《二阶常微分方程的解法及应用研究8300字（论文）》

第1章引言和基本概念本课题主要研究二阶常微分方程的解法及其应用，在本章简单介绍了常微分方程的发展状况和相关基本概念。1.1引言17世纪，牛顿和莱布尼兹发明了微积分，常微分方程也顺势诞生。常微分方程在与天体力学相关的问题中发挥着重要作用，如行星的运动轨迹和海王星的存在都是通过微分方程证实的，这使数学家认识到了常微分方程的巨大作用。在微分方程历史进程中，欧拉首次将二阶常微分方程通过变量替换化成一阶常微分方程组，这推动了对二阶常微分方程的进一步研究，欧拉给出的恰当方程解法和特征根法均有着广泛应用。对于变系数齐次线性微分方程求解问题的研究，文献[1]中介绍到拉格朗日给出了常数变易法，该方法在二阶线性微分方程的求解问题中占有重大地位。文献[2]中详细介绍了拉普拉斯变换法，其广泛应用于工程技术和科学研究方面。常微分方程在许多科学领域有着重要应用，许多现实问题都可以化成对常微分方程的求解问题。如文献[3,4]中提到的数学摆的运动轨迹和电磁振荡等实际问题均利用了二阶常微分方程进行求解，文献[5]总结了常微分方程在军事、医学等领域的应用，将实际问题转化成了常微分方程的求解问题。对于二阶常微分方程在实际中有着广泛的应用，但是能够求解的类型很少，所以探讨二阶常微分方程的解法是一项很有意义的工作。本文对这类方程的解法进行了探讨，给出了若干特殊二阶常微分方程的求解方法，并进行了举例应用。1.2基本概念有关常微分方程的基本概念可参见文献[3]，作为下文内容的预备知识。常微分方程自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程REF_Ref1564\r\h[3]。阶数把微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数REF_Ref1564\w\h[3]。二阶常微分方程的一般形式为（1-1）其中是关于，，，的已知函数，并且一定有REF_Ref1564\w\h[3]。二阶线性微分方程（1-2）方程（1-2）为二阶线性微分方程的一般形式，其中，，都是的已知函数[3]。解将函数代入方程（1-1）后，若能使其变成恒等式，则把称作方程（1-1）的解REF_Ref1564\w\h[3]。通解和特解把含有两个独立的任意常数，的解称为方程（1-1）的通解。满足初值条件解的称作方程（1-1）的特解REF_Ref1564\w\h[3]。第2章一阶微分方程的初等解法二阶常微分方程一般没有普遍适用的解法，通常需要对原方程通过变量变换进行降阶，在求解过程中经常运用到一阶微分方程的解法，在介绍二阶常微分方程的解法与应用之前，先介绍几类典型的一阶微分方程的解法，可参见文献[3]。2.1变量分离方程（1）定义形如（2-1）的方程，称为变量分离方程，其中，分别是，的连续函数。（2）解法如果，可将式（2-1）改写成，变量得以分离,两边积分，可得（2-1）的通解为（2-2）若存在使，则也是方程（2-1）的解。2.2线性微分方程（1）定义形如（2-3）的方程，称为一阶线性微分方程，其中，是在区间上关于的连续函数。若，则（2-4）方程（2-4）为一阶齐次线性微分方程。若，则方程（2-3）称为一阶非齐次线性微分方程。（2）解法利用2.1节的方法，可以求得方程（2-4）的通解为（2-5）其中为任意常数。考虑方程（2-3），其为方程（2-4）的特殊情形，令（2-6）微分得到（2-7）将方程（2-6）（2-7）代入到方程（2-5）中，得到积分得代入（2-6），可得方程（2-5）的通解.（2-8）这种方法称为常数变易法，通过以上变换可将方程（2-3）化成变量分离方程，解决求解问题。2.3隐方程形如的方程，称为一阶隐式微分方程。如果很难从该方程中求解，或所求出的的表达式十分复杂，则可以采用引进参数的办法使其变化为导数已经解出的方程类型。