2024年新高考地区数学二模分类汇编：不等式（解析版）

专题03不等式-2024年新高考地区数学

二模分类汇编-山东专用（解析版）

一、单选题

1.（2024.山东枣庄.模拟预测）已知集合A={x|x+2>0},B={^|x2-x-2<0）,则AB=

（）

A.{.rI-2<x<1}B.{x\-2<x<2}C.{x\-l<x<1}D.{x\-l<x<2}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由炉一工一2<0,即（x+l）（x—2）<。，解得-l<x<2,

所以8={x|尤2-x-2<0}={x|-1<x<2},

又4={彳|3+2>0}={X|》>-2},所以A3={x|-l<x<2}.

故选：D

2.（2024.山东淄博.二模）记max{x,y,z}表示无,y,z中最大的数.已知均为正实数，则

max],；,*+4y,的最小值为（）

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】设〃=11^12-,尤2+4）72],可得3M22+L+/+分2,利用基本不等式运算求

[xyj尤y

解，注意等号成立的条件.

【详解】由题意可知：羽丁均为正实数，

设M=max，2,Ji,X2+分2”,则”之2〉0,加2工〉0,M>x2+4y2>0,

[％yJxy

21721r~^~~■~r21

贝（J3MN—+—+x+4y9>—+—+2Jx-4y=-+—+4xy,

xyxyxy

当且仅当Y=4y2,即％=2y时，等号成立,

2121

又因为一+一+4孙23M------4xy=6,

xyyxy

21

当且仅当—=一=4盯，即x=2y=l时，等号成立，

%y

可得3MN6,即M22,所以M=max,j；x2+4y2,的最小值为2.

故选：C.

21

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出M2—〉0,"之一>0,M2x2+4y2>。,

%y

再结合基本不等式求得M>2.

3.（2024•山东潍坊•二模）已知集合4=卜厂二詈<0、8=k|&>4）,则AB=（）

A.（0,+e）B.（2,100）C.（16,100）D.（2,+oo）

【答案】C

【分析】先解分式与根式不等式，再求交集即可.

*<0

【详解】A=x={x|x（x-1。。）<。}=卜|。<x<100^,

x

8=卜|«>4）={x|x>16},故AB=（16,100）.

故选：C

4.（2024.山东临沂.二模）若4=卜一二40j,B={x|log5x<l},则Ac3的元素个数

为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分别确定集合AB,再求交集.

【详解】根据题意，可得集合4={彳62|》42或x>8},

5={x[0<x<5},

则Ac3={l,2},所以Ac3的元素个数为2个.

故选：C

试卷第2页，共11页

5.(2024•山东滨州•二模)已知集合&=卜€2卜2-2彳40},则A的子集个数为()

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】根据题意求集合4结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.

2

【详解】由题意可得:A={xeZ|x-2x<0}={xeZ|0<x<2}={0,l,2),

可知A有3个元素，所以A的子集个数为23=8.

故选：C.

6.(2024.山东滨州.二模)下列命题中，真命题的是()

A.若贝！](7c>>cB.若,贝！J/>〃

C.若收2»比2,则。>6D.若。+26=2,则2"+4〃24

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式a+b22，石，当且仅当。=6时等

号成立，即可判断D.

【详解】对于A,由a>b,c=0可得ac=6c,故A错误；

对于B,由a>0,b<0,|«|<H,可得/〈从，故B错误；

对于C,若冷耐,且当c=0时，可得a,b为任意值，故C错误；

对于D,因为2"+4"=2"+2?匕22亚于'=2收题=4，当且仅当。=%=1时，等号成立，

即2"+4r4，故D正确.

故选：D.

7.(2024.山东青岛模拟预测)已知集合A="|x>1},B={x|(x+l)(x-3)<。},贝|(怎A)IB=

()

A.(3,+s)B.(-1,+<»)C.(-1,3)D.(-1,1]

【答案】D

【分析】根据条件，求出3={x|-l<x<3}和<4={尤|尤<1},再根据集合的运算，即可求

出结果.

