2024年新高考地区数学二模分类汇编：三角函数与解三角形（解析版）

专题05三角函数与解三角形-2024年新高考地区数学

二模分类汇编-山东专用(解析版)

一、单选题

1.(2024・山东・二模)若/(x)finx是周期为兀的奇函数，则可以是()

A.sinxB.cosxC.sin2rD.cos2x

【答案】B

【分析】结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可

求解.

【详解】由题意，若〃x)=sinx,则/'(x).sinx=sin2x为偶函数，不符合题意；

若y(x)=cosx,则“x)-sinx=；sin2无，奇函数且周期为万，符合题意；

若/(x)=sin2x,则〃尤)-sinx=2cosxsin2x为偶函数，不符合题意；

若/(x)=cos2x,贝I]/(尤)•5[!1尤=5111左一251113%周期为2万，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，

着重考查了推理与运算能力.

2.(2024.山东济南.二模)质点P和。在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆。上逆时针作

匀速圆周运动，同时出发.尸的角速度大小为2rad/s,起点为圆。与x轴正半轴的交点；。的

角速度大小为5rad/s,起点为圆O与射线y=Yx(x>0)的交点.则当Q与产第2024次重合

时，尸的坐标为()

(2兀.2兀、(5兀.5兀、(兀.兀、

A.cos—,sin—B.—cos—,-sin—C.cos—,—sin一

(99)(99J{99)

(兀.兀、

D.^-cos-,sin-J

【答案】B

【分析】设两质点重合时，所用时间为人则重合点坐标为(cos2t,sin2。，通过题意得到

;一+巳化的，结合周期性即可得解.

【详解】设两质点重合时，所用时间为处则重合点坐标为(cos2f,sin2。,

由题意可知，两质点起始点相差角度为:，

则5/-2/=2也+三仕eN),解得/=卑+£(左eZ),

若4=0,贝肝=1,则重合点坐标为，。sg,sing),

若左=1,则，=等，则重合点坐标为(cosq^,sinq^J,即1-(：05m,-5吊曰

71.兀

若4=2,则/=丁，则重合点坐标为［os

9,9

当。与尸第2024次重合时，左=2023,贝卜=1土2139产71，

w工人24278兀,24278兀、<5兀.5兀、

则重合点坐标为Icos---,sin---I,Hgpl-cosy,-sinyI.

故选：B.

【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时，所用时间为人得到重合点坐标为(cos2/,sin2/),

结合角度差得到，=等+^^eN),根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.

3.(2024•山东枣庄.模拟预测)已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

终边经过点,则cos(aqj=()

A.0B.-C.—D.B

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求出sina,cosa,再由两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为尸卜懿三⑼!!5),即尸q,岑］,

即角a的终边经过点尸，所以sincc——，coscc=­

22f

所以cosa——=cosacos—+sincrsin—=—x-—•F——x—=——.

6j6622222

故选：D

4.(2024•山东枣庄•模拟预测)在VABC中，ZACB=120°,BC=2AC,。为VABC内一点,

AD±CD,ZBDC=120。,贝!jtanZACD=()

3A/3

A.272~rC.A/6

【答案】B

试卷第2页，共28页

【分析】在Rt«4)C中，设NACE＞=。，AC=x,即可表示出CB,CD,在△38中利用正

2x_xcos0

弦定理得到理=sin(6-60。),再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,

即可得解.

【详解】在中，设NACD=90＜。＜3,令AC=x(x〉0),

在△5CD中，可得NBCD=120。—。，NCBD=6—60。，

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsinZCBD

2x%cos0xcosd

得逅-sin(。-60。)

-sin6>--cos6>

~222

41

所以0一1a百

—tan8----

22

可得tan0=XZ,即tanZACD=.

22

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到△5CD中

利用正弦定理得到关系式.

5.(2024•山东淄博•二模)设/£(03)，若sina=3sin(a+20,tan,则tan(a+2£)=

22

()

A.一比B.叵C.一变D.交

4422

【答案】A

【分析】先对sina=3sin(a+20变形，进而表示出tan(a+2〃)，再代值计算即得.

【详解】由sin。=3sin(a+2£),得sin[(a+2/7)—2/7]=3sin(a+2£),

则sin(a+24)cos2/3-cos(a+2/3)sin24=3sin(cr+2/3),即sin(a+20(cos2/3-S)=cos(a+2分)sin2尸,

一一z八八、sin2£2sin尸cos广2sin/7cos0tan/3

因此tan(a+20=^R

cos2P-sin2P-3cos2£-3sin2P-2cos2^-4sin2^2tan2/3+1

也

而tan4=,所以tan(a+2夕)=-----看----=一q.

