2024年新高考地区数学二模分类汇编：复数与平面向量（解析版）

专题02复数与平面向量-2024年新高考地区数学

二模分类汇编-山东专用(解析版)

一、单选题

2

1.(2024・山东济南•二模)在VABC中，石为边A5的中点，BD=-BC,则。石=()

1?51

A.——AB+-ACB.-AB+-AC

6363

C.-AB+-ACD.-AB--AC

6363

【答案】D

【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.

2

【详解】因为E为边的中点，BD=-BCf

Q1Q11Q

所以。石=。2+2百=*。2-上42=4(42—4<7)—！&2=L4»—44(7.

323263

C

故选：D.

2.(2024.山东枣庄.模拟预测)已知平面向量a=(-1,1),6=(2,0),贝在b上的投影向量为

()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-鱼,0)D.(72,0)

【答案】A

【分析】根据已知条件分别求出a方和W，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.

【详解】

Va=(-1,1),b=(2,0),

工a，b=—2，|"卜2,

a-bb-2/c八、/r仆

.•"在。上的投影向量为WM=1(2,0)=(T，。).

故选：A.

3X2024.山东枣庄.模拟预测)已知复数Z1电,ZiMZz，若Z],Z2同时满足|2|=1和|z-l|=|z-i|,

则B-Zzl为()

A.1B.73C.2D,243

【答案】C

【分析】设z=x+yi(x,yeR),根据|z|=l和|z-l|=|z-i|求出交点坐标，即可求出马衣?,

再计算其模即可.

【详解】设z=x+yi(x,yeR),贝!Jz-l=(x—l)+yi,z-i=x+(y-l)i,

由|z|=l和|z-l|=|z-i|,

所以V+y2=]且+,2=(y_])2+/，

fVx2=——fxV=2----

即f+y2=l且x=y,解得,2-2

也L或1_旦

y=——y=

22

所以【冬冬、争3V2V2.应0.、

1=-----------------1>Z、=11)9

22222

y/2V2.

则nrZ|-Z2=—+—i=V2+\/2i(或4—Z2=一行一&i),

7

所以2]—z?|=J(夜)+(夜)=2-

故选：C

4.(2024.山东济南.模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0),3(0,6),动点尸满足

OP=WA+fiOB,且|幻+|〃|=1,则下列说法正确的是()

A.点尸的轨迹为圆B.点P到原点最短距离为2

C.点P的轨迹是一个正方形D.点P的轨迹所围成的图形面积为24

【答案】D

【分析】设点尸的坐标为(x,y),由已知条件OP=404+百结合向量的坐标运算用x，y表

示出4”,结合|刈+|〃|=1可得x,y的关系，从而可求出点尸的轨迹方程，再逐个分析判断.

【详解】设点尸的坐标为(x,y),因为42,0),3(0,6),动点P满足OP=XOA+〃OB,

所以(x,y)=/(2,0)+M(0,6),得尤=24,y=6〃,

试卷第2页，共18页

因为1刈+1〃曰,所以®+W=i,

26

即点尸的轨迹方程为忖+W=1,

26

当x20,”0时，方程为3x+y-6=0,

当xNO,”O时，方程为3x-y-6=0,

当x<0,”0时，方程为3x-y+6=0,

当x<0,y<0时，方程为3x+y+6=0,

所以点尸对应的轨迹如图所示，且您B=%>=-3,kBC=kAD=3,

所以点P的轨迹为菱形，所以AC错误，

原点到直线的距离为〃=击<2,所以B错误，

点尸的轨迹所围成的图形面积为4X1X2X6=24,所以D正确.

2

5.（2024.山东.二模）已知复数z满足（l-i）z=3+i,则三在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】由题意求出z,进而解出I，判断彳在复平面内对应的点所在象限即可.

3+i_(3+i)(l+i)

【详解】由题意知:=l+2i

(l-i)(l+i)

所以』=l-2i，所以2在复平面内对应的点（L-2）位于第四象限.

