2024年新高考数学押题卷（一）

2024年新高考数学押题密卷（一）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合。={1,2,3,4,6},A={1,2},5={2,4,6},则图中阴影部分表示的集合为（）

C.{1}D.{1,2,3,6}

【答案】C

【解析】由韦恩图可知，阴影部分表示（2B）cA,

心3={1,3},所以（e3）八4={1}.

故选：C.

2.已知两条不同的直线机”，a,尸,/表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.all。,mua,nu[inmlInB.al/,夕L/na与尸平行或相交

C.alIP，ml!n,mLa^>nlIPD.ao/3-m,13cyy-n,mlIn^>a11P

【答案】B

【解析】对于A,若alIB，mua,nu§,则加〃〃或机〃异面，故A错误；

对于B,若a，％尸，乙则©/平行或相交，故B正确；

对于C,若则加1万，所以"1夕，故C错误；

对于D,若aP=m,P\y=n,mlIn,则a///或名月相交，可参考直三棱柱的三个侧面，故D错误；

故选：B.

3.已知一组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,将剩下的数据与原数据相比,

则（）

第1页共15页

A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变

【答案】D

【解析】在这组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12和45后，得到16,22,24,

25,31,33,35,

显然极差由45-12=33变成了35-16=19,故A项错误；

—1243

原平均数为x=-(12+16+22+24+25+31+33+35+45)=—=27,

现平均数为P=工(16+22+24+25+31+33+35)=竺w27,故B项错误；

77

原方差为122+162+22?+242+252+312+332+352+452-9X272]=-^,

现方差为s'2=-[162+22?+24?2312+332+352-7X(―)2]=,

7+25+749

显然方差不同，故C项错误；

对于D项，由9xJ=2.25,知原数据的上四分位数是第三个数据22,

4

又由7x9=1.75,知现数据的上四分位数是第二个数据22,即D项正确.

故选：D.

4.设圆C:（x-2）2+（y-l）2=36和不过第三象限的直线/：4尤+3y-a=0,若圆C上恰有三点到直线/的距

离为3,则实数（）

A.2B.4C.26D.41

【答案】C

【解析】因为圆C:（尤-2y+（y_l）2=36的圆心为C（2,l）,半径r=6,

因为圆C上恰有三点到直线I的距离为3，

|4x2+3xl-^|

所以圆心C（2,1）到直线/的距离d==3,解得a=V■或a=26,

又直线/：4》+3）—。=0不过第三象限，贝^•120,解得a20,

所以a=26.

故选：C

5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是W=（长+4）x（宽+4）,在不

测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完

这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

第2页共15页

【解析】设矩形场地的长为X米，则宽为二X米，

X

/八,10000八,40000cE—40000

WTI7=（x+4）（-------+4）=4xd-----------1-10016>2./4x---------+10016=10816，

xxvx

当且仅当4x=竺也，即尤=100时，等号成立.

X

所以平整这块场地所需的最少费用为1x10816=10816元.

故选：C

7T

6.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。,仇c,则能使同时满足条件4=占,6=6的三角形不唯一的a

O

的取值范围是（）

A.（3,6）B.（3,-HX>）C.（0,6）D.（0,3）

【答案】A

IT1

【解析】因为A=：,0=6,则。sinA=6x7=3,

62

要使满足条件的三角形不唯一，则Z?sinAvav6,即3vav6.

故选：A.

22

7.在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C：3-£=l（a>b>0）的右焦点为歹（君,0）,尸为C上一

点，以。尸为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点。的M,N两点.若1PM卜|印|=^,则C的离心率

为（）

A.叵B.巫C.-D.45

232

【答案】B

【解析】设尸（飞，九），有J一/=1,即/北

b

由题意可得尸"LON、PN±ON渐近线方程为y=±—X,

fa

故同.网=匕。=烂-=咚=9,

y/a2+b2y/a2+b2Q+bc5

又网君,0）,故c=5则涉=片（5一〃）=6,即〃4—5〃2+6=0，

解得〃2=2或。2=3,贝！J〃=3或〃=2,由石>6>0,

2

故.2=3,b=2f即a=6，贝!Je=£=.

ax/33

故选：B.

第3页共15页

a,a>b)b,a>b

8.定义max{a,6}=(对于任意实数x>Q,y>Q,则

a,a<b

min,max12X,3y,J+J

■的值是（）

A.也B.也C.CD.将

【答案】A

【解析】设max{2x,3y,*+!}=M则M>2x,M>3y,M+,

得加22x+*+3y+5=2x+.+3y+Ur，

1or3—?