22x(争+14

故选：A

6.(2024・山东•二模)将函数〃x)=sin(2x+T的图象向左平移9(。＞0)个单位长度得到函

11-TT

数g(x)的图象，若户一?三为g(x)图象的一条对称轴，则。的最小值为()

O

71-5兀-7兀-2兀

A4.—B.—C.—D.—

1212123

【答案】B

【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出g(x),再根据正弦函数的对称轴求出。和

整数人的关系式，再对左取值即可求解.

7T7T

【详解】由题意得：g(x)=sin2(x+-+^)=sin(2x+-+2^),

63

又因为％=n是g(x)的一条对称轴，

所以E+5=兀)+；+20,左£Z,

即。=，+/wk£Z,下面结合选项对整数左取值(显然左取负整数)：

17

女=一1时，。=;兀；

k=—2时，(p=为"兀；

女=一3时，。=五兀；

左=T•时，(p=­.

12

故选：B.

7.(2024•山东潍坊・二模)将函数/(x)=cosx的图象向右平移;个单位长度，再将所得图象

上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(》)=()

xX

A.sin2xB.sin—C.-sin—D.cos2x

22

【答案】B

【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.

【详解】将函数/(x)=cosx的图象向右平移5个单位长度，

试卷第4页，共28页

得y=cos^x-^=sinx,

再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，

得g(x)=sin：x.

故选：B.

8.(2024•山东泰安二模)已知函数/(x)=sin(x-[,将函数/(x)的图象上所有点的横坐

标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是

()

A.g(x)=2sin^|-^B.g(x)在卜上单调递增

C.g(x)的图象关于点⑶]中心对称D.g(x)在:4上的值域为卜后沟

【答案】C

【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得g(x)=2sin(2x-7),结合正弦函数的图象与性

4

质，依次判断选项即可.

【详解】A：将/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，

得到函数g(%)=2sin(2x-:)，故A错误；

4

71

B：由选项A可知g(x)=2sin(2x——),

4

由o<x</得

2444

所以函数g(%)在(-若)上单调递增，在《苧上单调递减，故B错误；

C：由选项A可知g(x)=2sin(2x—/),则^(^)=2sin(2x=2sin0=0,

4oo4

所以函数g(x)图象关于点4,0)中心对称，故C正确；

O

D：由选项A可知g(x)=2sin(2x—：),由二KxV二得个“2%-

444444

所以—也Ksin(2>二)<1,贝卜血"(九)42,即g(x)的值域为[-&⑵，故D错误.

24

故选：C

9.(2024.山东临沂.二模)已知函数“*=配(2%+协(刨<])图象的一个对称中心为修0]

则()

A./（X）在区间-95上单调递增

OJ

B.%=?是〃苫）图象的一条对称轴

0

TTTT

C./（%）在-了1上的值域为T

2

D.将/（X）图象上的所有点向左平移,个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称

【答案】D

【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到

平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.

【详解］由题意可得2X£+°=E（左eZ）,解得9=__|+EHeZ）,

又Mlg，故夕=一］，即〃x）=sin（2x_|J；

3

7171,_717兀兀

对A：当无€--,一时，2x—£-----,一,

O33123

77r7T

由函数y=sinx在-石■,§上不为单调递增,

TTJT

故/(x)在区间-gy上不为单调递增，故A错误;

o

5兀.71471

对B：当天=亭时,2x----=——

633

4兀

由X=彳不是函数y=sinx的对称轴，

故苫=S?ir不是"X）图象的对称轴，故B错误;

6

71兀71,_712K71

对C：当X-,‘彳4时’2%-ie-T'6，

3

，故c错误;

对D：将〃x）图象上的所有点向左平移，个长度单位后,

.।5兀71

nJy=sinI2x+2x—；J=sin[2x+；卜cos2x,

2

该函数关于y轴对称，故D正确.

故选：D.

TT

10.（2024•山东临沂・二模）若实数。，b,c满足Q=2sinw，F=7,3c=10,贝！J()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

试卷第6页，共28页

【答案】A

【分析】首先判断\<b<2,且c=log310,根据对数函数的性质可得c>2,即可判

断.

TT7T

【详解】因为a=2sin—<2sin—=1,

126

又3=7,则且1〈而〈我=2,即1<6<2,

因为3°=10,所以。=1。8310>1。839=2,

所以c>6>a.