2.2.1可以解出的方程考虑可以解出的方程，其形如（2-9）令，则有（2-10）两边对求导，得（2-11）若方程（2-11）的通解为则方程（2-9）的通解为.若方程（2-11）的通解为，则方程（2-9）的参数形式通解为，其中是参数，是任意常数。若方程（2-11）的通解为则方程（2-9）的参数形式通解为其中是参数，是任意常数。2.2.2可以解出的方程考虑可以解出的方程，其形如（2-12）令，则有（2-13）两边对求导，得（2-14）若方程（2-14）的通解为则方程（2-11）的通解为.若方程（2-14）的通解为，则方程（2-11）的参数形式通解为，其中是参数，是任意常数。若方程（2-14）的通解为则方程（2-11）的参数形式通解为，其中是参数，是任意常数。2.2.3不显含的方程不显含的方程形如（2-15）令，则有（2-16）方程（2-16）的参数形式为方程（2-15）满足，由方程（2-17）知积分得故方程（2-15）的通解为其中是参数，是任意常数。2.2.4不显含的方程不显含的方程形如（2-17）令，则有（2-18）方程（2-18）的参数形式为其中是参数，有关系式，所以积分得故方程（2-17）的通解为其中是参数，是任意常数。第3章二阶线性微分方程的解法本章先介绍二阶线性微分方程的一般理论，再探讨其求解方法。3.1二阶线性微分方程的一般理论REF_Ref1564\w\h[3]二阶线性微分方程形如（3-1）其中，及都是区间上的连续函数。当时，即方程（3-2）称为二阶齐次线性微分方程。当时，称为二阶非齐次线性微分方程。3.1.1二阶齐次线性微分方程解的性质和结构定理1（叠加原理）若方程（3-2）有两个解和，则也是该方程的解，其中，为任意常数REF_Ref1564\w\h[3]。定义1（线性相关）设，为定义在区间内的两个函数，若存在不全为零的常数，，使得对于该区间内的一切，有恒等式成立，则称这两个函数在内线性相关，否则线性无关REF_Ref1564\w\h[3]。定理2如果在区间上，有或，则和在区间上线性无关[3]。（其中和和是区间上的连续函数，为常数）证明假设和在区间上线性相关即存在不全为零的常数，，使得不妨设，则有，此时为常数故与定理矛盾，假设不成立即和在区间上线性无关。定义2（朗斯基行列式）有两个可微函数，，在区间上有定义，则由，作成的行列式称为朗斯基行列式REF_Ref1564\w\h[3]。定理3若函数，在区间上线性相关，则在区间上，反之不成立REF_Ref1564\w\h[3]。定理4（通解结构定理）若方程（3-2）有两个线性无关的解，，则方程（3-3）可表示为方程（3-2）的通解，其中，为任意常数，并且它包含了方程（3-2）的所有解REF_Ref1564\w\h[3]。3.1.2二阶非齐次线性微分方程解的性质和结构性质1若是方程（3-1）的解，是方程（3-2）的解，则也是方程（3-1）的解REF_Ref1564\w\h[3]。性质2方程（3-1）的任意两个解之差一定是方程（3-2）的解REF_Ref1564\w\h[3]。定理5设，是方程（3-2）的基本解组，方程（3-1）有一解，则方程（3-1）的通解表示为（3-4）其中，为任意常数，并且它包含了方程（3-1）的所有解REF_Ref1564\w\h[3]。定理6如果方程（3-2）的系数和均为实值函数，而是方程（3-1）的复值解，则其实部，虚部，共轭复值函数都是方程（3-2）的解REF_Ref1564\w\h[3]。3.2二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的一般形式（3-5）其中，是常数。若，即方程（3-6）称为二阶常系数齐次线性微分方程。若，则称为二阶常系数非齐次线性微分方程。