2024年中考数学几何模型专练：三角形中的导角模型-平行线+拐点模型

专题06三角形中的导角模型-平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1:猪蹄模型（M型）

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；②己知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

如图3,已知：AM//BN,结论：ZPi+ZP3+...+ZP2n+1=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

例L（2022•河南洛阳•统考二模）如图，ABCD,ZABM=30°,NCDM=45°,则NBA0的度数为（）

A.105°B.90°C.75°D.70°

【答案】C

【分析】过点/作从而可得/W〃睦〃8,则有=NCDM=ZDME,即可求/BMD

的度数.

【详解】解：过点“作如图，

A..........

心?___后

C---------

AB//CD,AB//ME//CD,:.ZABM=ZBME=3Q°,ZCDM=ZDME=45°,

:.ZBMD=ZBME+ZDME=15°.故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

例2.（2023春•安徽蚌埠,九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物

线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线。B,OC反射后沿着与平行的方向射出，已知图中

ZABO=46°,ZOCD=88°,则/5OC的度数为（）

p\O

c>D

A.116°B.124°C.134°D.135°

【答案】C

【分析】由平行线的性质即可得出NBOP=46。，ZCOP=88°,再根据40。=/50尸+/。0尸即可求解.

【详解】由题意知加〃尸。〃8回4。尸=^^。=46°,ZC<9P=ZOCr>=88°

ElZBOC=ZBOP+ZCOP=134°：C.

【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.

例3.（2023春•四川泸州•七年级校考期末）如图所示，若AB0EF,用含々、尸、7的式子表示x，应为（）

A.a+/3+YB.P+y-aC.180°-a-y+/?D,180°+a+^-y

【答案】C

【分析】过C作CDE1AB,过M作MNI3EF,推出ABEICDOMNOEF,根据平行线的性质得出a+EIBCD=180。,

0DCM=0CMN,回NMF=7,求出自BCD=180°-a,0DCM=0CMN=/7,即可得出答案.

【详解】过C作CD0AB,过M作MN0EF,

EIAB0EF,0AB0CD0MN0EF,0a+0BCD=18O°,EIDCM=0CMN,0NMF=7,

fflBCD=180°-«,0DCM=0CMN=/?-/,0^=0BCD+0DCM=18O°-a-/+^,故选：C.

AB

D...一为C

M3-N

E_________法尸

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

例4.（2023,广东深圳,校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NC方E史=60。时，求出］此时上身A8与水平线的夹角的度数为（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【分析】延长AB交直线ED于点利用平行线的性质得出NCDE=NDH4=60。，再由两直线平行，内错

角相等即可得出结果.

【详解】解：延长A3交直线ED于点AH//CD,：.ZCDE=ZDHA=60°,

根据题意得村〃田，；./月钻=//电4=60。，故选：A.

【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

例5.（2023春•河南驻马店•九年级专题练习）己知A3〃CD,ZEAF=^ZEAB,NECF=；NECD,若

/E=66。，则NF为（）

CD

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EAB1ECD1AEC66°,同样的方法

27

可得NF=/FAB+/FCD,再根据角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.

【详解】如图，过点E作EG〃AB,则EG〃AB〃CD,

0?AEG彳^18,CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°,

同理可得：ZF^ZFAB+ZFCD,ZEAF=|ZEAB,ZECF=|ZECD,

22

团/FAB=-/EAB,ZFCD=-/ECD,

2229

\?F?FABIFCD不EABmECD-(?EAB1ECD)§?66鞍44,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例6.（2022•浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断

口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫"木尺断口问

题”.（1）如图（2）所示，已知A6//CD,请问B3,ND，ZE有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知A6//CD,请问B3,/E，ND又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知A5//CD,请问NE+NG与N3+N产+/£＞有何关系并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）NE=NB+/D,理由如下：

过点E作直线。〃AB,贝l|a〃A8〃CD,贝ZD=Z2,AZBED=Z1+Z2=ZB+ZD.

(2)Zf+ZB+ZD=360°,理由如下：

过点E作直线b〃4B,贝l|b〃ABN8+N3=180。，Z4+ZD=180°

ZB+Z3+Z4+ZD=360°即ZE+ZB+ZD=360°.

