2024年人教版八年级数学下册复习：平行四边形（含答案）

专题3平行四边形

题型归类举一反三

题型一平行四边形的性质与判定

例1如图，已知BD垂直平分AC于点E/BCD=^ADF,AF1AC.

(1)求证:四边形4BDF是平行四边形;

(2)若2F=DF=5,AD=6,求AC的长.

变式跟进

1.如图，在13aBe。中，点瓦F分别在边BC,上,若要使四边形MCE为平行四边形，需添加一个条件，这

个条件不可以是()

变式跟进1图

A.AF=CEB.AE=CF

C.乙BAE=乙FCDD.Z.BEA=乙FCE

2.如图，在日ZBCD中,BC=24B,E为BC的中点，则乙4ED=

3.[2022长沙模拟]如图，在四边形2BCD中,4C与BD相交于点。，且4。=C。,点E在BD上，满足

Z-EAO=Z-DCO.

(1)求证:四边形2ECD是平行四边形；

(2)若ZB=BC,CD=5,AC=8,求四边形2ECD的面积.

题型二矩形的性质与判定

例2如图，在中,DE平分NZDB,交于点E,BF平分ZCBD,交CD于点F.

(1)求证:△4DE三△CBF;

(2)当2。与BD满足什么数量关系时泗边形DEBF是矩形？请说明理由.

变式跟进

4.如图，在Rtz\4BC中/C=90。,4C=3,BC=4,P为边上任意一点(不包括端点)，PF14C于

点、F,PE1BC于点瓦则EF的最小值是.

C

5.[2024湘西模拟]如图，在回欧。。中,对角线4C与BD相交于点。,E,F分别为OB,。。的中点，延长ZE

至点G,使EG=2瓦连接CG.

G

(1)ABE=△CDF.

(2)当ZB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

6.如图,已知回2BCD的对角线2C与BD相交于点瓦G为2。的中点，连接CG,CG的延长线交的延长线

于点F,连接FD.

F

A\G力

(1)求证:

(2)若4G=AB/BCD=120。，判断四边形ZCDF的形状，并证明你的结论.

题型三菱形的性质与判定

例3[2024长沙模拟]如图，菱形ABCD的周长为8,对角线BD=2,瓦尸分别是边45,8上的两个动点,

且满足ZE+CF=2.

(1)求证:△BDE三△BCF;

(2)判断ABEF的形状，并说明理由.

变式跟进

7.如图，在四边形ZBCD中/B//DC/B=4。,对角线ZC,BD交于点O/C平分过点2作ZE1

CD交CD的延长线于点E.

(1)求证:四边形ZBCD是菱形；

(2)若ZB=V7,AC=4,则ZE的长为;

(3)在(2)的条件下，已知M是线段2C上的一点，且BM=2,求的长.

8.[2024哈尔滨]如图①，四边形4BCD的对角线2C,BD相交于点。,4D〃BC,0a=OC,AB=BC.

①②

(1)求证:四边形ABC。是菱形；

(2)如图②,2B=AC,CH1于点比交BD于点瓦连接Z瓦点G在ZB上，连接EG交AC于点F,若

NFEC=75。,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).

题型四正方形的性质与判定

例4如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧分别作等边△DBA、等边△EBC、等边△R4c.

E

(1)试说明四边形4FED是平行四边形.

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形2FED是矩形？并说明理由.

(3)当AZBC满足什么条件时泗边形2FED是正方形？并说明理由.

(4)当满足什么条件时,四边形ZFED不存在？并说明理由.

变式跟进

9.下列命题正确的是()

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10.如图，在Rt△ABC^,^BAC=90°,AD=CD,E是4C边的中点，连接DE并延长，与BC边相交于点

£曲/8。,交。后于点6,连接”£6.

(1)求证:=

(2)若ZB=2C,求证泗边形2FCG是正方形.

题型五矩形、菱形'正方形的综合

例5[2024长沙模拟]【课本再现】

在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.

A

(1)如图①，在13aBe。中,对角线ac与BD相交于点。，求证:O4=OC,OB=OD.

【知识应用】

(2)如图②，在△ABC中,P为BC的中点.延长ZB到点。，使得BD=2C,延长4C至U点瓦使得CE=AB,

连接DE,BE,若NBZC=60。,请你探究线段BE与线段4P之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明.

变式跟进

11.[2024娄底模拟]【综合与实践】

定义:对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图①所示的四边形2BCD是垂美四边形.