故选：A

11.（2024•山东聊城•二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,

记VABC与AACD的面积分别为H.S?,则Sz-H的值为（）

A.2B.J3C.1D.—

2

【答案】B

【分析】根据余弦定理得BC'-AC2=-28C-4、CD2-AC2=2CD-4,两式相减可得CD-3C=2,

由三角形的面积公式得Sz-岳=q（CD-BC）,即可求解.

【详解】在VABC中，由余弦定理得cos8=眼土画卫二，

2ABBC

即」=4+—不,得BC2-AC?=-2BC-4①，

24BC

在AACD中，由余弦定理得85。=丝卫士W二，

2ACCD

即工=一上空，得a）2_AC2=2CD_4②，

24CZ）

又工=-ABBCsinl20°=—BC,S=-ADCZ>sin60°=—CD,

'222222

由②一①，得CD?-BC?=2(CD+BC),由CD+5C>0,

得C»_5C=2,代入③得S2—S]=g.

故选：B

12.（2024.山东滨州.二模）已知函数/⑶=sin[ox+A（0>O）在[0,2可上有且仅有4个零点，

直线尤=《为函数y=/（x）图象的一条对称轴，贝1卜（）

A.B.--C.-D."

2222

【答案】C

兀

【分析】以+=为整体，根据题意结合零点可23得三29结合对称性可得。=2,进

61212

而可求

【详解】因为口〉0,且工£[0,2可，贝+,

6|_6o

兀

由题意可得：4兀42兀。+—<5兀，解得2‘3《公<29二，

61212

又因为直线x=2为函数y=/（无）图象的一条对称轴，

则二0+工=祈+工,AeZ,解得0=6左+2,々eZ,

662

可知左=0,g=2,即/(%)=sin12x+—j,

71.711

兀—=sin—=—

662

故选：C.

TTITJT7T

【点睛】关键点点睛：以。X+B为整体，可得。x+》e-,27T®+-,结合正弦函数零点分

6OLoo

IT

析可知右端点2兀0+7的取值范围，进而可得。的取值范围.

O

13.（2024.山东荷泽.二模）已知函数/（x）=2sin（2x+e1|d<fj,且sin夕一geos。_2

6sine+J§cos09

若"x）=T在曲2兀]上有〃个不同的根石,％,…,x,,则的值是（）

A.0B.-73C.73D.不存在

【答案】B

试卷第8页，共28页

【分析】由题意可得〃x)=2sin(2x+「，利用方程的根与函数图像交点的关系，得,

从而可得tanLJ的值.

【详解】由①幸组=二，得tan0=^=0

6sin°+，3cos°9cos。3

又闹苫，所以

即f(x)=2sin+0，

若〃x)=g，则si“2x+jq,

当x£[0,2兀],21+巴£—,

6|_66J

3

所以“X)=5在[0,2可上有4个不同的根网,马，尤3/4，

故选：B

二、多选题

14.(2024•山东淄博・二模)已知函数/(X)=2COS(S+9)[O<G<6,诋N*,0£1O,3],满

足：VxeR,/⑴-/仁卜。成立，且“X)在(0,j上有且仅有2个零点，则下列说法正

确的是()

A.函数的最小正周期为兀

B.函数〃x)在区间。今]上单调递减

C.函数〃x)的一个对称中心为

兀

D.函数了X--是奇函数

【答案】BCD

【分析】依题意可得了［鼻］为最大值，则得。=-g0+2far,&eZ,再由f（x）在上有且

仅有2个零点，可3冗得7T三5冗再结合的范围可出的值，从而可求出“X）

的解析式，然后逐个分析判断即可.

71兀

【详解】因为VxeR,/«-/4。恒成立，所以/'（x）的最大值为，

兀71

所以一g+0=2kR,左EZ,即。=—a)+2E,左£Z,

当XW（。春时,cox+(p^\cp:8+(p,又好词

因为/（X）在（0,二上有且仅有2个零点，所以曰手,

37r7TJr57r37rSir

所以三〈二。一二BP—<2fot<—,^eZ,得左=1,

233222

71

所以0=—+2TI,

因为O<0<6,oeN*,9所以0=5,°=；,

所以/(x)=2cos[5x+g)；

对于A：函数〃x）的最小正周期T=（,故A错误；

对于B：当时，5x+§e（2兀,又y=cosx在上兀,7-］上单调递减,

所以函数〃x）在区间上单调递减，故B正确；

对于C：因为/（-Fj=2cos［-g+：］=2cos［-］j=0,

所以函数〃x）的一个对称中心为［-荒，0），故C正确；

=2cos5x~~=-2sin5x,为奇函数，故D正

I2

确.

