2024年中考数学基础题型提分练：二次函数（含解析）

专题05二次函数

【考点精说】

必考点1二次函数的概念：一般地，形如，=/+厩+。9,是常数，分0）的函数，叫做二次函数。

这里须要强调：①aW0②最高次数为2③代数式肯定是整式

【典例1】（2024•南通市）若丫=（m-1）%毋+，"是关于x的二次函数，则m的值为（）

A.-2B.1C.-2或1D.2或1

【答案】A

【解析】

解：•・？=（mT）+根是关于x的二次函数，

m2+m=2,且m-1r0,

解得：m=-2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，最高次数是二次且二次项系数不为零

【举一反三】

1.（2024•哈尔滨市）下列各式中表示二次函数的是（）

A.y=x2+——1-1B.y=2-x2

x

C.y=\-%?D.y=（x-1）2-x2

x

【答案】B

【解析】

解：A、y=/+-+l,含有分式，不是二次函数，故此选项错误；

X

B、y=2-x,是二次函数，故此选项正确；

1

C、y=-y-x92,含有分式，不是二次函数，故此选项错误；

X

D、y=（x-l）2-V=_2X+1,是一次函数，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键.

2.（2024•遵义市）下列函数中属于二次函数的是（）

12

A.y=­xB.y=2x-lC.y=s]x+3D.y=x+-+l

2x

【答案】B

【解析】

解：A.是正比例函数，不符合题意;

2

B.尸2*-1是二次函数，符合题意；

C.y=不是二次函数,不符合题意；

D.y=*+1+l不是二次函数，不符合题意.

x

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题关键是驾驭一次函数、二次函数、反比例函数的定义.

3.（2024•浙江初三期末）圆的面积公式S=K#中，S与7?之间的关系是（）

A.S是A的正比例函数B.S是火的一次函数

C.S是火的二次函数D.以上答案都不对

【答案】C

【解析】

依据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.

必考点2二次函数的图像和性质

二次函数y=ax2+bx+c的性质

I.当。＞0时，抛物线开口向上，对称轴为顶点坐标为1-2,

2aI2〃4aJ

当x＜-2时，y随x的增大而减小；当》＞一2时，y随x的增大而增大；当尤=一2时，y有最小值

2a2a2a

4ac-b2

4。

2.当。<0时，抛物线开口向下，对称轴为元=-2,顶点坐标为如土].当时，y随

2a12a4aJ2a

x的增大而增大；当x>-2时，y随x的增大而减小；当片_2时，y有最大值细二

2a2a4。

【典例2](2024•福建中考真题)若二次函数产㈤V+6户c的图象经过AE,〃)、B(0,%)、C(3-®〃)、D(&,

㈤、E(2,%),贝(I%、乃、万的大小关系是().

A.yi<y2<与B.yi<y2C.73<y2<%D.J2<J3<%

【答案】D

【解析】

•.,经过A(m,n)、C(3-m,n),

3

・•・二次函数的对称轴x=一

2

VB(0,y])、D(&,y2)>E(2,y3)与对称轴的距离B最远，D最近，

V|a|>0,

j2<yi；

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；娴熟驾驭函数图象上点的特征是解题的关键.

【举一反三】

1.(2024•内蒙古中考真题)二次函数y=ax-与一次函数y^ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是

()

【答案】D

【解析】

解：由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（—1,0）,解除A、B；当aX）时，二次函

数开口向上，一次函数经过一、三、四•象限，当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象

限，解除C；

故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是娴熟驾驭二次函数的图象和一次函数的图象与系

数之间的关系.

2.（2024•广东初三月考）二次函数尸a/+6x+c（aW0）的图象如图，下列结论正确的是（）

b

A.a<0B.lj-4ac<0C.当一1<水3时，y>0D.-------=1

2a

【答案】D

•••抛物线开口向上，

a>0

；.A选项错误，

:抛物线与x轴有两个交点，

b1—4ac>0

，B选项错误，

由图象可知，当一时，y<0

•••C选项错误，

由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（-1,0）和（3,0）可知对称轴为x=l

即—冬=1,

，D选项正确，

故选D.