故选：D.

6.（2024•山东•二模）在VA2C中，AB=3,AC=2,ZBAC=60,AB=3AF,BE=EC,AE,CF

交于点。，则（）

「373

D.73

A-T24

【答案】c

【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.

【详解】解：由题可建立如图所示坐标系:

由图可得：4(0,0),2(3,0),C(1,®

又AB=3AF,BE=ECnF(l,0),E(2,

故直线AE的方程:

所以巾=小-+右-/=苧’

故选：C.

7.(2024.山东泰安.二模)若复数z满足——=i,则同=()

Z

A.逐B.2C.72D.1

【答案】C

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=-l-i,则三=T+i，结合复数的几何意义即可求

解.

【详解】由匕1甘，得z=匕i=£?i=_i-i,

Z11

所以三=-l+i，^|Z|=A/1+T=V2.

故选：C

8.(2024•山东临沂•二模)已知i为虚数单位，(l-i)2.z=1+^i,则口=()

A.-B.-C.—D.交

4242

【答案】B

【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.

试卷第4页，共18页

【详解】z1+后1+-(1+6bi若

(1-i)22x(l-2i-l)-4i-4ixi444

故选：B.

9.(2024.广西来宾.一模)复数(1+/在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为(1+i)3=(1+j)2(l+j)=(l2+2j+j2)(l+j)

—2j(l+p=2j+2j=-2+2j,

所以复数(1+i)3在复平面内对应的点为(-2,2),位于第二象限.

故选：B

10.(2024.山东滨州•二模)已知向量a,6,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小

C.-1D.-4

【答案】A

【分析】建系，可得。=(-1,-2)力=(-2,l),c=(2,2),结合向量的坐标运算求解.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,

可知d=(-1,-2),b=(―2,1),c=(2,2),则〃-a=(-1,3),

所以c・(b—a)=-2+6=4.

故选：A.

11.（2024•山东荷泽・二模）已知向量a=（—2,1）力=（3/），且卜+。|=卜—W，则犬的值是（）

32

A.—6B.—C.—D.6

23

【答案】D

【分析】根据卜+可=卜-可可得eb=0,进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果.

【详解】因为卜+可=卜_可，gp|a+5|2=|a-Z>|2,

化简，整理得4m=0，

则a•6=—6+x=0，解得x=6.

故选：D

二、多选题

12.（2024•山东济南.二模）已知方程x'=l在复数范围内有"个根，且这〃个根在复平面内

对应的点〃等分单位圆.下列复数是方程尤9=1的根的是（）

A.1B.iC.----iD.cos40+isin40

22

【答案】ACD

【分析】用立方差公式分解因式，求出根，再利用复数的运算直接代答案求解.

【详解】对于A选项，p=i显然成立，故A正确；

对于B选项，i9=_i.i，故B错误；

由题X，—1=0,—1）（工6+d+1）=0,令f=尤3,贝卜（/—1）（产+）+1）=0,

试卷第6页，共18页

/=1,或/=匚”,即丁=1,或丁=占国，

22

小丁〃、由e/1C.、3J石.、3J6.、2八布.、1161Y16.、1

对于C选项，(-----------1)=-(—H------1)=-(—H------1)(—H-----1)=-----1----(―H-------1)=1

22222222(22)22

成立，故C正确；

对于D选项，(cos40+isin40)=(cos40+isin40『(cos40+isin40)

=(cos240—sin240+2isin40cos40)(cos40+isin40)

二(cos80+isin80)(cos40+isin40)

=cos80cos40+icos80sin40+isin80cos40-sin80sin40

=cos(80+40)+i(cos80sin40+sin80cos40)

=cosl20+isinl20

=--+^i,故D正确；

22

故选：ACD.