【详解】由(x+l)(x-3)<0,得到所以3={x[T<x<3},

又4={X]》>1},所以"A={x|x<l},故@A)I3={x[-l<xVl},

故选：D.

二、多选题

8.（2024・山东・二模）如图，在直三棱柱ABC-4与£中，AB=2,ABLBC,P,Q分别为棱

2C，AG上的动点，且8尸“BC，GQ=XGA，&（°，1），则（）

A.存在4使得产

B.存在4使得尸。〃平面

C.若B片,BG长度为定值，则彳=g时三棱锥2-4尸。体积最大

D.当a=:时，直线PQ与4B所成角的余弦值的最小值为空1

23

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系用一孙z,用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上

的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.

【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系与-孙z,设BC=a,BB]=b,

则由题：4（°，0,0），A（°，2,0）,G（。，0,0），A（°，2力）,8（0,0力），

所以43=（0,-2/），C1A=（-a,2,0）,BC==（a,0,0）,B,B=（0,0,b）,

又BP=8BC，CIQ=AQAI,2G（0,1）,

所以4P=4B+3P=4B+XBC=（Xa,0,Z2）,即尸（4a,0,Z?）,

OQ=OC]+GQ=OC、+2cjA=（a—Aa,2A,0）,即Q（a—2a,2X,0）,

所以PQ=（a-2%a,2X,-A）,

试卷第4页，共11页

对A,由上P0A5=("2^,24,―8双-b)=-A-b2,故A错误；

对B,由题意BG=(〃,0,0)是平面ABBJAJ的一个法向量，

PQBG=(a-2/kz,2A,-b^a,ij)^Vz2-X展,

故当2时PQ.BC=a2-2筋2=o,此时P。〃平面4阴4,故B正确;

对C,由上42=(；1。,一2,6),PQ=(a-2Aa,2A,-b),43=(°，-2,6)

m_LA^B

设平面A3P的一个法向量为沅=(%y,z),则<

m_LAjP

m-AiB=-2y+bz=0

所以《取z=2,则"7=(0,6,2),

m-A^P=Aax-2y+bz=0

一,、POm2b\A-]\2&(l-2)

设点。到平面\BP的距离为d,则由2e0,1得d==J)

\>n\"2+4J/+4

又由题意可知%3初即助=脑后7

痂V1„,1九双及+4

故VB-A,PQ=~SABpd=-X---------------X

因为B综耳G长度为定值，所以必为定值,

故当％=g时，三棱锥2-4尸。体积最大，故C正确;

PQ\B

对D,设直线PQ与4B所成角为。，由上当几=1■时cos6>=

阂|”

b2+2产+41+4〃+/+4I1

e+i"2+4=M+5/+4=W+*+5={%+\+5[2^+5

4—

当且仅当"=3■即6=0时等号成立，故D对.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐

标系用向量法解决.

9.（2024•山东青岛二中•模拟预测）已知抛物线丁=©的焦点为E过歹的直线A8交抛物

线于A&，M）,两点，“（3,1）,则下列说法正确的是（）

A.5+马的最小值为2B.以AF为直径的圆与y轴相切

C.|M4|+|A刊的最小值为4D.|A肝+|M「的最小值为2

【答案】ABC

【分析】对A：联立直线AB的解析式与抛物线方程，结合韦达定理与基本不等式计算即可

得；对B：借助相切的性质计算半径与圆心到y轴的距离即可得；对C：借助抛物线定义计

算即可得；对D：借助韦达定理与基本不等式计算即可得.

【详解】对A：抛物线丁=4尤的焦点为尸（1,0）,设直线48的解析式为》=冲+1,

[x=my+1c

联立:y2=j，消去尤整理得y-4〃zy-4=0,

A>0,

贝卜%+%=,/.X]X,=且&=1,

~16

〔“为=-4A

x,+x2>2y[x^=2,当且仅当玉=W=1时取等号，故A选项正确；

对B：以AF为直径的圆的直径体耳=司+1,而AF的中点。（甘，段）

点。到y轴的距离为第，等于半径，故B选项正确；

对C：过点A向准线作垂线，垂足为N,则M4|+|AF|=|%+|AN闫MN怛4,

试卷第6页，共11页

故C选项正确;

对D：由石工2二丝2=1，/+々22ax2=2，

16一一

+1)(%2+1)=%%22+1=

可知［Ar］忸可=(玉+玉+%2+%+x2>4,

/.|AF|2+\BFf>2\AF\\BF\>8,

当且仅当|”|=忸/|=2时，等号成立，故D选项错误.