3.（2024•安徽初三月考）二次函数.af+Z^+c（aWO）的图象如图，给出下列四个结论：®4ac-A2<0；

②392。<0；③4a+c<2b；@mQan^b）+b<a（得-1）,其中结论正确的个数是（）

【答案】C

【解析】

:图象与x轴有两个交点，

方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,

/.b2-4ac>0,

/.4ac-b2<0,

①正确;

：_—=-1,

2a

・・b—2a.?

*/a+b+c<0,

-b+b+c<0,3b+2c<0,

2

...②是正确；

:当x=-2时，y>0,

4a-2b+c>0,

4a+c>2b,

③错误；

:由图象可知X=-1时该二次函数取得最大值,

.*.a-b+c>am2+bm+c(mW-1).

.,.m(am+b)<a-b.故④正确

...正确的有①②④三个，

故选C.

必考点3待定系数法求二次函数解析式

依据条件不同，二次函数可设三种不同的表达式：

①一般式：y=ax1+bx+c

②顶点式:y=a(x-hf+k

③交点式：j=a(x-x1)(x-x2)

【典例3】(2024•江苏中考真题)已知二次函数的图象经过点/2,2),顶点为。(0,0)将该图象向右平移,

当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为

【答案】y=-(x-4)2.

【解析】

设原来的抛物线解析式为：y=ax20),

把尸(2,2)代入，得2=4a,

解得a=g,

2

1,

故原来的抛物线解析式是：y=-x2,

设平移后的抛物线解析式为：y=-(x-b)2,

1

把尸(2,2)代入，得2=万(2—加29,

解得6=0(舍去)或6=4,

所以平移后抛物线的解析式是：y=-(x-4)2,

1,

故答案是：y=—(x—4)^.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征.利用待定系数法

确定原来函数关系式是解题的关键.

【举一反三】

1.(2024•江苏初三期末)已知二次函数尸af+6x+c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表:

X•••-2023・・・

・・・

y•••8003

当x=_1■时，y=.

【答案】3

【解析】

将点(0,0),(2,0),(3,3)代入y=加+bx+c,得

c=0。=1

{4。+2〃=0解得：协=—2

9a+3b=3.c=0.

二二次函数的解析式为：丁=必-2x.

当x=-l时，y=(-l)2-2x(-l)=3.

故答案为：3.

2.已知二次函数>=以2+法+。的图像经过点4(—1,0)、5(2,0)、C(0,-2),那么这个二次函数的解

析式为.

【答案】J=X2-X-2

【解析】

解：。二次函数y=ax?+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),

a-b-\-c=0

<4〃+2b+c=0,

c=-2

a=l

解得:\b=-l,

c=-2

，这个二次函数的解析式为：J=X2-X-2.

故答案为：y=x2-x-2.

【点睛】

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确解方程组得出是解题关键.

3.（2024•云南初三期中）已知抛物线的顶点为（1,-1）,且过点（2,1）,求这个函数的表达式为

【答案】y=2x2-4x+l

【解析】

解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-1,

把点（2,1）代入解析式得：a-l=l,

解得a=2,

,这个函数的表达式为y=2（x-1）2-1,

即y=2x2-4x+l.

故答案为y=2x'-4x+L

考点：利用顶点式求抛物线解析式.

必考点4二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点状况）：

一元二次方程办2+bx+C=O是二次函数产加+陵+c当函数值y=o时的特别状况.

图象与X轴的交点个数：

①当公=廿_4ac>0时，图象与x轴交于两点4（为，0）,8（9，。）（为*%），其中的玉，々是一元二次方

y/b2-4ac

程办2+bx+c=0（a*0）的两根.这两点间的距离=|无2-七|=

问

②当△=（）时，图象与x轴只有一个交点；

③当A<0时，图象与x轴没有交点.

r当。>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y>0；

2,当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.

【典例4】（2024•湖北中考真题）抛物线y=-f+4x-4与坐标轴的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

当X=O时，y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为（0,-4）,

当y=0时，一%2+4%—4=0，解得占=々=2,抛物线与x轴的交点坐标为（2,0）,

所以抛物线与坐标轴有2个交点.