13.（2024.山东济南.二模）若复数z满足z（l+i）=2-i（i为虚数单位），则下列说法正确的

是（）

A.比回

112

3

B.z的虚部为-]i

C.z.z=-

2

D.若复数。满足g-2z|=l,则同的最大值为加

【答案】AC

【分析】根据复数的除法运算求出z,利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断

B；由共鸵复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D.

【详解】对于A,因为z（l+i）=2-i,

2-i(2-13.

所以------1

(l+i)(「i)22

所以忖A正确;

3

对于B,由上可知，z的虚部为-；，故B错误,

对于C,因为彳=^+3^所以zN13.13.

---------1—+—1~,故C正确;

2222

对于D,记复数。对应的点为A(db),复数2z对应的点为3。,-3),

则由|o-2z|=l可得|。4-0q=|研=1,即点A在以2为圆心，1为半径的圆上,

所以，|。4的最大值为|。@+1=可+1,即同的最大值为JQ+1,D错误.

故选：AC

14.(2024•山东济南•二模)如图，在直角三角形ABC中，AB=BC=B4O=OC,点P

是以AC为直径的半圆弧上的动点，若=*C,贝I]()

A.BO=-BA+-BC

22

B.CBBO=X

C.2尸.8。最大值为1+夜

D.B,O,尸三点共线时x+>=2

【答案】ACD

【分析】依题意可得。为AC的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A,建立平

面直角坐标系，求出圆。的方程，设尸—+cos6,—+sin。，6c广，利用坐标法

(22JL44J

判断B、C,由三点共线得到8尸〃20，即可求出夕，从而求出x,即可判断D.

试卷第8页，共18页

【详解】因为AO=OC,即。为AC的中点，所以—+故A正确;

22

。手之

如图建立平面直角坐标，则3(0,0),C(V2,0),A(0,V2),

所以CB=N，0),BO=与，与,则绥20=一代衣+0x1=-1,故B错误;

\722

又|AC|=J(及y+(0『=2,

所以圆0的方程为卜-手[+[一=1'

设P+cos3,+sin6,0e,

以2244

\/」」

则BP=[¥+COS6>,#+sin6，又BC=(四,0),

所以BP-3C=V^]#+cos6»+0x曰+sin。=1+夜cos。

因为一了丁'所以-J,

所以0cos夕£[1,虚],

故2P-BC最大值为1+0，故C正确

因为B,0,尸三点共线，所以BP//BO,

、

又B0=%*,BP=*+cos*-+sin6,

\J\7

—xf—+sin^=—xf^l+cos0

,即sin0=cos0,

2I2J2I2,

所以。=7,

4

所以^又3C=(0,O),8/l=(0,V2),

S.BP=xBA+yBC,即(0,0)=尤(0,4J+y(0,O)=(0y,"

\[2x=y[2x=\

所以6=应所以,,所以x+y=2,故D正确.

y=i

15.(2024.山东潍坊.二模)定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，/(z)=z2就是一

个多项式复变函数.给定多项式复变函数/(z)之后，对任意一个复数Z。，通过计算公式

z“+i=/(z“)，可以得到一列值Zo，Z[,Z2,…,z”,….如果存在一个正数M,使得

对任意〃eN都成立，则称Z。为〃z)的收敛点；否则，称为“Z)的发散点.则下列选项中

是/(z)=z2的收敛点的是()

A.也B.-iC.1-iD.L叵

22

【答案】BD

【分析】根据计算公式Z向=/(z.)=z；结合收敛点的定义判断即可.

【详解】对A,由z“M=z：可得数列也，2,4,16…不合题意，故A错误；

对B,由Z"+J=z；可得数列—i,-1,1,1...

