则m⊥β8.已知正方体的体积为8，每条棱所在直线与过该正方体顶点的平面α所成的角都相等，则平面α截该正方体的外接球所得截面的面积为(

)A.π3 B.3π C.43二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，下列说法正确的是(

)A.设a=1,0,0,b=0,1,0,c=0,0,1，则a−2b,b,c为空间的一组基底

B.已知向量a=1,1,−1,b=2,3,410.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=8x的焦点为F,Ax1,A.若x1+x2=4，则过焦点的弦AB长为8

B.焦点到准线的距离为8

C.若D6,2，则AD+AF的最小值为811.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,F,E分别为BC､CC1的中点，点P为平面BCC1B1A.当A1P∩B1C1=P时，A1､D､E､P四点共面

B.A1P长度的最小值为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为

．13.离心率为3的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线l交于M,N两点，已知双曲线的焦点为F1､F2，且▵MO14.已知一个圆柱的侧面积为2π，则该圆柱外接球的体积最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a=(1)求向量b的坐标；(2)设向量c=2,m,n,(3)若ka+b⊥16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB//DC，AD⊥DC,DA=AB=2,DC=4,E,F分别为棱CD,PD的中点．(1)求证：PB//平面AEF；(2)求证：AE⊥平面PBD．17.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l:y=x+3与椭圆C相交于A,B两点，又与圆x2+y2=9交于A,D两点，若线段AD的中点为18.(本小题12分)如图，正方形ABCD与直角梯形CFED所在平面互相垂直，ED⊥EF,ED//FC,ED=EF=(1)求证：平面ADE//平面FBC；(2)求点A到平面FBC的距离；(3)线段DE存在点P，使得EP=12ED，求平面PBD与平面19.(本小题12分)如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1,CA⊥CB,CA=CB=CC1=2，点F为棱CC

(1)求证：cosθ=(2)若AD=B①求证：平面DEF⊥平面ABB②当角θ取最大时，在平面DEF与平面ABC的交线l上存在一点M，计算直线C1M与平面ABC所成角的正弦值的最大值.(可以使用(1)中结论参考答案1.A

2.C

3.C

4.D

5.D

6.A

7.C

8.D

9.AD

10.ACD

11.AC

12.4

13.y=x+1

14.4π315.(1)由a=2,−2,2(2)由(1)得b−a=(2,1,−2)，而量c所以|c(3)由(1)知，a2由(ka+=12k−20k+10−34=−8k−24=0，所以k=−3

16.(1)如图，连接BE，设BD∩AE=O，连接OF．因AB//DC，DE=12DC=AB=2，可得▱ABED又DF=PF，则得OF//PB，因OF⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，故PB//平面AEF．(2)由(1)已得▱ABED，因DA=AB=2，故四边形ABED为菱形，则AE⊥BD，因PD⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,则PD⊥AE，又BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PBD，故AE⊥平面PBD．

17.(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1的短轴长为所以椭圆C的标准方程为x2(2)直线l:y=x+3与y轴交于点(0,3)，此点在圆x2+y2=9则E(−32,32)，由y=x+35所以线段BE的长|BE|=

18.(1)因为ABCD是正方形，所以AD//BC,BC⊂平面FBC，AD⊄平面FBC，所以AD//平面FBC，因为DE//CF,CF⊂平面FBC，DE⊄平面FBC，所以DE//平面FBC，DE∩AD=D,DE,AD⊂平面ADE，所以平面ADE//平面FBC；(2)正方形ABCD与直角梯形CFED所在平面互相垂直，平面ABCD∩平面CFED=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CFD，取CF的中点T，因为ED=EF=2以DT,DE,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，因为A0,0,2所以CB=设平面FBC的法向量m则m取x=1，得m=点A到平面FBC的距离为d=(3)P0,CB=设平面BDC的法向量m则m取x1=1，得m设平面PBD的法向量m则m取x2=1，得设平面PBD与平面BDC的夹角θcosθ=

19.(1)在直三棱柱ABC−A1B1C以C为原点，直线CA,CB,CC1分别为则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),F(0,0,1)，设D(2,0,m),E(0,2,t)FD=(2,0,m−1),FE=(0,2,t−1)，令平面DEF则n⋅FD=2x+(m−1)z=0n⋅FE=2y+(t−1)z=0，取z=2因此cosθ=|cos∠DFE=FD⋅S▵DEF=1所以cosθ=(2)①AD=B1E，由(1)得，m=2−t，平面DEFAB=(−2,2,0),AA1=(0,0,2)则u⋅AB=−2a+2b=0n⋅AA所以平面DEF⊥平面ABB②由(1)知，cosθ=2(t−1)由对称性，