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ox2+6x+c（a,仇c是常数，awO）与％轴的交点坐标

问题转化为解关于x的一元二次方程.

【举一反三】

1.（2024•湖南中考真题）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的

2

不动点.假如二次函数7=X+2A+C有两个相异的不动点荀、x2,且X1VIVX2,则c的取值范围是（）

1

A.c<-3B.c<-2C.c<—D.cVl

4

【答案】B

【解析】

由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点X1、xz,

所以X1、xz是方程X2+2X+C=X的两个不相等的实数根，

整理，得：x2+x+c=0,

所以△=l-4c>0,

又x?+x+c=O的两个不相等实数根为X1、X2,X1<1<X2,

所以函数y=x2+x+c=0在x=l时，函数值小于0,

即l+l+c<0,

l-4c>0

综上则

l+l+c<0

解得c<-2,

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，娴熟驾驭二次函数与一元二次方程的

关系是解题的关键.

2.(2024•四川中考真题)已知二次函数，=(%-4-1)(%-4+1)-3々+7(其中犬是自变量)的图象与》轴

没有公共点，且当尤<-1时，y随x的增大而减小，则实数。的取值范围是()

A.a<2B.a>—1C.—l<aW2D.—lWa<2

【答案】D

【解析】

y=(x—a—1)(%—«+1)—3«+7=x2—2ax+«2—3«+6>

••・抛物线与x轴没有公共点，

A=(—2a)'—4(a~—3a+6)<0,解得a<2,

一2〃

••・抛物线的对称轴为直线x=-----=a,抛物线开口向上，

2

而当了<-1时，y随工的增大而减小，

CI>—1

实数a的取值范围是—lWa<2,

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，娴熟驾驭和敏捷运

用相关学问是解题的关键.

3.(2024•辽宁中考真题)如图，二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象过点(-2,0),对称轴为直线x

=1.有以下结论：

①abc>0；

②8a+c>0；

③若A(xi,m),B(xz,m)是抛物线上的两点，当x=xi+x?时，y=c；

④点M,N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PMLPN,则a的取值范

围为a2l；

⑤若方程a(x+2)(4-x)=-2的两根为Xi,x2,且XiVxz,则-2WXI<X2<4.

其中结论正确的有()

D.5个

【答案】A

【解析】

解：①由图象可知：a>0,c<0,

-±>o

la

/.abc>0,故①正确；

②,・•抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线的对称轴为直线x=1,

，上=1

2a

.•.b=-2a,

当x=-2时，y=4a-2b+c=0,

.,.4a+4a+c=0,

.'.8a+c=0,故②错误；

③〈A(xi,m),B(x2,m)是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：XI+X2=1X2=2,

当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c,故③正确；

④由题意可知：M,N到对称轴的距离为3,

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，

在x轴下方的抛物线上存在点P,使得PMLPN,

4ac-b2

即<-3,

4a

V8a+c=0,

..c-8a,

Vb=-2a,

.4〃•(—8。)—(—

••----------------------S-3,

4a

解得：a>^,故④错误；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0),

y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-2,

即方程a(x+2)(x-4)=2的两根为xi,x2,

则X］、&为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，

"."X1<X2,

,

-.X1<-2<4<X2,故⑤错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是娴熟运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.

必考点5二次函数的实际应用

【典例5】(2024•武汉)如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y

A.12mB.10mC.3mD.4m

【答案】B

【解析】

I25

解：令y=---x2+—x+-=0

1233

则：x2-8x-20=0

A(x+2)(x-10)=0

.'.xi=-2(舍)，X2=10

由题意可知当x=10时，符合题意

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.

【举一反三】

1.(2024•黑龙江初三期末)如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管的=1.25卬，A

处是喷头，水流在各个方向沿形态相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为0,直径为线段龙.建

立如图所示的平面直角坐标系，若水流路途达到最高处时，到x轴的距离为2.253到y轴的距离为10，

则水落地后形成的圆的直径CB=m.