则存在一个正数M=2,使得何＜加对任意"eN都成立，满足题意，故B正确;

对C,由Z"M=z：可得数列1一i,-2i,-4,16…不满足题意，故C错误;

对D,由z„+1=z；可得数列丁?i,J一孝i,蒋+孝卜〉#]…

因为=1,

存在一个正数M=2,使得|z』＜M对任意都成立，满足题意，故D正确;

故选：BD

试卷第10页，共18页

16.(2024.山东潍坊.二模)已知向量°,b，工为平面向量，忖=1，忖=2,a.b=0,|c-a|=^-,

则()

A.l^|c|<|B.卜一同.卜_6)的最大值为1+；君

C.-\<b-c<\D.若c=/la+〃b，贝!J彳+〃的最小值为

【答案】BCD

11

【分析］对A,设a=(l,O),6=(O,2),c=(x,y),根据‘一同=：可得(无一1)9一+9=；,从而可

得日的范围；对B,化简(。-。>卜-6),根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C,

化简。-c，再结合c=(x,y)满足圆的方程求范围即可；对D,根据c=(x,y)满足圆的方程进

行三角换元求解最值即可.

［详解］对A,i^a=(1,0),b-(0,2),c-(x,y),根据|c—=g有｛(xT)?+J=g,

即a-1)?+^=；,为圆心为(1,0),半径为;的圆，又,=6干的几何意义为原点到圆

(Al『+y2=；±(x,y)的距离，则34同4(故A错误；

对B,［c-a)(^c-b^=^x-\)x+y^y-2)=x1-x+y2-2y

尤-1+(y-l)2-|，则转化为求圆(彳-1)2+/=；上的点至U&l)的距离最大值,

I、r/4\221r/COS0Y

对D,因为(x-l)+y——,故％=--—i~l,y=

1iiy

又因为c=zla+M?,故X=%,〃=',

ocos。1sin。751245八行.八)】指./八\.

A+//---------FIH-------——------cos0~\------sin0+1——sin(6+0)+1,

244^55)4v7

故当sin(，+e)=-l时，取最小值％+〃取最小值1-半，故D正确.

故选：BCD

17.(2024・山东聊城•二模)已知向量。=(-1,2)力=(1,几)，若B在a上的投影向量为a，则

()

A.2=3B.a//b

C.aL(b-a)D.。与6的夹角为45。

【答案】ACD

【分析】根据投影向量的公式求出2的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.

【详解】对于A,因为〃在°上的投影向量为入即虫.&=a,

\a\\a\

彳，

所以a黄.b=L即—71而+2二‘解得'=3故A正确；

对于B,a=(-l,2),6=(1,3),所以(―1)x3-2xlw0,故B错误；

对于C,。-仅-<7)=(-1,2>(2,1)=-2+2=0,所以a_L(6-a),故C正确；

对于D,cos<a,b>=^-=11+1=坐，所以。与B的夹角为45。，故D正确.

\a\\b\V5xV102

故选：ACD.

18.(2024.山东荷泽.二模)下列选项正确的有()

A.若2i—3是方程2x2+px+q=0(p,qeR)的一个根，贝!]p=-12,q=26

B.复数6+5i与-3+4i分别表示向量04与0B,则向量表示的复数为9+i

C.若复数z满足|z+l-2i|=l,则忖的最大值为1+6

D.若复数44,满足1=lTzv=2+i,则团+团=平

【答案】BCD

【分析】通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断

B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求

试卷第12页，共18页

法判断D.

【详解】对于A：若2i-3是方程2x2+px+4=0（p,qeR）的一个根,

则方程的两个根分别再=-3+2i,尤2=-3-2i,

以—*=X]+%2=—6,£=玉龙2=13,

所以p=12,q=26,故A错误；

对于B：由题意可知。4=（6,5）,。3=（-3,4）,

所以阴=OA—03=（6,5）-（一3,4）=（9,1）,

所以向量表示的复数为9+7,故B正确；

对于C：设z=%+yi，羽yeR,

若复数Z满足|z+l-2i|=l,

则在复平面内点Z（x,y）在圆C:（x+l）2+（y-2）2=l上,

圆C的圆心C（一1,2）,半径厂=1,

则忖的几何意义为原点。（0,0）到圆C上点的距离，又0C=5

则忖的最大值为1+如，C正确;