①②

【概念理解】

(1)在①正方形,②菱形，③矩形三个图形中，一定是垂美四边形的是—(填序号).

【性质探究】

(2)小明说:在如图①的垂美四边形ZBCD中/。2+雨2=.2+。。2.请你判断他的说法是否正

确？并说明理由.

【问题解决】

(3)如图②，分别以Rt2\4BC的直角边ZC和斜边2B为边向外作正方形4CFG和正方形ZBD瓦连接

CE交于点M,连接BG交CE于点N,连接GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

题型六与矩形、菱形'正方形有关的动态型问题

例6如图，在RtZkABC中,乙8=90°,AC=60cm,乙4=60。,点。从点C出发沿C2方向以4cm/s的速度

向点4匀速运动,同时点E从点4出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终

点时，另一个点也随之停止运动.设点运动的时间是ts.过点。作DF1BC于点尸，连接。瓦EF.

(1)求证弘E=DF.

(2)四边形ZEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t的值;如果不能,请说明理由.

（3）当t为何值时,△DEF为直角三角形？请说明理由.

变式跟进

12.[2022洪江模拟]如图,在梯形4BCD中=90°,AD=18cm,BC=30cm,动点P从点4

出发沿方向向点。以|cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点

P,Q分别从点2和点C同时出发，当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动，设点P的运动时间为ts.

（1）用含t的代数式表示:PD=cm,CQ-cm.

（2）当t为何值时,四边形PQCD是平行四边形？

（3）当t为何值时,四边形PQB4是矩形？

过关训练现复活用

A组•基础达标逐点击破

1.[2023大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若NBA。=a/CBE=0，则夕=（）

第1题图

A.45°+%B.45°+2aC.90°--aD.90°--a

2222

2.[2023兰州]如图,在矩形ABC。中,E为的延长线上一点尸为CE的中点，以点B为圆心,BF的长为

半径的圆弧过与CE的交点G,连接BG.若ZB=4,CE=10,则4G的长为（）

3.如图，在正方形ZBCD中，点E,F分别在CD,BC上，且BF=C瓦连接BE,”,则下列结论错误的是

（）

第3题图

A.LAFB+Z.BEC=90°B.AF1BE

C.^DAF=乙BECD.BE=AF

4.[2023青岛]如图，在正方形ABC。中,E,F分别是ZB,CD的中点,ZRDE相交于点M,G为BC上一点,N

为EG的中点.若BG=3,CG=1,则MN的长为（）

第4题图

A.V5B-?C.2D.手

5.[2023牡丹江]如图,在平面直角坐标系中，菱形2BCD的顶点4B在％轴上=2,a（l,0）/£MB=

60:将菱形ZBCD绕点2旋转90。后，得到菱形ZBCA，则点C1的坐标是

第5题图

6.[2023哈尔滨]如图，在正方形4BCD中，点E在CD上，连接2E,BE,F为BE的中点，连接CF,若CF=

手羲=|,则4E的长为

AD

第6题图

7.[2023怀化]如图,在矩形2BCD中，过对角线BD的中点。作BD的垂线EF,分别交2D,BC于点瓦凡

I-

AD

(1)求证:ABOF三△DOE;

(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.

B组•能力提升强化突破

8.[2024株洲模拟]综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动.

操作「如图①对折正方形纸片4BCD,使与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平;

操作二:在上选一点P,沿BP折叠，使点2落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接

(1)当点M在EF上时/MBC的度数是.

(2)如图②，改变点P在4。上的位置(点P不与点4。重合)，延长PM交CD于点Q,连接BQ.

①求证:PQ=4P+CQ;

②若正方形纸片2BCD的边长为8cm,CQ=1cm,求2P的长.

9.[2024衡阳模拟]定义:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角

形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.例如:如图①,四边形4EFD为菱

形/B2C与乙重合，点F在上，则称菱形2EFD为AZBC的“亲密菱形”.

如图②，在Rt/kZBC中/B=90。平分NBZC,交BC于点F,过点F作FD//aC,EF〃4B.

(1)求证:四边形4EFD为△ABC的“亲密菱形”；

(2)若ZC=12,CF=2连，求四边形2EFD的周长；

(3)如图③,M,N分别是DF/C的中点，连接MN,若MN=3,求4”十。尸的直

专题3平行四边形

题型归类举一反三

题型一平行四边形的性质与判定

【点悟】1.证明一个四边形是平行四边形的基本思路：

(1)若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等,或另一组对边平行；

(2)若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行,或另一组对边相等；

(3)若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.