【答案】5

【解析】

解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y=a(£-1)、2.25

7点/(0,1.25)在抛物线上

/.1.25=a(0-1)>2.25

解得：a=-1

抛物线的解析式为：尸-(x-1)，2.25

令尸。得：0=-0-1)2+2.25

解得：x=2.5或x=-0.5(舍去)

.•.点6坐标为(-2.5,0)

：.0B=0C=2.5

:.CB=5

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键.

2.（2024•辽宁初三期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度分（米）与小球运动时间t（秒）的

关系式是分=30-5巴小球运动中的最大高度是米.

【答案】45

【解析】

解：h=-512+301

=-5（t2-6^+9）+45

=-5（-3）?+45,

Va=-5<0,

图象的开口向下，有最大值，

当t=3时，h最大值=45.

故答案为：45.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出

结果.

3.（2024•湖北初三期中）如图，一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为20时，水面宽度为4m；那

么当水位下降后，水面的宽度为_________m.

53E7J卜...一.一.........——―

|4--------4m--------

【答案】2底

【解析】

如图，建立平面直角坐标系，

设横轴x通过47,纵轴y通过48中点。且通过。点，则通过画图可得知。为原点，抛物线以y轴为对称轴,

且经过46两点，物和必可求出为"的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0,2）,通过以上条件可设顶

点式丁=”/+2,其中a可通过代入/点坐标（-2,0）,到抛物线解析式得出：0.5,所以抛物线解

析式为丁=-0.5必+2,当水面下降1米，通过抛物线在图上的视察可转化为：

当尸-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线尸-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以

通过把产-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5尤2+2,解得：产土前，所以水面宽度增加到2n米，

故答案为2n米.

【考点精炼】

1.（2024•吉林初三月考）若函数y=（3-m）^-7-x+l是二次函数，则m的值为（）

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】B

【解析】

依据二次函数的定义，可知m2-7=2,且3-mWO,解得m=-3,所以选择B.

故答案为：B

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，留意二次项的系数不能为0.

2.（2024•浙江初三期中）下列二次函数中，二次项系数是-3的是（）

A.-2户5B.y^x-3H2C.-"ix-xD.y^x-3

【答案】C

【解析】

解：A.尸3/-21+5二次项系数是3,不合题意；

B.3矛+2二次项系数是3,不合题意；

C.尸-3*-x二次项系数是-3,符合题意；

D.y=x-3二次项系数是1,不合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是二次函数的定义.一般地，形如y=o?+初c+c（a、b、c是常数，aWO的函数，叫做二次函

数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

3.（2024•安徽初三期末）关于二次函数丁=2f+4%-1,下列说法正确的是（）

A.图像与y轴的交点坐标为（o/）B.图像的对称轴在y轴的右侧

c.当尤<o时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3

【答案】D

【解析】

,/y=2x2+4x-l=2（x+1）2-3,

当x=0时，y=-l,故选项A错误，

该函数的对称轴是直线x=T,故选项B错误，

当x<T时，y随x的增大而减小，故选项C错误，

当x=T时，y取得最小值，此时y=-3,故选项D正确，

故选D

点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解

答.

4.（2024•重庆中考真题）抛物线y=-3d+6x+2的对称轴是（）

A.直线尤=2B.直线x=—2C.直线x=lD.直线x=—1

【答案】C

【解析】

y——3%2+6x+2=—3（x—I）2+5,

抛物线顶点坐标为（1,5）,对称轴为x=l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质.抛物线y=a（x-丸）2+左的顶点坐标为（h,k）,对称轴为才=几

5.（2024•广西中考真题）如图，抛物线丁=以2+法+。的对称轴为直线x=l,则下列结论中，错误的

是（）

A.ac<0B.b1-4ac>0C.2a-b-QD.a-b+c=O

【答案】C

【解析】

A、由抛物线的开口向下知a<。，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c>o,因此。。<0,故本选项正

确，不符合题意;

B、由抛物线与X轴有两个交点，可得从-4ac>0,故本选项正确，不符合题意;

b

C、由对称轴为x=——=1,得2a=—b,即2。+/?=0,故本选项错误，符合题意;

2a

D、由对称轴为无=1及抛物线过(3,0),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(-1,0),所以a—3+c=0,

故本选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系.会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间

的转换，根的判别式的娴熟运用.