(3)ZB+ZF+ZD=ZE+ZG,理由如下：

过点E,F,G作直线c〃AB,d//AB,e//AB,贝l]c〃AB〃d〃e〃CD,

则NB=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

/.ZB+Z£re+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZBEF+ZFGD.

模型2：铅笔头模型

u亡

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3=360°；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,已知:AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=(〃一1)180°.

例L（2023广东•统考二模）如图所示，已知AB〃防，那么/54C+NACE+NCE尸=（）

A.180°B.270°C.360°D.540°

【答案】C

【分析】先根据平行线的性质得出NBAC+NACD=180。，NDCE+NCEF=180。,进而可得出结论.

【详解】过点C作CD〃EV,

ZBAC+ZACD=180°①,

QAB//EF,\AB//CD//EF,0_

ZDCE+ZCEF=180°②,

由①+②得，ZBAC+ZACD+ZDCE+ZCEF=360°,

即？fi4c?ACE?CEF360?.故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.

例2.（2023•山西吕梁・校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平

行•若4=32。，/2=62。，则/3的度数为（）

C.150°D.162°

【答案】C

【分析】过点3作创〃工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.

【详解】解：如图，过点8作54〃工作篮底部，.•.N3+NMB4=180。，

工作篮

,••工作篮底部与支撑平台平行，54〃工作篮底部.♦.54〃支撑平台，，//网=4=32。，

Z2=ZABN+ZMBA,/2=62°,/.ZA/BA=30°,.-.Z3=150o,故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记"两直线平行，内错角相等"、"两直线平行，同旁内角互补"是解题

的关键.

例3.（2023•河南三门峡•校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的"曲臂直杆道闸"，可抽象为图2所

示的数学图形.已知CD垂直地面上的直线。尸于点当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕

点C缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即A3始终平行于。尸）.在该运动过程中，当

NABC=112。时，ZBCD的度数是（）

图1图2

A.112°B.138°C.158°D.128°

【答案】C

【分析】如图所示，过点C作。0〃AB,利用平行线的性质得到

ZABC+ZBCM=1800,ZMCD+ZCDF=180°,进而求出N3CM=68。，NMCD=90。,则

Z.BCD=ZBCM+ZMCD=158°.

【详解】解:如图所示，过点C作CM〃AB,0OFAB,SCM//AB//DF,

ElZABC+ZBCM=180°,ZMCD+ZCDF=180°,

0ZABC=112°,8_1_0r即/0）尸=90°,回N3CM=68°,NMCD=90。，

0Z.BCD=ZBCM+ZMCD=158°,故选C.

A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例4.（2023春•新疆•七年级校考阶段练习）如图，如果A8〃C。，那么&8+团产+回£+&0=_。.

【答案】540

【分析】过点E作EM〃CD,过点F作FN〃CD,再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.

【详解】过点E作£M〃CD,过点尸作WV〃CD,如图，

CD

M--------------

N---------------

AB

^\AB//CD,EM//CD,FN//CD,^AB//FN,EM//FN,

00B+EIBF^18OO,SFEM+BEFN=180°,0D+EI£）EM=18O°,

^\DEF=^DEM+^\FEM,^BFE=^BFN+^EFN,

^B+^BFE+SDEF+W^B+SBFN+^FEM+^EFN+SD+^DEM^O0,故答案为：540.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线EM〃CD,FN//CD

是解答本题的关键.

例5.（2022春•河北保定•七年级校考期中）如图，已知A8〃AC，则ZA+/4+/&=,贝I

幺+幺+…+N4等于（用含”的式子表示）.

H

A.-------------------C

【答案】360。/360度(;i-l)-180°

【分析】过点4向右作过点4向右作4万〃42,得到&E〃&。〃,〃A3〃4C,根据两

直线平行同旁内角互补即可得出答案.

【详解】解：如图，过点4向右作人。〃48,过点4向右作

y-----------------B

..........................D

小I.................................E

A.---------------C

iaAB〃4C,0A3E//A,r)//...//A1B//A,C,

0/4+/44。=180°,Z£>^A3+Z^A3£=180°,…，

回幺+41AA+...+N4TAic=(〃—1”80。，

当〃=3时，ZA+Z4+ZA,=(3-1)-180°=360°故答案为：360°；(M-1)-180°.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键.