2.解决与平行四边形的性质有关的问题：

(1)平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，这为计算边与角、

证明三角形全等提供了很多条件，因此，要灵活运用这些性质解题；

(2)在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用平行四边形的性质证明三角形全等

来解决.

例1(1)证明:•••BD垂直平分47,

AB=BC,AD=DC,

：.Z-BAC-/-BCA,Z-DAC-/.DCA,

乙BAC+Z-DAC-Z-BCA+/.DCA,

：.乙BAD-乙BCD.

•••乙BCD-Z.ADF,

：.乙BAD-/-ADF,

：.AB//FD.

•••BD1AC,AF1AC,

：.AF“BD.

四边形ZBDF是平行四边形.

(2)解:•.・四边形ZBDF是平行四边形,ZF=DF=5,

四边形4BDF为菱形.

:.AB—BD—5.

设BE=居则DE=5—%.

・••AC1BD,

：.AB2-BE2=AD2-DE2,

即52—%2=62—(5—久)2,解得力——

AE=7AB2-BE2=y,

48

・・・AC=2AE=竺.

5

变式跟进

1.B

2.90°

3.(1)证明:在△40E和△C。。中，

A.EAO=乙DCO,

AO=CO,

Z.AOE—乙COD,

:.ZAOE=△COD(ASA),

OD=OE.

又4。=CO,

四边形4ECD是平行四边形.

(2)解:；ZB=BC,AO=CO,

OB1AC,

：.平行四边形2ECD是菱形.

1

•••AC=8,.-.CO^-AC=4.

2

在Rt△COD中,OD=VCD2-CO2=V52-42=3,

DE=2OD=6,

11

S^AECD~2AC-DE--x8X6-24.

题型二矩形的性质与判定

【点悟】1.证明一个四边形是矩形的基本思路：

(1)若四边形(或可证明)为平行四边形，则可再证明一个角是直角或对角线相等；

(2)若四边形的直角较多，则可证明三个角是直角.

2.利用矩形的性质解题的基本思路：

(1)从角上看，矩形的四个角都是直角,可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决；

(2)从对角线上看，对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三

角形的问题去解决.

例2(1)证明：；四边形ABCD是平行四边形,AD//BC,AD=BC,^A=ZC,

:.Z-ADB-Z.CBD.

・••DE平分乙ADB,BF平分乙CBD,

UDE-Z.CBF.

za=zc,

在AaDE和ACBF中,AD=CB,

Z-ADE-Z.CBF,

.-.AADE=△CBF(ASA).

(2)解:当2。=B。时,四边形DEBF是矩形.理由如下：

ADE=△CBF,

DE=BF,AE=CF.

又；AB=CD,.-.BE=DF,

四边形DEBF是平行四边形.

••・AD=BDQE平分乙ADB,

:.DE1AB,

：.四边形DEBF是矩形.

变式跟进

4.2.4

5.(1)证明:••・四边形2BCD是平行四边形，

AB=CD,AB//CD,OB=0D,

/.ABE-乙CDF.

・•・瓦F分别为OB,。。的中点，

11

BE=：OB,DF=鼻。。，

BE=DF.

AB=CD,

在^ABE^^CDF中，NZBE=乙CDF,

BE=DF,

••△ABE=△CDF(SAS).

(2)解:当AC=2aB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:

■：AC=2OA,AC=2AB,

•■AB-OA.

•••E是OB的中点,AG1OB,

乙OEG=90°.

同理可证CF1OD.

：.AG//CF^EG//CF.

由(1)，得AABE=△CDF,

AE=CF.

••・EG=AE,.--EG=CF,

：.四边形EGCF是平行四边形.

・•・乙OEG=90°四边形EGCF是次巨形.

6.(1)证明:•••四边形2BCD为平行四边形，

BF//CD,AB=CD,

Z.FAD—Z-CDG.

•••G为2。的中点,AG=DG.

又•••^AGF=乙DGC,

AGF=ADGC(ASA),；.AF=CD.

又•••AB=CD,：.AB=AF.

(2)解:四边形4CDF为矩形.证明如下：

・••乙BCD=120°乙BAD=120°,

/.FAG=60°.

又•••AG=AB,AB=AF,.-.AG=AF,

为等边三角形,.•.AG=FG.

••・AF//CD,AF=CD,

：.四边形ZCDF为平行四边形，

AD=2AG,CF=2FG,

：.AD=CF,

平行四边形ACDF为矩形.