由定理4和定理5可知，求方程（3-5）的通解只需要求它的一个特解和方程（3-6）的基本解组。3.2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法这部分给出了求解基本解组的特征根法（又称欧拉待定指数函数法）。考虑方程（3-6）试求形如的解，其中是待定常数，将代入方程（3-6），得到，其中，于是有（3-7）因此是方程（3-6）的解的充分必要条件是是方程（3-7）的根，方程（3-7）称为方程（3-6）的特征方程，它的根称为特征根。对于方程（3-7），记。情形1：特征根是单根（1）若，则方程（3-7）有两个相异实根，有，方程（3-6）的两个解为，，并且，由定理2可知，和线性无关，则方程（3-6）的通解为.若，则方程（3-7）有一对共轭复根，有，与这对共轭复根相对应的，方程（3-6）有两个复值解由定理6可知，方程（3-6）的两个实值解为，则方程（3-6）的通解为.情形2：特征根有重根若，则方程（3-7）有两个相等的实根，得到方程（3-6）的一个特解，现在求另一个与线性无关的特解，由定理2可知，应满足,设，即，带入到方程（3-6），整理得到，因为是方程（3-7）的二重根，所以有，，得，取特解，即得，故方程（3-6）的通解为.例1求方程的通解解特征方程为特征根为，特征根为两个实根，故方程通解为例2求方程满足初始条件，的特解解特征方程为特征根为其通解为因为，，有，即故特解为3.2.2二阶常系数非齐次线性微分方程特解的几个解法在3.2.1节介绍了求解基本解组的特征根法，所以这部分主要给出方程（3-5）的特解的解法。3.2.2.1常数变易法考虑二阶常系数非齐次线性微分方程（3-5）其对应齐次方程为（3-6）由上文可知，方程（3-4）对应的特征方程为（3-7）徐新荣REF_Ref3291\w\h[6]总结了一种常数变易法，该方法得出了方程（3-5）的一个特解公式。基本思路是先利用特征根法求解方程（3-6）的基本解组，再利用方程（3-6）的一个特解，根据常数变易法求解方程（3-5）的特解，从而得到原方程通解。（1）REF_Ref3291\w\h[6]若是方程（3-7）的实根，则是方程（3-6）的解，根据常数变易法设方程（3-5）的一个解为（3-8）求导可得，（3-9）将方程（3-8）与方程（3-9）代入到方程（3-5）中，可得到其为关于的一阶线性微分方程，解得积分得令，有特解从而得到方程（3-5）的一个特解为.（3-10）若是方程（3-7）的复根，则设，，由定理6可知，方程（3-6）有实值解，根据常数变易法设方程（3-5）的一个解为，依据（1）的方法，可得方程（3-5）的一个特解为.在教材[3]中，是利用方程（3-6）的基本解组通过常数变易法直接求得方程（3-5）的通解的，方法如下。（2）REF_Ref1564\w\h[3]设，是方程（3-8）的基本解组，即其通解为将常数变易为的待定函数，设方程（3-5）的通解形式为（3-11）将上式代入方程（3-5），则可得到关于，的方程组可解得，积分得，，其中为任意常数，将代入方程（3-11）中，得到方程（3-5）的通解.例3求方程的通解解法1所对应的齐次方程为特征方程为特征根为，特征根为两个实根，故齐次方程通解为设特解为求导得将，，代入到原方程，得到解得积分得可得一个特解可得原方程的一个特解故原方程的通解为.解法2由解法1可得齐次方程的基本解组为，，令将其代入原方程，可得解得，积分得，代入，得方程通解为3.2.2.2比较系数法比较系数法是利用代数方法求解方程（3-5）特解的，是一种较为简便的求解方法。类型1REF_Ref3494\w\h[7]（其中为实常数，为次多项式）设特解为，其中是多项式，可得，，将以上两个式子代入方程（3-4），得到.（3-12）要使方程（3-12）两端恒等，在不同情形下，应有以下形式的特解：情形（1）若不是的特征根，则特解形式为.