模型3：牛角模型

如图1,已知：AB//DE,结论：a^/3-y.

如图2,己知：AB//DE,结论：£=〃+/—180°.

例L（2023•安徽滁州,校联考二模）如图，若AB8,贝U（）

A./l=N2+/3B./1+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如图所示,过点E作砂〃居，则AB〃CD〃砂，由平行线的性质得到

Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,进一步推出Z1=N2+N3.

【详解】解：如图所示，过点E作

0ABCD,S\AB//CD//EF,EZ3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,

0ZAEF=180°-ZLZ3=180°-ZCEF=180°-Z2-ZAEF,

0Z3=180°-Z2-180°+Z1,0Z1=Z2+Z3,故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例2.（2023・江苏•七年级假期作业）如图，若ABHCD,贝！|回1+回3-回2的度数为

【答案】180。

【分析】延长EA交CD于点F,则有回2+回EFC=M,然后根据AB//CD可得回1=囱EFD,最后根据领补角及等量

代换可求解.

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：

ABIICD,.-.EIl^EFD,-02+EEFC=03,ZEFC=Z3-Z2,

,ZEFC+ZEFD=180°,Zl+Z3-Z2=180°；故答案为180。.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是

解题的关键

例3.（2022•湖北洪山•七年级期中）如图，已知4B〃C。，P为直线48,C。外一点，BF^ZABP,DE平

分/COP,BF的反向延长线交DE于点E,若NFED=a,试用a表示/P为.

【分析】根据角平分线的性质得出/1=N2,Z3=Z4,平行线的性质得出N1=N5,N6=/PDC=2/3,

进而根据三角形内角和得出/5、/FED,再得到N?和a的关系，然后即可用a表示4.

【详解】解：延长AB交PD于点G,延长FE交CD于点H,

平分/ABP,DE平分NCDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AB//CD,/.Z1=Z5,Z6=ZPDC=2Z3,

"：ZPBG=180°-2Z1,：.ZPBG=180°-2Z5,.,.Z5=90°-ZPBG,

VZFED=180°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3=180°,

180--Z5+1800-ZFED+Z3=180°,：.ZFED=180°-Z5+Z3,

AZFED=180°-(90°-yZPBG)+；/6=90°+；(ZPBG+Z6)=90°+；(180°-ZP)=180°-y

NP,:NFED=a,.*.0=180°-1ZPAZP=360°-2a.故答案为：ZP=360°-2a.

【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关

系是关键.

例4.(2023春•广东深圳•九年级校校考期中)已知直线筋〃CD,点尸为直线AB,CD所确定的平面内

的一点，⑴问题提出：如图1，ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度数:

(2)问题迁移：如图2,写出NAPC,NA,/C之间的数量关系，并说明理由:

⑶问题应用：如图3,NEAH:/HAB=1:3,ZECH=20°,

图1

3

【答案】(1)110°(2)ZAPC=ZA-ZC,理由见解析(3)^

【分析】(1)过点尸作易得AB〃PQ〃CD,由平行线的性质可得/AP0=6O。，ZCPQ=50°,

即可求出/APC；(2)过点尸作尸！2〃AB,易得AB〃PQ〃C。，根据平行线的性质可得NAPC=NA-NC；

(3)过点E作四〃Afi,过点”作m〃AB,易得CD,HN//CD,根据平行线的性质可得

/H

NCEA=NBAE—ZDCE,ZCHA=ZBAH-ZDCH再由已知等量代换，即可求得——的值.

9ZE

图3

ZA=120°,AZAPe=180o-ZA=180o-120o=60°,AB//CD,/.PQ//CD,ZC+ZCPQ=180°.

oo

ZC=130°,ZCP2=180-ZC=180°-130=50°,?.ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=60°+50°=110°;

(2)解：ZAPC=AA-Z,C,理由如下：

如图2,过点P作AZAPg=180°-ZA,ABCD,PQ//CD,ZCPQ=180°-ZC,

ZAPC=ZCPQ-ZAPQ,ZAPC=18O°-ZC-(18O°-ZA)=ZA-ZC；

(3)解：如图3,过点E作而〃AB,过点H作反V〃AB,

ABCD,EMCD,HN//CD,

ACEA=ZCEM-ZAEM=180°-ZDCE-(180°-/BAE)=ZBAE-NDCE,

ZCHA=ACHN-ZAHN=180°-NDCH-(180°-ZBAH)=Z.BAH-NDCH,

ZEAH-.ZHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,

ZCEA=ZBAE-ZDCE=4ZEAH-800,ZCHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

NCHA3N£4H-60°3(/EA"-20。)_3

"ZCEA~4ZEAH-80°~4(ZEAH-20°)"4'

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键.