6.(2024•四川中考真题)在同一坐标系中，二次函数了=依2+汝与一次函数了=法一。的图像可能是

()

【答案】C

【解析】

y=ax"+bx„

解：由方程组得邳2=刃，

y=bx-a

：aWO

.,.x2=-l,该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，解除B.

A：二次函数开口向上，说明a>0,对称轴在y轴右侧，则b<0；但是一次函数b为一次项系数，图象显

示从左向右上升，b>0,两者冲突，故A错；

C：二次函数开口向上，说明a>0,对称轴在y轴右侧，则b<0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从

左向右下降，b<0,两者相符，故c正确；

D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错.

故选C.

【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必需明确二次函数的开口方向与a的正负的

关系，a,b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上.

7.（2024•西藏中考真题）把函数了=一］/的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数

1,

y=_3（x_l）+］的图象（）

A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位

【答案】C

【解析】

119

抛物线y=--x2的顶点坐标是（0,0）,抛物线线y=—5（x—1）+1的顶点坐标是（1,1）,

所以将顶点（0,0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1,1）,

119

即将函数y=-万f的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y=-1）+1的图象.

故选：C.

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，要求娴熟驾驭平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

8.（2024•重庆初三期末）如图是二次函数丫=a*^^+（:（a,b,c是常数，aWO）图象的一部分，与x轴

的交点A在点（2,0）和（3,0）之间，对称轴是x=l.对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；

④a+b2m（am+b）（m为实数）；⑤当-1VXV3时，y>0,其中正确的是（1）

【答案】A

【解析】

①：对称轴在y轴右侧，

a、b异号，

ab<0,故正确；

b

②对称轴x—..........=1,

2a

/.2a+b=0；故正确；

③・.・2a+b=0,

/.b=-2a,

;当x=-1时，y=a-b+cVO,

.*.a-(-2a)+c=3a+cV0,故错误;

④依据图示知，当m=l时，有最大值；

当m#l时，有am，bm+cWa+b+c,

所以a+b2m（am+b）（m为实数）.

故正确.

⑤如图，当-l<x<3时，y不只是大于0.

故错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是娴熟驾驭①二次项系数a确定

抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c确定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0,c）.

9.（2024•甘肃中考真题）二次函数丁=以2+法+。的图象如图所示，若〃=4a+2"N=a-》.则M、

N的大小关系为MN.（填“>”、"=”或“<”）

【解析】

当x=-l时，y=a-b+c>0,

当x=2时，y=4a+2b+c<0,

M—N=4a+2b—(a—b)

=4a+2Z?+c—(a—Z?+c)<0,

即V<N,

故答案为：<

【点睛】

本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，娴熟驾驭二次函数图像上点的坐标

满意二次函数解析式是解答本题的关键.

10.(2024•山东初三期末)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-必+法+c上两点，该抛物线的顶点

坐标是.

【答案】(1,4).

【解析】

试题分析：把A(0,3),B(2,3)代入抛物线)，=-/+bx+C可得b=2,c=3,所以

j=_x：+2x+3=-(x-D：+4，即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).

考点：抛物线的顶点.

11.(2024•四川初三月考)抛物线小c经过点A(-5,0),对称轴是直线x=-2,则a+Z^c=

【答案】0

【解析】

,抛物线y=ax+bx+c经过点A(-5,0),对称轴是直线x=-2,

，点/关于x=-2对称点的坐标为：(1,0)

...当x=l时，y=a+Z?+c=0,

故答案为0.

【点睛】

本题考查二次函数对称性，当x=l时，y=K加c,再依据二次函数上纵坐标一样的点关于对称轴对称求出

当x=l时，y=0o

12.(2024•北京市第六十六中学初三期中)已知：二次函数尸a/+Mc(aWO)中的x和y满意下表:

X・・・012345•・・

y・・・30-10m8・・・

(1)必的值为;

(2)抛物线尸a/+Z«+c的对称轴为

(3)这个二次函数的解析式为;

(4)当0VxV3时，则y的取值范围为.