故选：ABC.

10.（2024・济南实验中学•二模）已知正实数。也。，且a>b>c,%,y,z为自然数，则满足

-----~+~~—1-------->0恒成立的x'y,z可以是()

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.%=Ly=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

【答案】BC

【分析】将/7+4+二>。恒成立，转化为(a-)［3+/-］>z恒成立，再

a-bb-cc-aya-bb-cJ

利用基本不等式得到(a-6+b-c)(£+六］>(石+万『，转化为+>z恒成立,

逐项判断.

【详解】解：因为正实数且0>6>c,尤,y,z为自然数，

所以a-b>0,Z?-c>0,a-c>0,

则告+产+工>0恒成立，即一\+4>=恒成立，

a-bb-cc-aa-bb-ca—c

两边同乘Q_c=Q_/?+Z?_c,贝U(〃_0+Z?_c)+>2,

\a-bb-c)

当且仅当M"c）=y（“一匕）,即土=（巴士］时，等号成立,

a-bb-cy\b-c）

若上7+4+上>0恒成立，贝4石+瓜丫>z恒成立，

A.当％=l,y=l,z=4时，（4+6『=4=Z,不成立；

B.当x=l,y=2,z=5时，（五+6『=5>Z,成立；

C.当x=2,y=2,z=7时，（&+6『=7>z,成立；

D.当x=l,y-3,z=9时，（五+=4+26<2=9,不成立,

故选：BC

三、填空题

11.（2024-山东•二模）在VABC中，内角A,氏C的对边分别为a,b,c,也收+廿—c2）=absinC,

且c=l,则VABC面积的最大值为.

【答案】县

4

【分析】先由已知条件结合余弦定理和sii?C+cos2c=l,Ce（O㈤求出sinC,cosC,再由余

弦定理结合基本不等式求出必最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.

【详解】因为应（〃+62—c2）=a6sinC,

所以由余弦定理2aZ?cosC=a2+b2-c2，^2y/2abcosC=absinC>

所以sinC=2>/2cosC,又sin?C+COS2c=1,Ce（0,兀）,

则sinC=£Z,cosC=L

33

所以由余弦定理以及基本不等式得:

1272c7厂2122ab、c72ab4ab

1=Q+b—2abcosC=a+b-------N2ab--------=------

333

即。bwg,当且仅当a=3时等号成立,

42

试卷第8页，共11页

所以5ABe=」"sinC=Y^a6V也，即VABC面积的最大值为正，

^2344

故答案为：叵.

4

12.（2024•山东泰安二模）设集合A={X|X2-X-620},集合3={x[0<x<4},则

AB=.

【答案】（―。，―2]u（O,+e）

【分析】求解一元二次不等式得集合A,再进行并集运算.

【详解】根据题意，A=（X\X2-X-6>0}={X\X<-2,或XN3},

则Au3={x|xW-2,或x>0}.

故答案为：（F,-2]（0,内）

四、解答题

13.（2024•山东淄博.二模）已知椭圆W+《=1Q>b>0）的离心率为且，且四个顶点所

a2b22

围成的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的标准方程；

⑵四边形ABC。的顶点在椭圆上，且对角线AC,8。过原点。，设4（天,必）,2（和%）,满足

XyX2—4yly2•

①求证：直线A8和直线8C的斜率之和为定值；

②求四边形ABC。面积的最大值.

【答案】⑴]+丁=1

⑵①证明见解析；②4

【分析】（1）根据题意，找出瓦c之间的关系式，列方程求解即可；

（2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；②结合①的

信息、，令g=-；，则占+々=2祇=2（m2-l）,根据点到直线距离公式和三角形面积公

式,结合基本不等式求解即可.

【详解】⑴由题意"一¥'

2ab=