例5.(2023•余干县八年级期末)已知直线AB〃CD,(1)如图1,直接写出NBME、/E、NEND的数量

关系为;(2)如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与NE之间

的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直线MB、ND交于点F,

nn

【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理,

角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

【详解】（1）如图1,VAB/7CD,/.ZEND=ZEFB,

E

EE

AGM

图1S3

VZEFB是AMEF的外角，，NE=/EFB-ZBME=ZEND-ZBME,

⑵如图2,：AB〃CD,.,.ZCNP=ZNGB,

VZNPM是AGPM的外角，NNPM=NNGB+/PMA=NCNP+NPMA,

：MQ平分NBME,PN平分/CNE,ZCNE=2ZCNP,ZFME=2ZBMQ=2ZPMA,

VAB//CD,NMFE=NCNE=2NCNP,「△EFM中，ZE+ZFME+ZMFE=180°,

ZE+2ZPMA+2ZCNP=180°,即/E+2(ZPMA+ZCNP)=180°,ZE+2ZNPM=180°；

(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于*H,

；AB〃CD,.，.ZCDG=ZAGE,:NABE是ABEG的外角,

/.ZE=ZABE-ZAGE=ZABE-ZCDE,①

VZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,AZABM=^—ZABE=ZCHB,ZCDN=^—ZCDE=ZFDH,

nnn+1n+l

VZCHB是ADFH的外角,

/.ZF=ZCHB-ZFDH=^—ZABE-ZCDE=^—(ZABE-ZCDE),②

H+1n+1n+1

1/Fi

由①代入②，可得NF二一-ZE,即大=-

〃+1/En+1

点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.

模型4：羊角模型

图1图2

如图1,已知：AB//DE,结论：a=y_B.

如图2,己知：AB//DE,结论：&+/7+/=180°.

例1.（2023春・上海•七年级专题练习）如图所示，ARSCD,ELE=37。，EIC=20",则I3EAB的度数为

【答案】57。

【分析】根据三角形内角和180。以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如

果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.

ffl£=37°,0C=20°,fflCFE=180o-37°-20°=123°,EBAPD=：L23°,

0AB0CD,E0AFD+0EAB=180°,0EEAB=18OO-123O=57O,故答案为：57°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键.

例2.（2022・江苏七年级期中）如图所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.则/C等于（）

【答案】B

【分析】根据AB〃CD,ZA=50°,所以/A=NAOC.又因为NC=NE,/AOC是外角，所以可求得NC.

【详解】解：：AB〃CD,/A=50。，...NA=NAOC（内错角相等），

又：NC=NE,/AOC是外角，；.^^=50。+2=25。.故选B.

BD

50°

例3.（2023春・浙江•七年级专题练习）已知AB〃CD,求证：

【答案】见解析

【分析】过点E作EF^CD,根据平行线的性质即可得出W=SBOD,根据平行线的性质即可得出回80。=&8即、

0D=EDEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作E/迥。，如图

EL4B0CD,00B=0BOD,HEfBCD（辅助线），

WOD=WEF（两直线平行，同位角相等）；SD=SDEF（两直线平行，内错角相等）；

00B£F=0B£Z）+0D£F=0B£r>+0D（等量代换），

盟8。。=贴+团。（等量代换），即EIB=EIE+I3D

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

例4.（2023•河南・统考三模）如图，已知AB〃OE,ZABC=150°,NCDE=75°,则/3CD的度数为（）

【答案】C

【分析】过点C作CF〃AB,则AB〃DE〃CF,根据平行线的性质可得到/BCF=NABC=150。,

/DCF=180°-NCDE=105°,即可求得/BCD=/3CF—NDb=45°.

【详解】如图，过点C作CF〃AB,ZDCF+ZCDE=180°

^AB//DE,CF//AB,BAB//DE//CF.

0ZBCF=ZABC=150°,.