题型三菱形的性质与判定

【点悟】1.证明一个四边形是菱形的基本思路：

(1)若四边形(或可证)为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直；

(2)若四边形相等的边数较多(或容易证出)时,可证明四条边相等.

2.利用菱形的性质解题的基本思路：

(1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题

去解决；

(2)有一个内角为60。(或120。)的菱形，连接对角线可构成等边三角形,可将菱形问题转化为

等边三角形的问题去解决.

例3(1)证明:•.•菱形2BCD的周长为8,

AD—BC—AB—2.

BD=2,.'.ZB=2。=BD=2,BC=CD=BD=2,

.•.△4BD与△BCD都是等边三角形，

乙BDE="=60°.

••・AE+CF=2,AE+DE=2,

DE=CF.

(DE=CF,

在^BCF中,NBDE=ZC,

[BD=BC,

BDE=△BCF(SAS).

(2)解:ZkBEF是等边三角形.理由如下：

由(1)可知ABDE三ABCF,

BE=BF/DBE=乙CBF,

乙EBF=乙DBE+乙DBF=乙CBF+ADBF=乙DBC=60°,

.•.△BEF是等边三角形.

变式跟进

7.(1)证明:•.YB〃DC,

/.OAB-/.DCA.

•••2C平分ZB2。，

Z-OAB-乙EMC,

/.DCA-乙DAC,

••CD-AD-AB.

・•・AB//DC,

四边形ABC。是平行四边形.

,:AD-AB,

：.四边形ABC。是菱形.

(2)-V21

7

(3)解:；BM=2,OB=V3,

在Rt△MOB中,。M=VBM2-OB2=1.

当点M在线段。4上时,4M=。2—OM=2—1=1;

当点M在线段OC上时,=。2+OM=2+1=3.

・•・2M的长为1或3.

8.(1)证明:•.TD〃BC,

Z.ADO—Z-CBO.

Z.ADO=Z.CBO,

在△^。。和^CBO中,NZ。。=乙COB,

,OA=OC,

:.&ADO=△CBO(AAS),

:.OD—OB,

四边形2BCD是平行四边形.

••・AB=BC,

：.四边形2BCD是菱形.

(2)解:与线段CE相等的线段有:

题型四正方形的性质与判定

【点悟】证明一个四边形是正方形的一般步骤：

(1)先证明它是平行四边形；

(2)再证明有一组邻边相等(或一个角是直角)；

(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等).

例4(1)解：・.七。842k后8。公94。是等边三角形,.・.48=。8£。=8瓦4。=4£

乙ABD=乙EBC=60°,

Z-DBE-Z.ABC.

(DB=AB,

在ADBE和△ABC中,NDBE=^ABC,

[BE=BC,

DBE三△ABC(SAS),

DE=AC,.--DE=AF.

同理可得=EF,

四边形ZFED是平行四边形.

(2)当NBZC=150°时,四边形2FED是矩形.理由如下：

•••^DAF=360°一乙DAB-Z.BAC-^CAF=360°-60°-150°-60°=90°,

又；四边形2FED是平行四边形，

四边形2FED是矩形.

(3)当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时,四边形2FED是正方形.理由如下：

由(2)可知，当NBZC=150°时,四边形2FED是矩形.

AB-AC,.-.AD-AF,

：.四边形2FED是正方形.

(4)当NBZC=60°时,四边形2FED不存在.理由如下：

当NBZC=60°时/IMF=180°.

此时。,a,F三点在同一条直线上，以a,。,瓦F为顶点的四边形不存在.

变式跟进

9.C

10.(1)证明:••・=CD,E是ac边的中点，

DE12C,即DE是线段2C的垂直平分线，

AF=CF,

•■Z.FAC-Z.ACB.

在Rt△ABC中/BZC=90°,

ZB+^ACB=90°,^FAC+乙BAF=90°,

ZB=Z.BAF,.".AF—BF.

(2)••・AG//BC,：-^AGE=乙CFE.

又；E是AC边的中点，

AE=CE.

在△4后6和4CEF中，

Z-AGE=乙CFE,

^AEG=乙CEF,

AE=CE,

AEG=△CEF(AAS),.-.AG=CF.

XvAG//CF,.-.四边形4FCG是平行四边形.

vAF=CF,.-.四边形ZFCG是菱形.

在Rt△ABC中,ZF=CF,AF=BF,

BF=CF,

F是BC边的中点.

又•••ZB=AC,

AF1BC/AFC=90°,

四边形4FCG是正方形.