故选：BCD

15.（2024・山东.二模）已知函数/（x）=sinxjcosx|,则（）

A./（尤）是奇函数B.7（元）的最小正周期为兀

试卷第10页，共28页

的最小值为JT

c.-gD.在0,-上单调递增

【答案】AC

【分析】对于A,直接用奇函数的定义验证；对于B,直接说明兀不是周期；对于C,利用

正弦二倍角公式证明-g,再由=可得最小值；对于D,直接计算得到

=即可否定结论.

【详解】对于A,函数/'(>)定义域为R,有/(-x)=sin(-x)jcos(-x)|=-sinxjcosx|=-〃x),

所以/'(x)是奇函数，A正确;

71

所以/［一:+兀,这表明兀不是“X)的周期，B错误;

对于C,我们有y(x)=sinxJcosX>-|sinxcosx|=-Jsin2x\>

而之前已计算得到,故〃x)的最小值为-;，C正确；

对于D,由于=sin］.cos5=0,/(0)=sin0-|cos0|=0,

故/［、)=/(。)，所以/(x)在0,］上并不是单调递增的，D错误.

故选：AC.

16.(2024・山东日照・二模)已知函数/(%)=Asin(@x+o)(A>O,o>O,O<0<7r)的部分图象

如图中实线所示，图中圆C与f(尤)的图象交于M,N两点，且河在y轴上，则下列命题正

A.函数〃x)的最小正周期是兀

B.函数/(x)在卜上单调递减

C.函数的图象向左平移白个单位后关于直线X=$对称

12.乙

D.若圆C的半径为普，则/（元）=与sin（2尤+日

126V3

【答案】ACD

【分析】A选项，先求出C点的横坐标，求出最小正周期，A正确；B选项，求出口=7=2,

得到特殊点的函数值得到0=方，得到函数解析式，整体法得到/（X）在，普，-三）上不单

调递减，B错误；C选项，求出向左平移已个单位的解析式，代入检验得到C正确；D选

项，由=和勾股定理得到|OM|=£,代入［o,：］求出A=挚，得到函数解析式.

12414/6

N2TI

【详解】A选项，由对称性可知。点的横坐标为u+§_兀,

2

设“X）的最小正周期为T,则=1一,力=］，解得T=兀，A正确；

2兀

B选项，因为6?>0,所以刃=亍~=2,

/\

7171

点3万$，4在图象上，即点片|，4）在图象上，将其代入函数解析式得Asin［+Q=A,

\7

又。<。<兀，故。+0=，解得。=方，

62

故〃X）=Asin12x+：）,

、［,7兀71,5兀兀兀

当---<x<——时，----<2x+—<——,

123633

又A>0,y=sinz在上不单调，

故函数“X）在［-1,-］上不单调递减，B错误;

C选项，函数/（x）的图象向左平移白个单位后得到

g(x)=A=Asin2x+—=Acos2x

S叩,+*I2

其中■卜故（）关于直线］对称,

g1|ACOSTI=-A,gxX=c正确;

D选项，若圆C的半径为三，即|CM|=三,

试卷第12页，共28页

又见=?故解得

所以将„代入〃x)=Asin(2x+gJ中得，Asin产，解得4=售

贝1J/(x)=^^sin[2x+mj,D正确.

故选：ACD

17.(2024•山东聊城•二模)己知函数

f(x)=sin^2x+^J^<x<y^|,g(x)=cos^2x+^J-^|<x<^,则下列结论正确的是

()

A.若动直线—机与/(x),g(x)的图象的交点分别为AB,则|A国的长可为坐

B.若动直线丫=〃呜〃x),g(x)的图象的交点分别为43,贝U|A5|的长恒为；

C.若动直线y=±加与〃x),g(x)的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为T

3(〃%)兀)--A/5

D.若/(%)=W,

【答案】BCD

【分析】先判断函数f(%),g(x)的单调性及值域，由条件确定加的范围，设点A8的坐标分

别为(冷山),伍,加)，列方程化简可得，由此判断AB,判断直线y=±加与/(x),g(x)

的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件/(%)=；,结合两角差余弦公

式可求cos2人,根据二倍角公式可求cos7%,由此判断D.