0ZCDE=75°,0ZDCF=180°-75°=105°.

0/BCD=ZBCF-/DCF=150°—105。=45°.故选C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.

例5.（2023•河北沧州,校考模拟预测）如图，/A=58。，ND=122。，/I=3/2,/2=25°,点尸是8c上

一点.（1）/DEE的度数为;（2）若NBEP=50。.则CE与尸尸（填"平行"或"不平行"）.

【分析】（1）根据平分线的判定可得48CD,根据平行线的性质可得/D正的度数；

（2）根据对顶角相等可得/CEP的度数，根据平分线的判定可得CE〃抒

【详解】解：（1）回/4=58°,ZD=122°,0ZA+Zr>=180°,0ABCD,

0Z1=3Z2,/2=25°,0/1=75°,0ZDFE=Z1=75°；故答案为：75°.

（2）EIZDFE=75°,0ZCFB=75°,

0ZBFP=50°,EINCFP=25°,IBNCFP=N2,SCE//PF.故答案为：平行.

【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

BB

图1图2

如图1,已知：AB//DE,结论：&=力+180°—/.

如图2,己知：AB//DE,结论：«=/+180°-/?.

例L（2023,四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过3、C、D三点、,拐弯后与原来方向相同,

如图，若Z4BC=120。，ZBCD=80°,则/CDE等于（）

【答案】D

【分析】过点C作CF〃AB,根据平行线的性质即可求出NCDE的度数.

【详解】解：过点C作CF〃AB,0ZABC+ZBCF=180°,

0ZABC=120°,0NBCF=180°-ZABC=180°—120°=60°；

0/BCD=80°,EZDCF=80°-NBCF=80°-60°=20°；

由题意0CF/7DE,团NCDE=NDCF=20。.故选：D

【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

例2.（2023•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若A3〃CD,/a=65。,Nr=25。，则”的度数是（）

B

A.115°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】利用平行线的传递性作出辅助线E尸，再通过平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：过E作的平行线ER,如图所示；

ZAEF=180°-/a=180°-65°=115°,AB//CD^\EF//CD,2FED=Ny=25°

Z/7=ZAEF+ZFED=115°+25°=140°故选c.

【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据

传递性做出辅助线是解决问题的关键.

例3.（2023・河南周口•校联考三模）如图，AB//EF,ZB=100°,NC/宏=25。，则/3CD的度数是（）

A.125°B.75°C.95°D.105°

【答案】D

【分析】作CG〃EF,则CG〃AB〃EF,根据平行线的性质分别求出/GCD和/BCG,则N3CO

=ZGCD+ZBCG=105°.

【详解】解：如图，作CG〃EF,则CG〃钙〃EF,

F.DF

CG//EF,：.ZGCD=ZCDE=25°,CG//AB,ZB+ZBCG=180°,

ZBCG=180°-ZB=180°-100°-80°,

/BCD=ZGCD+ZBCG=25°+80°=105°故选D.

【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线.

例4.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，ABCD,CD//EF,CE平分ZBCD,若NABC=58。，则/CEP

的度数为（）

A.131°B.141°C.151°D.161°

【答案】C

【分析】由平行线的性质可知ZBCD=ZABC=58°,NCEF+ZDCE=180。.再由角平分线的定义即可求解.

【详解】回ABCD,国/BCD=/ABC=58°.EICE平分ZBCD,EZDCE=-ZBCD=29°.

2

SCD//EF,ElZCEF+ZDCE=180°,0Z.CEF=180°-ZDCE=151°.故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义.利用数形结合的思想是解题关键.

例5.（2023,江西•九年级校考阶段练习）如图/R4c=10。，NACD=125。，CD_LEF于点、D,将A3绕点A

逆时针旋转"，使AB〃EF,则”的最小值为

【分析】过点C作。W〃£F,过点A作4笈〃历，利用平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图，过点C作CM〃防，则NMCD=180。-NC7定=90。，

0ZACM=ZACD-ZMCD=35°.过点A作〃跳则/B'AC=NACM=35°.

团NBAS'=35。-10。=25。，故”的最小值为25。.故答案为：25。

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的

关键.

课后专项训练

1.（2023•山东临沂・统考二模）如图，a//b,Zl=45°,则N2的度数为（）

C.135°D.145°

【答案】C

【分析】先根据平行线的性质可得/3=4=45。，再根据邻补角的定义即可得.