【答案】(1)3；(2)直线x=2；(3)尸丁-4户3；(4)-lWy<3.

【解析】

(1)•.•点(0,3)关于直线x=2的对称点为(4,3),

m=3,

故答案为3；

(2)•.•由表中x、y的对应值可知，当x=l与x=3时y的值相等，

二对称轴是直线了=上n=2,

2

故答案为直线x=2；

(3),•抛物线的顶点为(2,-1),

二设解析式为尸a(x-2)'-I,

代入点(0,3)得，3=4a-1,

解得3—1,

二次函数的解析式为y=x-4x+3,

故答案为y=^2-4x+3；

(4)Va=l,顶点为(2,-1),如图所示，

由图象可知，当0<x<3时，则y的取值范围为-lWy<3

故答案为-lWy<3.

【点睛】

此题主要考查抛物线性质的综合应用，娴熟驾驭，即可解题.

13.(2024•山东初三期中)若二次函数y=2%2-4x—l的图象与x轴交于A(%,0),B(电，0)两点,

11

则一+—的值为_______

X]x2

【答案】-4

【解析】

设y=0,则2/—4x—1=0,二一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即再，%,

-4c1

=

••%+%----——2f一~

占+%2_2

11

—+—/x,_1＞故答案为：—4.

再X2-~2

【点睛】

hc

依据求根公式可得，若七，%是方程的两个实数根，则为+%=—-,为羽=—

aa

14.（2024•深圳试验学校初三月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,

水面宽度增加1

【答案】40-4

【解析】

建立平面直角坐标系，设横轴x通过48纵轴y通过中点。且通过C点，则通过画图可得知。为原点,

抛物线以y轴为对称轴，且经过48两点，以和神可求出为45的一半2米，抛物线顶点，坐标为（0,2）.

通过以上条件可设顶点式y^ax2+2,其中。可通过代入/点坐标(-2,0).

代入到抛物线解析式得出：a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,

当水面下降2米，通过抛物线在图上的视察可转化为：

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

—2=—0.5/+2,解得：x=±272,

所以水面宽度增加到4&米，比原先的宽度当然是增加了4亚-4.

故答案是：472-4,

【点睛】

考查了二次函数的应用，依据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.

15.(2024•合肥市第四十五中学初三期中)如图，从某建筑物9米高的窗口4处用水管向外喷水，喷出的

水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)，假如抛物线的最高点〃离墙1米，离地面12米，建立平面

直角坐标系，如图.

(2)求水流落地点6离墙的距离0B.

【答案】(1)y=-3/+6^+9；(2)3米.

【解析】

解：(1)依据题意，得/(0,9),顶点〃(1,12),

于是设抛物线解析式为尸a(x-1)z+12,

把/(0,9)代入，得9=a+12,解得a=-3,

所以抛物线的解析式为y=-3(x-1)2+12=-3*+6x+9.

答：抛物线的解析式为y=-3/+6X+9.

(2)当y=0时，0=-31+6£+9,解得不=3,xi=-1,

所以8(3,0).

答：水流落地点6离墙的距离OB为3米.

【点睛】

本题是二次函数的应用题，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题关键.

16.(2024•北京四中初三月考)运动员将小球沿与地面成肯定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件

下，小球的飞行高度力(就与它的飞行时间t(s)满意二次函数关系，方与人的几组对应值如下表所示.

tQs)00.511.52・・・

h(卬)08.751518.7520・・・

(1)求分与方之间的函数关系式(不要求写力的取值范围);

(2)求小球飞行3s时的高度；

(3)问：小球的飞行高度能否达到22勿？请说明理由.

【答案】(1)h=-5f+20t；(2)小球飞行3s时的高度为15米；(3)小球的飞行高度不能达到22加

【解析】

解：⑴时，h=Q,

...设方与t之间的函数关系式为(a#0),

时，力=15；方=2时，7?=20,

a+&=15

,

4a+28=20

.,"与力之间的函数关系式为h