设/（x）=x+=（x>0）,贝Ur（x）=l-5=一，

X"X'X

令广（x）<O=>O<x（次，r（x）>Onx>也，

所以函数于⑺在（0,次）上单调递减,在（次,+8）上单调递增,

故=/(次)=次+^7=3，即/⑴/，

33

得7(2%)之二J(3y)2万，

2§V

所以3M*2x+册+3y+5=/(2x)+/(3y»]+]=4,

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设a,夕是关于x的方程2/+川+4=0的两根，其中乙4€由若£=方-3口为虚数单位），则

第4页共15页

A.夕=2i+3B.p+q=38C.a+尸=-6D.|cr|+|^|=2A/13

【答案】BCD

【解析】因为a,£是关于X的方程2-+px+4=0的两根，其中。，qeR且cr=2i—3,

所以乃=-2i-3,

所以a+£=(2i-3)+(-2J3)=-6=-勺所以2=12,

a-^=(2i-3)-(-2i-3)=13=^|,所以4=26,

则p+q=38,故A错误，B正确，C正确；

|«|+1^|=^(-3)2+22+^/(-3)2+(-2)2=2^/13,故D正确.

故选：BCD

10.已知函数〃x)=sin］s+。(©>()),则下列说法正确的是()

A.若o=l,则［弓，0)是“X)的图像的对称中心

B.若/("</］胃恒成立，则。的最小值为2

C.若“X)在［上单调递增，贝

L/」3

111n

D.若/⑺在［0,2可上恰有2个零点，则*

【答案】ABC

【解析】选项A：若0=1,贝U/［V］=sin［,+£］=sin兀=0,

由正弦函数的图象可知［T，。］是/(%)的图像的对称中心，A说法正确；

选项B：若〃用恒成立，则0X\+\=T+2阳%wZ),解得刃=2+12碎eZ),

又。>0,所以。的最小值为2,B说法正确；

选项C：令g(x)=s+［,显然g(x)在0g上单调递增，且g(O)=1,

若在10，占上单调递增，则g但〕=“4+丁4m，解得所以0<043,C说法正确;

|_2」\2J26233

选项D：当工£［0,2兀］时,a)x+—e—,2a)Tt+—,

L」6166

若/(x)在［0,2可上恰有2个零点，则2兀42.+《<3兀，解得巳(0<发，D说法错误；

第5页共15页

故选：ABC

11.设/(X)是定义在R上的可导函数，其导数为g(x),若/(3x+l)是奇函数，且对于任意的xeR,

/(4-x)=/(x),则对于任意的左eZ,下列说法正确的是()

A.44都是g(x)的周期B,曲线y=g(x)关于点(2左,0)对称

C.曲线y=g(x)关于直线为=24+1对称D.g(x+4Z)都是偶函数

【答案】BC

【解析】由/(3尤+1)是奇函数，故有/(3x+l)=-/(-3x+l),即有〃x+l)=-

故，贝U/'(x+l)=/'(—x+l),即g(x+l)=g(—x+l),故g(x)关于x=l对称，

由〃4-x)=/(x),则-〃4-x)=r(x),即-g(4-x)=g(x),

故g(x)关于(2,0)中心对称，

由一g(4-x)=g(x),贝！］—g(3—x)=g(x+l),又g(x+l)=g(—x+1),

故g(—x+l)=—g(3—x),即有g(x+l)=—g(3+x),

贝ijg(x+3)=_g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=_g(x+1),

即g(x+l)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)周期为4.

对A：当上=0时，4%=0,故A错误；

对B：由g(x)周期为4,故g(4Z-x)=g(-x),

又一g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),故g(-x)=—g(x)=g(4Z—x),

故曲线y=g(x)关于点(2k,o)对称，故B正确；

对C：由g(x)周期为4,故g(4左+2-x)=g(2-x),

又g(x+l)=g(-x+1),故g(x)=£(f+2)=g(4%+2-X),

故曲线y=g(x)关于直线X=2A+1对称，故C正确；

对D：由B得-g(x)=g(4k-X),故-g(-x)=g(4左+x),又g(x)周期为4,

故有一g(—x)=—g(4左一%),故g(4左+x)=-g(4%-x),又xwR,

即g(x+4Z)都是奇函数，故D错误.

故选：BC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(2x+l)5(y-1尸的展开式中，的系数为.

【答案】-240

第6页共15页

【解析】因为(2x+1)5的展开通项公式为(=C(2x)7=254《/乂04左W5#eN),

3rr

(V-1)的展开通项公式为Tr=3T(-l)=(-l)(3；产(0<r<3,reN),

所以取％=2,r=1,得x3y2的系数为23C|.(-l)C'=-240.

故答案为：-240.

13.向量满足|=传|=2,|a-b|=2,|2°-£=|=若，则|d-b|的最大值为.

