2024年中考数学二轮题型突破训练：几何最值（复习讲义）学生版

题型六几何最值（复习讲义）

【考点总结I典例分析】

解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边

之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）；④定圆中的所有弦中，直

径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最

长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何

最值问题的高效手段.

动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存在

性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.

其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而

其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历

年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.

旧要点也纳

考点01胡不归

胡不归模型问题解题步骤如下；

1、将所求线段和改写为“PA+2PB”的形式若2〉1,提取系数，转化为小于1的形式解决。

aaa

2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度a,使得sina=2

a

3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

【模型展示】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且V1〈V2,A、

B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+生的值最小.

%K

即求BC+kAC的最小值.

构造射线AD使得sin/DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH

取到最小值，即BC+kAC最小.

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型

问题转化为“PA+PC”型.

考点02阿氏圆

“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PABs^CAP推出PA2=PB-PC,即：半径的平

方=原有线段x构造线段。

【模型展示】

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(kWl),则满足条件的所有的点P构成的图

形为圆.

(1)角平分线定理：如图，在AABC中，AD是/BAC的角平分线，则四=".

ACDC

A

BDC

43ABDB

证明.SABD_BDSXDE_J——,n即n——=——

7

■5ACD-CDS_ACD~ACxDF^.4cACDC

(2)外角平分线定理：如图，在AABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,

则看嘿•

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACDgZkAED(SAS),CD=ED

且AD平分NBDE,则=殁，即理=必.

DEAEACDC

接下来开始证明步骤:

如图，PA：PB=k,作/APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，—=—=fc,

MBPB

故M点为定点，即NAPB的角平分线交AB于定点；

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，—=^,故N点为定

NBPB

点，即/APB外角平分线交直线AB于定点；

又NMPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

考点03费马点

费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：

(1)当三角形三个内角都小于120。的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中

三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

(2)当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60。f构造等边三角形今将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上)利用两点之间线段

最短求解问题

【模型展示】

问题：在AABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线

的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.

(1)如图，分别以AABC中的AB、AC为边，作等边AABD、等边4ACE.

(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等：4ADC丝Z\ABE.

(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)

(4)以BC为边作等边aBCF,连接AF,必过点P,有NPAB=/BPC=/CPA=120°.

在图三的模型里有结论：(1)ZBPD=60°；(2)连接AP,AP平分/DPE.

有这两个结论便足以说明NPAB=NBPC=NCPA=120。.原来在“手拉手全等”就已

经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

考点04瓜豆原理

动点的轨迹为定圆时，可利用：”一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值

为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：

(1)动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

(2)当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下；

①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形

②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形

【知识精讲】

如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接A0,取A0中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ

是0P一半，任意时刻，均有△AMQS/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,

由A、Q、P始终共线可得：A、M、0三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P点

轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.

考虑APLAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMLA0；

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO0ZkAQM.

如图，4APQ是直角三角形，ZPAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆0运动时，Q点轨迹是？

【分析】考虑APLAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMLA0；

考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOS^AQM,且相似比为2.

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

考点05将军饮马

1.两定（异侧），一动

BB

2.两定（同侧），一动

知识提炼：

折线问题―（利用轴对称的性质）-两点间线段最短问题

㊀典例解析

1.如图，aABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,D是线段BE上的一个动点，则

CD+—BD的最小值是（）

5

2.如图，在AA5c中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个

动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

3.如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，则PD--PC

2

的最大值为.

4.（2023•四川泸州・统考中考真题）如图，E,尸是正方形ABCD的边A3的三等分点，P是

对角线AC上的动点，当尸E+P厂取得最小值时，器AP的值是

5.如图，将AABC绕点A逆时针旋转60°得到AADE,。石与交于点P,可推出结论:

PA+PC=PE

rE

A

D

问题解决：如图，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4，5.点。是AMNG内

一点，则点。到AMNG三个顶点的距离和的最小值是

6.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布,动点P在矩形的

边上沿3fCf。今4运动.当点尸不与点A3重合时，将一项P沿AP对折，得到AB'P,

连接C9,则在点P的运动过程中，线段C夕的最小值为.

7.（2023・广西・统考中考真题）如图，在边长为2的正方形A3CD中，E,歹分别是3C,CD

上的动点，M,N分别是EF,A尸的中点，则MN的最大值为.

8.（2023•山东・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，

NABC=NBAZ）=90o,AB=5,AD=4,AZ）＜BC,点E在线段BC上运动，点尸在线段AE上,

NADF=/BAE,则线段3F的最小值为.

9.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线＞=-9+2与x轴，y轴分别交于A,8两

点，点。是线段AB上一动点，点”是直线＞=-gx+2上的一动点，动点E（m,0）,F（m+3,0）,

连接BEDF,HD.当3E+OF取最小值时，33"+5。”的最小值是.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将AEBF

沿EF所在直线折叠得到AEB'F,连接B'D,则B'D的最小值是.

11.如图，在矩形A8CD中，AB=10,AD=6,动点尸满足以网=工5矩形A5C0，则点P到A,

3

B两点距离之和PA+PB的最小值为.

12.如图，等边4ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上

一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则/ECF的度数为多少？

13.(1)如图1,在力和6两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥切，桥建在何处才

能使从4到8的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)

A.

'B

图1

(2)如图2,在/和6两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分