【详解】由寻，可得342彳+24孚，

63262

所以“X)在区间雪上单调递减，

所以

由一±Wxv2,可得0W2x+至4兀，

12126

所以函数8⑴在区间-展，1^上单调递减，

715兀

且g(无)4g=cosO=l,/(%)>/COS71=-1,

12

所以—l(g(x)Wl,

由已知-l<m<l,

所以直线丫="与函数y=/(x),y=g(x)都只有一个交点,

设点4,8的坐标分别为(西,7九),(々,〃2),

TT371

因为函数〉=5缶_¥在上单调递减，

所以2Al+^=§+2%,

63

JI

所以石一兀2=W'

所以|4用=J(X]-毛『+(初一")2=%一勾=：，A错误，B正确,

设直线y=一%与函数丁=〃力4=8(”的交点为口。，

则|C£>|=:,又AB//CD,

所以四边形ABDC为平行四边形，其面积5=；、2|制45，C正确;

4112

试卷第14页，共28页

所以cos2m0=§

所以2cos2m0

所以cm-2岳-小

VKJor/to—

10

恤71=COS7%=马与产，D正确;

所以gT-12

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到A,B点横坐标之间

的关系，即为-%=1TT.

三、填空题

18.（2024.山东枣庄.模拟预测）写出函数/（幻=$缶犬85》+1图象的一条对称轴方程.

【答案】X=?（答案不唯一）

4

【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.

IjrjrKTT

【详解】易知/（%）U,SinZx+l,所以2%=Q+E（左EZ）=>%=1+万（左cZ）,

TT

不妨取左=0,贝=

4

jr

故答案为：尤=:（答案不唯一）

19.（2024・山东淄博•二模）三棱锥P-ABC中，平面己45_L平面A8C,且侧面是边长

为2的等边三角形，底面A8C是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为

【答案】正亡也

33

【分析】根据面面垂直关系得到CD，面ABC,通过长度关系可求得AR4s外接圆圆心。到

四个顶点的距离相等，可知。即为外接球的球心，从而可得外接球半径，进而求得表面积.

【详解】由题意，三棱锥尸-ABC即三棱锥作图如下，

取中点。，设。为VABC外接圆圆心，

V&PAB为边长为2的等边三角形，

在上，AOD=-PD=-^22-l2=—,

333

OP=OA=OB=-PD=—,

33

又VABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以

在Rt2\AC3中，8=工"=1,

2

•.•面ABC_L面/MB,面PABc面ABC=AB,CDu面C4B,\C0A面RW,PDu面E4B,

CD±PD,

^OP=OA=OB=OC,

二O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，且外接球半径7?=|A/3.

故答案为：友.

3

试卷第16页，共28页

20.（2024•山东•二模）在VABC中，内角A氏C的对边分别为a,b,c,垃3+廿-c）=absinC,

且c=l,则VABC面积的最大值为.

【答案】县

4

【分析】先由已知条件结合余弦定理和si/C+cos2c=l,C«0㈤求出sinC,cosC,再由余

弦定理结合基本不等式求出而最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.

【详解】因为应（/+〃-c2）=“6sinC,

所以由余弦定理2"cosC-a2+&2-c2，得2拒abcosC=absinC

所以sinC=272cosC,又sin2C+cos2C=1,CG（0,K）,

贝!JsinC=2应,cosC=->

33

所以由余弦定理以及基本不等式得:

lab_7lab4ab

l=a2+b2-2abcosC=a2+b2------>lab--------

333

即abW：,当且仅当。=6=走时等号成立，

42

所以SABc=^absinC=3a6W^，即VABC面积的最大值为正,

MBC2344

故答案为：立.

4

21.（2024•山东潍坊・二模）在VABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,其外接圆半径

为1,sin2A+sin2B+sin2C=l,则VABC的面积为；当A取得最大值时，贝U

/-8Q=•

【答案】1/0.5-4

【分析】空1：禾U用正弦定理和三角形面积公式得ga6sinC=2sinAsinBsinC,再利用诱导

公式和两角和的正弦公式和二倍角公式即可得4sinAsin3sinC=l,则得到三角形面积；空

2

2：利用正弦定理和面积公式得历=—,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案.

a

【详解】由正弦定理得二=3=二=2氏=2,贝IJa=2sinA》=2sinB,

sinAsmBsmC

则S=-^absinC=2sinAsinBsinC.

sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sinIB+sin[2»—2（A+5）],

=sin2A+sin2B—sin(2A+2B)

=sin2A+sin2B-(sin2Acos2B+cos2AsinIB)

=sin2A(1-cos23)+sin2B(1-cos2A)

=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A

=4sinAsinB(cosAsinB+sinAcosB)

=4sinAsinBsinC=1,

则LBC=2X：＜

sinA=—=—,S

2R2ABC

〉2bc-a2_]/_]"3

则COSAJ+C〜2

2bc2bc2bc4

当且仅当b=c时取等,

因为440,兀），贝!]cosA最小时，A最大,

即1=12—ija,即4=a（8—a'）,即8a=T.