情形（2）若是的单根，则特解形式为.情形（3）若是的重根，则特解形式为.例4求方程的通解解原方程所对应的的齐次方程为特征方程为特征根，齐次方程的通解为因为是特征方程的单根，所以设特解形式为代入原方程，得到解得,则特解为那么原方程通解为类型2REF_Ref1564\w\h[3]（其中，为带实系数的多项式，一个次数为，另一个次数不超过，而，为常数）此时方程（3-5）有形如下面形式的特解其中，,是待定的带实系数多项式，它们的次数都不高于的多项式。例5求微分方程的通解解特征方程为特征根为所对应的的齐次方程的通解为因为是特征根设特解为代入原方程，得到解得，通解为.3.2.2.3拉普拉斯变换法REF_Ref1564\w\h[3]（1）定义由积分所定义的确定于复平面上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，记为，称为原函数，为像函数[3]。（2）性质在文献[8]中给出了拉普拉斯变换的一般概念和基本性质以及拉普拉斯变换简表。性质3REF_Ref3683\w\h[8]（线性性质）如果，是原函数，，是两个任意常数，则有.性质4REF_Ref3683\w\h[8]（原函数的微分性质）若，，都是原函数，则有.给定方程（3-5）及初值条件，（3-13）记（3）利用拉普拉斯变换求解二阶非齐次线性微分方程步骤为令对方程两端各项进行拉普拉斯变换，得到即或根据拉普拉斯逆变换或查表求出原函数：例6求微分方程，解令，则有，令两边做拉普拉斯变换得到，整理得查拉普拉斯变换表得所以所求解为.3.3二阶变系数线性微分方程的解法考虑二阶变系数线性微分方程（3-1）当时，称方程（3-1）为二阶非齐次线性微分方程。当时，有（3-2）称方程（3-2）为二阶齐次线性微分方程。在本科常微分方程教材中，一般只介绍方程（3-2）的解法,而方程（3-1）没有通用的解法。求解这类方程解法的一般思路是：1.通过变换将方程化为常系数线性微分方程来求解；2.通过变换将方程降阶化为一阶微分方程再求解。这一章将介绍几个特殊的解法。3.3.1降阶法REF_Ref1564\w\h[3]对于方程（3-2），如果知道它的一个非零解，就可以利用降阶法化为一阶齐次线性微分方程，从而可以求得原方程的解。具体解法如下：设方程（3-2）有一个已知的非零解，作变换，原方程化为解得所以（3-14）其中，是任意常数。方程（3-1）的通解可表示为式（3-14），它包括了原方程的所有通解。例7已知是的一个解，求方程的通解解令，由方程（3-14）可知原方程的通解为3.3.2行列式解法REF_Ref3843\w\h[9]文献[8]介绍了行列式解法，该方法可以求得原方程的一个特解，再利用3.3.1节的降阶法，就可以得到原方程的通解。考虑二阶齐次线性微分方程（3-15）根据行列式的性质，方程（3-15）用行列式表示的形式为（3-16）（3-16）为对应于方程（3-15）的行列式微分方程。性质5将行列式（3-16）的某一行各元素同乘以一个不恒为零的函数，其解不变。性质6将行列式（3-16）的某一行各元素同乘以一个不恒为零的函数，然后加到另一行对应元素上，其解不变。定理7若可以利用行列式的性质，将（3-16）转换为方程那么，是方程（3-16）的解。定理8若可以利用行列式的性质，将（3-16）转换为方程那么，和都是方程（3-16）的解。下面通过举例应用来说明行列式解法。例8求解微分方程解原方程的行列式方程为第二行各元素乘以后加上第三行各元素，最后同乘以（），得到（3-17）若是方程（3-17）的解，则应满足整理得，即利用变量分离法，解得取，原方程的一个特解为利用3.3.1介绍的降阶法，可得原方程的通解为.3.3.3代数方法REF_Ref3902\w\h[10]这一节研究了一类具有某形式非平凡解的二阶微分方程，这类方程可以通过变换降为一阶方程，进而求解。