【答案】3小

【解析】因为|5|=|31=2,|。一口=2,

a—b\2=a2-2a-b+b2=4—2a-b+4=4,贝!2,

r11

则同似cos〈a,b）=4cos（a力）-2,所以cos〈a/〉

2

兀

又因为0《〈。,)〉〈兀，所以〈〃/〉=§,

则可设a=(2,0),方=(1,^3),c=(x,y),则2T-d=(4-x,-y),

又因为|2a-c|=7^,所以。-4尸+V=3,

故又可设c的坐标为(公cosa+4,A/3sina),

所以1。一万|2=cosa+3)2+(下sina-小丫=6y/3cosa—6sina+15

=-12sin^a-1^|+15<27,

因此|c-b区30，所以|c-b|最大值为3G.

故答案为：3瓜

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做

球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做

球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的儿何体.如图1,一个球面的半径为

R,球冠的高是“，球冠的表面积公式是5=2初7,与之对应的球缺的体积公式是V=；兀//(3R-6).如图

7T

2,已知是以A5为直径的圆上的两点，/46^=/8。£>=§,5扇脑地=6兀，则扇形CQD绕直线A3

旋转一周形成的几何体的表面积为,体积为.

第7页共15页

【答案】72兀+36后144兀

【解析】因为NAOC=/BOD=1,所以/DOC=7i-2x]=],设圆的半径为R,

又无形皿=1”2=6兀，解得R=6（负值舍去），

过点C作CE1AB交A3于点E,过点。作“'LA5交A3于点歹，

则CE=OCsin；=36,O£=OCcos-|=3,

所以AE=R—O£=3,同理可得£>尸=36，OF=BF=3,

将扇形COD绕直线A3旋转一周形成的几何体为一个半径R=6的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖

去两个圆锥，

其中球缺的高。=3,圆锥的高4=3,底面半径r=3百，

则其中一个球冠的表面积E=27^/Z=2JTX6X3=367T,球的表面积S?=4兀代=4/6?=144兀,

圆锥的侧面积S3=3卡>义6B18#!n,

所以几何体的表面积S=$2-2d+2s3=144兀一2><36兀+2><186兀=72兀+36671,

又其中一个球缺的体积h=g昉?（37?-/Z）=|TIX32（3X6-3）=45K,

圆锥的体积匕=：兀*（34jx3=27兀，球的体积匕=3兀尺3=^兀*63=288兀，

所以几何体的体积1=匕一2匕一2%=288兀-2x45兀一2x2771=144兀.

故答案为：72兀+36^兀；144兀

第8页共15页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已如曲线/（%）=a2+X一211^+6（。力€区）在芯=2处的切线与直线工+2〉+1=0垂直.

（1）求。的值；

（2）若“6》0恒成立，求b的取值范围.

【解析】（1）由于x+2y+l=0的斜率为一；，所以广（2）=2,

221

又/'（X）=2ox+l—，故1（2）=4.+1-5=2,解得a=-9

（2）由（1）知a=（，所以r（x）=x+]_2=x2+x2=（x+2）（x―l）,

2xxx

故当彳>1时，r（x）>oj（x）单调递增，

当o<x<i时,r（x）<oj（x）单调递减，

故当x=l时，“X）取最小值〃1）=：+1+6,

13

要使〃尤）20恒成立，^/（1）=-+1+&>0,解得

3

故%的取值范围为62

16.（15分）

如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD为矩形，R4_L面ABCZ）,PA=A。=0AB,点〃是尸D的

中点.

B

第9页共15页

(1)证明：AM^PC-

(2)设AC的中点为O,点N在棱尸C上(异于点P,C),且ON=Q4,求直线4V与平面AO0所成角

的余弦值.

【解析】(1)因为B4=AD,点M为PD中点，则AA/J_PD

因为24_1面川8,PAu面P4。，所以面上4D_L面ABCD,

又底面ABCD为矩形，则CDLAD,

因为面PLDC面ABCD=AD,CDu面ABCD,

所以8_1面24。，所以CD_LAM,

因为尸少cCD=D,PD,C£)u面尸CD,

所以AMI面尸8,又PCu面尸8,

所以AM_LPC；

(2)由已知得AB,AZ),AP两两垂直，设AB=1,如图建立空间直角坐标系，

贝IM(O,O,O),B(I,O,O),C(I,EO),O(O,"O),P(O,O,3),M0dl

所以4M=K，*],AC=(1,0,O),

I22J

设平面ACM的法向量为，=(x,y,z),

e夜

则产.〃+"=丁+k=。，取y3,得〃=(也,叫

ACn=x+6y=0

又PC=(1,VI-夜)，设N(如,切为)，＞=L=卜，&，-&)(0＜丸＜1)，

即黑，%，z.-&)=卜,&,一&＞所以N仅,后,a一&),

又ojg,等,0,ON=OA=^~,

3?