故答案为：—;—4.

2

【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是利用三角恒等变换对题目给的等式化简得

4sinAsinBsinC=l,第二空的关键是利用余弦定理和基本不等式从而得到角A最大时的临

界状态.

22.（2024•山东泰安•二模）已知在矩形ABC。中，AB=\,AD=6动点P在以点C为圆

心且与8。相切的圆上，则通的最大值为:若Q=荏+〃亚（加,〃eR）,

则m+n的最大值为.

【答案】|3

【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（qcose+G,

^sin。），即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由

AP=mAB+nAD（m,n&R）,求出私〃，根据三角函数的性质即可求出最值.

试卷第18页，共28页

【详解】如图：以8为原点，以班BC所在的直线为轴建立如图所示的坐标系,

则8(0,0),4(0,1),D(V3,1),C("o),AD=(5^,0)

动点P在以点C为圆心且与30相切的圆上,

设圆的半径为「，

...BC=6,CD=1,:.BD=J(呵+1?=2

：.-BCCD=-BDr,

22

,旧

..V——，

2

圆的方程为(X-石产+>2=。，

4

设点尸的坐标为sin&),3G[0,2K]

故万.亚的最大值为会Q

•.・AP=mAB+nAD[m,neR),AB=(0,-1),

*ose+®%n”l

:.AP==m(0,-l)+n(6,0)=,

7

I

—cos^+1=n,-——sin9+l=机,

22

.•.机+〃=gcos0-sin6+2=cos(6+y)+2,

TT

•/-l<cos(6>+-)<1,

故根+〃的最大值为3,

9

故答案为：—,3

四、解答题

23.（2024•山东济南•二模）如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2®CD=2,AD=4.

⑴若A,民C,。四点共圆，求AC；

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】（1）AC=3&

（2）3x/7.

【分析】（1）在VABC、AACD中分别利用余弦定理表示出AC?,再由四点共圆得到

cosZADC=-cosZAFC,即可求出AC；；

1S

（2）由（1）BTWcosZADC-cosZABC=-,再由面积公式得到sinNAr>C+sin/ABC=—,

44

1+S2

将两式平方再相加得到2-2cos（ZADC+/ABC）=,结合余弦函数的性质计算可得.

16

【详解】（1）在VABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8-cos/ABC=16-16cos/ABC,

在j4CD中，由余弦定理得：AC2AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cos^ADC=20-16cos^fADC,

因为A,8,C,O四点共圆，所以/AfiC+/ADC=jr,因此cos/ADC=-cos/ASC,

上述两式相加得：2AC2=36，所以AC=3夜（负值已舍去）.

（2）由（1）得:16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化简得cosZADC-cosZABC=-,

4

则cos2ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=-!-①，

16

四边形ABCD的面积5=-AB-BCsm^ABC+-AD-CDsm^ADC

22

=-x2^x20sinNABC+-x2x4sin,ADC

22

试卷第20页，共28页

=4(sin^ADC+sin^ABC),

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

q2

则sin?ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2ZABC=—②

16

1+S2

①②相加得：2-2(cosZADCcosZABC-sinZADCsinZABC)=

16

1+S2

即2-2cos(ZADC+ZABC)=

16

由于0<NADC<兀,0</ABC<it,

所以当且仅当/ADC+NABC=7T时，cos（NADC+NABC）取得最小值—1,

此时四边形ABC。的面积最大，由上悭=4,解得5=3近，

16

故四边形ABCD面积的最大值为.

24.（2024・山东济南.二模）如图，在平面四边形ABC。中，BCLCD,AB=BC=g

⑴若，=120。，">=3,求/WC的大小；

（2）若CD=a，求四边形ABC。面积的最大值.

【答案】(1)^ADC=45°

⑵若+2

【分析】（1）在VWC中，利用余弦定理可得AC=卡,由等腰三角形可得NBC4=30。,

然后在△ADC中利用正弦定理即可求解;

（2）利用勾股定理求得=2