考虑二阶齐次线性微分方程（3-2）其中，在某区间上连续，若存在某常数，使得对一切，有（3-18）则方程（3-2）具有非平凡解，再利用3.3.1节的降阶法便可求得通解。例9求微分方程解由于代数方程对于一切实数，有常数，故原方程有非平凡解根据3.3.1节的降阶法，由方程（3-14），可得原方程的通解为3.3.4幂级数解法REF_Ref1564\w\h[3]并非所有微分方程的解都可以用幂级数来表示，当方程满足一定条件时它的解才可以用幂级数来表示。定理9若方程（3-2）中系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程（3-2）的特解形如它以为级数的收敛区间REF_Ref1564\w\h[3]。定理10若方程（3-2）中系数和具有这样的性质，即和均能展成的幂级数，且收敛区间为，若，则方程（3-2）有形如的特解，为一个待定的常数REF_Ref1564\w\h[3]。在文献[3]中提到的这两个定理，可以求解相应条件的微分方程。例10求微分方程的通解解系数,，都能展开成的幂级数，并且收敛区间为所以可设方程的解为则有，将，，代入原方程，整理得到即，有，，故原方程的通解为.3.3.5欧拉方程的解法REF_Ref4117\w\h[11]二阶欧拉方程形如（3-19）其中，为常数，方程（3-19）可以通过变量变换化为常系数齐次线性微分方程。作变量变换，求导，得到，代入原方程，得到（3-20）这样就把方程（3-19）化为一个二阶常系数线性微分方程，根据方程解的形式，可以假设原方程有形如的解。一般步骤：1.将代入方程（3-19），得到即（3-21）2.若方程（3-21）有两个相异实根，，则方程（3-19）的通解为3.若方程（3-21）有一对共轭复根，则方程（3-19）的通解为4.若方程（3-21）有二重实根，则方程（3-19）的通解为5.若方程（3-21）有二重复根，则方程（3-19）的通解为.例10求解方程解令，代入原方程得解得，原方程通解为，其中，是任意常数。第4章二阶非线性微分方程的解法对于二阶非线性微分方程，一般没有固定的解法，求解的基本思路就是通过变量变换进行降阶。我们在这部分介绍几类可降阶的二阶非线性微分方程的解法，如果方程能降低一阶变成一阶微分方程，求解的可能性就增大了。4.1不显含未知函数方程REF_Ref1564\w\h[3]此类方程不显含未知函数，求解步骤一般为令，则，原方程化为关于的一阶方程，即设其通解为则有积分，可得原方程的通解（4-1）其中，为任意常数。例11求解微分方程解令，则原方程为整理得解得即积分得故原方程的通解为.4.2不显含自变量的方程REF_Ref1564\w\h[3]此类方程不显含自变量，求解步骤一般为令，则，原方程化为一阶方程设其通解为则有分离变量后积分，可得原方程的通解（4-2）其中，为任意常数。例12求解解设，则原方程为，即解得即求得通解为.4.3形如的方程REF_Ref4323\w\h[12]讨论方程（4-3）令，则，方程（4-3）化为（4-4）两边关于求导，得（4-5）则方程（4-5）是以为自变量，为未知函数的一阶微分方程。若方程（4-5）的通解为，则有对上式积分，得（4-6）方程（4-6）是原方程的通解。若方程（4-5）通解为，方程（4-4）的通解形式为（为参数）由有积分，可得，则方程（4-3）的通解形式为若方程（4-5）通解为，则方程（4-4）的通解为若，可由，解得，则方程（4-4）的通解形式化为此时可按照方法（2）求解方程（4-3）的通解。例13求解微分方程解令原方程化为两边关于求导得整理得令，则有解得即，则方程有参数形式的通解所以原方程的通解形式为其中为参数。4.4形如的方程[12]讨论方程（4-7）令，则,方程（4-6）化为（4-8）两边关于求导得（