“解得，有或八一舍去)，

’22V23应］

所以AN=

设直线AN与平面ACM所成角为0,

30

\n-AN\

则皿=马=5叵

J—+18lo-

(2+1+1X

V252525

第10页共15页

所以直线4V与平面ACM所成角的余弦值为江.

10

17.（15分）

直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决

定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计

表（金额V（万元））.

月份1月2月3月4月5月

月份编号X12345

金额y（万元）712131924

（1）根据统计表，

①求该公司带货金额的平均值7；

②求该公司带货金额》与月份编号X的样本相关系数（精确到0.01）,并判断它们是否具有线性相关关

系（0.754卜归1,则认为，与X的线性相关性较强；卜|<0.75,则认为y与X的线性相关性较弱）；

（2）该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的

方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记

抽到甲产品的件数为X,试求X的分布列与期望.

一（%-元）（%-区）

附：相关系数公式厂=/“，1I”----，参考数据：A/1740®41.7,

j沙-可旧…2

£（%-丁）（%-9）=41,、岳（%_才=M，J^（yi-y）2=V174.

$Vi=lVi=l

-7+12+13+19+24

【解析】（1）①由统计表数据可得：y=；=15,

②由于£卜一矶y厂7）=41,岗y-刁=而?,但尤「寸=M，

第11页共15页

4141

所以相关系数「=而石。兀亍“0.98＞0.75

因此，两个变量具有很强的线性相关性.

(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,

C°C31尸(X=1)=等-"

因为尸b=0）=言=*,

C83056

尸(X=2)=鲁=1|,尸(X=3)=等J,

jZoyZo

所以X的分布列为：

X0123

115155

p

56562828

^fl^E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—.

v7565628288

18.(17分)

已知椭圆E:[+/=1(。＞匕＞0)离心率为白，椭圆上的点到焦点的最远距离是2+V3.

(1)求椭圆E的方程；

(2)椭圆上有四个动点A,B,C,D,且与相交于点尸.

①若点P的坐标为(4,2),A为椭圆的上顶点，3为椭圆的右顶点，求。的斜率；

②若直线AB与CD的斜率均为时，求直线OP的斜率.

【解析】(1)由椭圆E的离心率为3,故土=好,

2a2

由椭圆上的点到焦点的最远距离是2+6，故〃+C=2+8,

解得a=2,c=A/3,故/=/一，=],

即椭圆石的方程为土+>2=1；

4

2

（2）①由椭圆E的方程为亍+丁=1,则A（0,l）,3（2,0）,

2-11

贝1HAD+^l：y=-x+\,

4—UAD4

2—0

Me:y=T（x—2）,即：y=%—2,

4—2

第12页共15页

y=—x+1

4

联立直线AD与椭圆方程，有2，消去V可得5r+8尤=0,

QQQ

解得x=0或*=-1,由A(0,l),故则为=1,即。

y=x-2

联立直线6c与椭圆方程，有f消去V可得5/—16元+12=0,

——+y=1

14'

解得尤=4或x=2,由3(2,0)，故%哈则%=一金，故C偿,一斗，则无8=1；3

555132)JoO2

~5~1

②设A（x”yJ,8（%,%）,C&,%）,O（x4,y4）>■?（«,〃），

设PD=/ID4（；IN0）,

+m

x4-m=-2X4A,+1

则有

y4-n=Ayl-Ay44yl+〃

2+1

由A在椭圆E上，故土+y；=l,

41

。在椭圆E上，故有

222

化简得川玉2+2nUX1+m+4万货+而彳必+4M=42+82+l,

由1+y；=l,即有22町+4万才=4万，

22

贝（J有2mZx1+8〃2M+m+4n=82+1,

由直线A3与CD的斜率均为-g,故AB〃CD,

22

则有PC=2CB（2丰0）,同理可得2m均+8nAy2+m+4n=8/1+1,

2

故直线1AB-21n九x+v+nr+4n=82+1,

第13页共15页

+12mAmn3

即13rl有一一=-----=----,o即n一=一，

38n24nm4

数列｛叫,也｝满足：｛〃｝是等比数列，仇=2,g=5,且3+a&+…+。e=2(%-3也+8(〃eN

⑴求凡也；

⑵求集合A=｛尤卜一aj(x-①)=0,iW2〃,ieN"中所有元素的和;

(3)对数列｛a｝,若存在互不相等的正整数K的，…肉(二2),使得%+僦+…+%也是数列｛&｝中的

项，则称数列匕｝是“和稳定数列”.试