高考备考资料之数学人教A版全国用课件51平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算第五章

平面向量基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.向量的有关概念知识梳理名称定义备注向量既有

，又有

的量；向量的大小叫做向量的

(或称

)平面向量是自由向量零向量长度为

的向量；其方向是任意的记作____大小方向长度模00单位向量长度等于

长度的向量

非零向量a的单位向量为±平行向量(共线向量)方向

或

的非零向量0与任一向量

或共线相等向量长度

且方向

的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量0的相反向量为01个单位相同相反平行相等相同相等相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(3)交换律：a＋b＝

；(4)结合律：(a＋b)＋c＝_______________________________三角形2.向量的线性运算平行四边形b＋aa＋(b＋c)几何画板展示几何画板展示减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(6)|λa|＝

；(7)当λ>0时，λa与a的方向

；当λ<0时，λa与a的方向

；当λ＝0时，λa＝________(8)λ(μa)＝

；(9)(λ＋μ)a＝

；(10)λ(a＋b)＝______

三角形相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|几何画板展示3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即

，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则3.

(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(

)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(

)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

)(4)若向量

与向量

是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(

)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(

)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(

)基础自测123456×√√×××题组二教材改编2.[P86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且

＝a，

＝b，则

＝______，

＝________.(用a，b表示)答案解析123456b－a－a－b3.[P108B组T5]在平行四边形ABCD中，若

，则四边形ABCD的形状为________.解析答案123456矩形由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.题组三易错自纠4.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案√123456解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.解析5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_______.解析答案解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则1234566.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，

若

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析答案123456题型分类深度剖析1.给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是A.②③

B.①②C.③④

D.②④解析答案题型一平面向量的概念自主演练√解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是A.0 B.1C.2 D.3解析答案√解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.思维升华命题点1向量的线性运算典例

(1)在△ABC中，

，若点D满足

等于题型二平面向量的线性运算多维探究答案解析√(2)(2017·青海西宁一模)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量

为答案解析√命题点2根据向量线性运算求参数典例(1)在△ABC中，点M，N满足

则x＝________，y＝______.答案解析(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且

，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若

，则x的取值范围是答案解析√平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.思维升华跟踪训练

如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么

等于答案解析√(2)如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，

，则λ的值为______.答案解析典例

设两个非零向量a与b不共线.证明题型三共线向量定理的应用师生共研求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解答解

假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？引申探究解答(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.思维升华跟踪训练

(1)(2017·资阳模拟)已知向量

＝a＋3b，

＝5a＋3b，

＝－3a＋3b，则A.A，B，C三点共线

B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线

D.B，C，D三点共线√解析答案(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式

成立的实数x的取值集合为A.{0} B.∅C.{－1} D.{0，－1}√解析答案典例

下列叙述错误的是___________.(填序号)①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④

＝0；⑤若λa＝λb，则a＝b.容易忽视的零向量现场纠错①②③④⑤纠错心得现场纠错错解展示答案错解展示:④中两个向量的和仍是一个向量，所以

＝0.错误答案

④现场纠错解析对于①，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同.对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立.对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在.对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以

＝0.对于⑤，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤均错.纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.课时作业1.(2018·济南调研)以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3基础保分练12345678910111213141516解析②④错误.解析答案√2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是A.a与λa的方向相反

B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a解析答案1245678910111213141516√解析对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.33.(2017·海南校级模拟)在四边形ABCD中，设

等于A.a－b

B.a＋bC.b－a

D.不能确定解析答案1245678910111213141516√3解析答案12456789101112131415164.已知

，则下列一定共线的三点是A.A，B，C

B.A，B，DC.B，C，D

D.A，C，D√解析因为

＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝

有公共点A，所以A，B，D三点共线.35.(2018·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若

，则m＋n的值为解析答案1245678910111213141516A.1 B.2C.3 D.4√31245678910111213141516解析∵O为BC的中点，36.(2018·聊城质检)设a，b不共线，

，若A，B，D三点共线，则实数p的值为解析答案1245678910111213141516A.－2

B.－1C.1 D.2√31245678910111213141516∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.37.已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________.(填序号)①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.解析答案1245678910111213141516解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.②38.(2018·青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且

，给出下列命题：

；

其中正确命题的序号为________.解析答案1245678910111213141516②③④312456789101112131415163所以正确命题的序号为②③④.9.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若

＝＋

(m，n∈R)，则m－n＝________.解析答案1245678910111213141516－231245678910111213141516310.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝

，点E在线段CD上，若

，则μ的取值范围是________.解析答案124567891011121314151631245678910111213141516311.(2017·安徽马鞍山质检)已知P，Q为△ABC中不同的两点，且

＝0，则S△PAB∶S△QAB为________.12456789101112141516解析答案1∶2解析因为

＝0，所以P在与BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S△PAB＝

＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝

S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A.13312.(2018·重庆调研)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，1245678910111213141516解答31