对于D：因为a=l-i，Z]Z2=2+i,

Z2

所以Z；=3-(z/2)=(l-i)(2+i)=3-i,

Z2

2一尼2+i(2+i)(l+i)J3

2Zi_1-i(l-i)(l+i)22,

Z2

所以团+归卜乒丁+行彳|：=厢+芈=芈，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

19.（2024•山东泰安•二模）已知在矩形MC£＞中，AB^l,AD=6动点P在以点C为圆

心且与即相切的圆上，则AP-AD的最大值为;若=

则〃2+〃的最大值为.

【答案】|3

【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（*cose+G,

*sin。），即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由

AP^mAB+nAD（m,neR）,求出“〃，根据三角函数的性质即可求出最值.

【详解】如图：以5为原点，以3ABe所在的直线为八》轴建立如图所示的坐标系，

则5（0,0）,4（0,1）,C（"0）,AD=

动点尸在以点C为圆心且与8。相切的圆上,

_tCjx

设圆的半径为r,

BC=6CD=1,,BDu⑸+12=2

：.-BCCD=-BDr,

22

..r---，

2

圆的方程为（X-逝）2+y2=1,

4

设点尸的坐标为亭OSe+6争n8）,8e[0,2兀]

则AP=cossin0-1

AP-AD=cos3+=-1cos6f+3e919

，万，故的最大值为Q，

AP=mAB+nAD^m,neR）,AB=（0,-1）,

AP=——cos0+,——sin—1=m（0,-l）+^7（百,0）=（外久,一机）,

、2­/

1

,,一cose+1=〃，——sin0—YYI，

22

试卷第14页，共18页

/.m+n=cos0一sin6+2=cos(6+^)+2,

TT

,-I<cos(6>+-)<1,

:A<m+n<3,

故根+〃的最大值为3,

9

故答案为：—,3

2

20.(2024・山东日照•二模)设〃zeR,i为虚数单位.若集合A={1,2机+(,w—l)i},B={0,l,2},

且A=3,则m=.

【答案】1

【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.

【详解】由集合A={l,2〃7+(〃Ll)i},B={0,l,2},因为A=

r=o

当2m+(m—l)i=0时，此时〃_1=0，方程组无解；

f2/T?=2

当2根+(机—l)i=2时，此时{,解得m=1,

[m-1=0

综上可得，实数加的值为1.

故答案为：L

2

21.(2024・山东聊城•二模)已知且“id------=1,贝!J〃=______.

a+i

【答案】1

【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于〃的方程，解之即可.

■、斗叼、.2.2(。—i).2。—2i2a(2Y

【详角牛】m+----r=m+7----rv7-----=+―2~~T=""7+a—2~~7卜二1，1

a+i(Q+i)(a—i)a+1a+11a+1J

la

——=1

+1

所以"?，解得〃=1.

a--,—=0

la2+l

故答案为：1

四、解答题

22.(2024•山东临沂•二模)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

ccos(A-B)=26asinBcosC-ccosC.

⑴求C；

(2)若点。在线段48上，且3D=2ZM,求产,的最大值.

2a2+5b~

【答案】(呜

9

【分析】(1)利用cosC=-cos(A+3),结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解;

21

(2)根据平面向量线性运算可得CO=§C4+]C3,两边平方，然后利用重要不等式即可

得解.

【详解】(1)由ccos(A—3)=2gasin3cosC-ccosC^^

ccos(A-B)+ccosC=2y/3asinBcosC,

c(cos(A-B)-cos(A+B))=2y/3asinBcosC,

即2csinAsinB=2百〃sinBcosC,

由正弦定理边化角得sinCsinAsinB=拒sinAsinBcosC，

因为A_B«0,兀),sin