题型五矩形、菱形、正方形的综合

例5(1)证明:••・四边形4BCQ是平行四边形，

AD=BC,AD//BC,

••Z.OAD—Z-OCB,/LODA-Z.OBC,

OAD=△OCB(ASA),

OA=OC,OB=OD.

(2)解:BE=2ap.证明如下：

如答图，过点B作交DE于点“，连接

DHE

例5答图

乙DBH=Z.BAC=60°.

•••AB=CE,AC=BD,

AB+BDAC+CE,即2。=AE,

.•.△ZDE是等边三角形，

ZD=60°,DE=DA,

DBH是等边三角形，

BH=BD=DH,：-BH=AC.

又•••BH//AC,

：.四边形是平行四边形，

互相平分.

・•・P为BC的中点，

A,P,H三点共线,AH=2AP.

AD=ED,

在△4。”和^EDB中,乙。=ZD,

DH=DB,

ADH三△EDB(SAS),

BE=AH,.--BE=2AP.

变式跟进

11.(1)①②

(2)解:说法正确.理由如下：

设2C,BD相交于点。，图略.

••・四边形2BCD是垂美四边形，

AC1BD,

：.^AOD=AAOB=乙BOC=乙COD=90°,

由勾股定理，得ZD?+BC2=4。2+。。2+BQ2+C()2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)在正方形ZCFG中/。1G=90°,2G=2C,

在正方形ZBDE中=90°,AB=AE,：-^CAG=乙BAE=90°,

Z.CAG+Z.BAC-/.BAE+ABAC,

乙GAB—Z-CAE.

在XGAB^AG4E中,4G=AC,^GAB=^CAE,AB=AE,

GAB=△CAE(SAS),

Z.ABG-Z.AEC.

又；^AEC+^AME=90°,

乙BMC=^AME,

^ABG+乙BMC=90°乙BNM=90°,

CEJ.BG.

四边形CGEB是垂美四边形.

由(2)可知CG2+BE2=OB?+GE2,

•••AC=4MB=5,

CB2=9,CG2=32,BE2=50,

GE2=CG2+BE2-CB2=73,

GE=V73.

题型六与矩形、菱形、正方形有关的动态型问题

例6(1)证明:•••在Rt△ABC中=90°,

AC=60cm,z.71=60°,

・・.zC=90°-=30°.

vCD=4tcm,AE=2tcm,

且在Rt2kCD尸中/C=30°,

i_

.・.DF=-CD=2tcm,AAE=DF.

2

⑵解:由｛震霆［解得。〈tv”.

••・DF//AB,DF=AE,

：.四边形ZEFD是平行四边形.

当=4E时,四边形2EFD是菱形，

即60-4t=2t,解得t=10,符合题意，

.•.当t=10时,四边形4EFD是菱形.

(3)解:当"/或12时,ADEF是直角三角形.理由如下:

显然乙DFE中90°.

①当ZEDF=90。时,DE//BC.

乙ADE="=30°AD=2AE.

,:CD-4tcm,AE-2tcm,

:.AD-2AE-4tcm,

4t+4t=60,解得t—自，符合题意；

②当NDEF=90。时,DE1EF.

••・四边形2EFD是平行四边形，

AD//EF,：-DE1AD,

.•.△^。后是直角三角形/人。^=90°.

••・NZ=60°/LDEA=30°,

1

・・

.AD=2-AE.

vAD=AC-CD=(60—4t)cm,

AE=DF=2tcm,

60—4t=t,解得t=12,符合题意.

综上所述，当t的值为当或12时,ADEF是直角三角形.

变式跟进

12.(1)(18-|t);3t

(2)解:由题意知"18-1918,

10<3t<30,

解得0<t<10,

•••四边形PQCD为平行四边形，

PD=CQ,.-.18—|t=3t,解得t=4.

.•.当t=4时,四边形PQCD是平行四边形.

(3)♦.・四边形PQB4为矩形，

AP=BQ,：.|t=30-3t,解得t=y.

.•.当t=弓时,四边形PQB2是矩形.

过关训练现复活用

A组・基础达标逐点击破

1.D2.C3.A4.B

5.(1—遮,3)或(1+8,-3)

6.V34

7.(1)证明:•••四边形2BCD是矩形，

AD//BC,.--乙EDO=ZFBO.

•••点。是BD的中点,二DO=BO.

又,:Z.EOD—乙FOB,

BOF三△DOE(ASA).

(2)由(1)知ABOFN4DOE,

BF=DE.

••・四边形2BCD是矩形，

AD//B