【详解】解：如图，。〃6,/1=45。，,/3=/1=45。,

•.Z2=180°-Z3=135°,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

2.（2023春•安徽,九年级专题练习）如图，己知：AB//EF,ZB=NE,求证：BC//DE.在证明该结论

时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）

A.延长BC交压的延长线于点G

B.连接班■

C.分别作ZBCD,NCDE的平分线CG,DH

D.过点C作CG〃AB（点G在点C左侧）,过点D作DH〃EF（点H在点。左侧）

【答案】C

【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可.

【详解】解：A、如图，E1AB//EF,El/B=/G,

团NB=NDEF,旦/G=NDEF,0BC〃DE,故此选项不符合题意；

SZABC=ZFED,©NCBE=NDEB,^BC//DE,故此选项不符合题意;

C、如图，由CG平分ZBCD,DH平分NCDE,

没有条件说明NBCD与/CDE相等，也没有条件说明CG与平行,

回此辅助线的作法不能说明BC与DE平行，故此选项符合题意;

D、如图，延长BC交于点A/,^\AB//EF,CG//AB,DH//EF,

SAB//CG//DH//EF,@NB=NBMD,ZMDE=NE,

BZB=ZE,0NBMD=NMDE,SBC//DE,故此选项不符合题意.故选：C.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论.掌握平行线的判定和性质是

解题的关键.

3.（2023•浙江台州・统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若4=30。，

/2=50。，则/3的度数为（）.

A.130°B.140°C.150°D.160°

【答案】D

【分析】过N2顶点作直线/支撑平台，直线/将N2分成两个角即N4、Z5,

根据平行线的性质即可求解.

【详解】如图所示，过N2顶点作直线/「支撑平台，直线/将N2分成两个角即N4、Z5

团工作篮底部与支撑平台平行、直线分/支撑平台

回直线I/支撑平台，工作篮底部回Z1=Z4=30°、Z5+Z3=180°

!3N4+Z5=N2=50°l2Z5=50°-N4=20°l2Z3=180°-N5=160°故选D.

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.

4.（2023•江苏,八年级假期作业）如图，两直线A3、平行，贝1|Nl+/2+N3+N4+/5+/6=（）.

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点/点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

贝l]Nl+/2+/3+N4+/5+N6=18Ox5=9OO.故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

5.（2023・辽宁抚顺•统考三模）如图，若AB〃CD〃EF,4=15。，Z2=60°,那么ZBCE=（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】D

【分析】根据平行线的性质分别求出/BCD、NECD的度数即可得到答案.

【详解】解：^\AB//CD//EF,Z1=15°,Z2=60°,

I3ZBCE>=Z1=15O,ZECD=180°-Z2=120°,

0ZBCE=ZBCD+ZECD=135°,故选D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键.

6.（2022•安徽芜湖•七年级期中）如图，ABS\CD,分别平分0A8E和EICDE,BF^DE,国尸与0A2E互

补，贝帆尸的度数为

FE

A.30°B.35°C.36°D.45°

【答案】C

【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.

【详解】解：如图延长BG交CD于G

fflBFEIEDEEIF=EIEDFX0DF平分OCDE,SECDE=2SF,

0BF0ED0EICGF=0EDF=2[3F,0ABaCD00ABF=[2CGF=2[3F,

0BF平分EL48£H0A8E=20ABF=4I3凡

又EHF与0A8E互补EBF+0ABE=：L8O°即50F=18O°,解得EIF=36°故答案选C.

【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.

7.（2023•内蒙古呼伦贝尔•统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中A5CD,4=24。，Z3=148°,

则N2的度数为（）

A.56B.66C.98D.104

【答案】A

【分析】如图，在N2处作EF〃AB〃CD,根据平行线的性质可得N3HE+NHEF=180。，NFED=N1,由

对顶角相等可得NBHE=N3,根据N2=NHEF+/R⑦计算求解即可.

【详解】解：如图，在N2处作EF〃的〃CD,

G

H~B

D

田EF〃AB,国/BHE+NHEF=180。,

田EFCD,BlZFED^Zl,RNBHE=N3,

0Z2=ZHEF+ZFED=180°-ZBHE+Z1=180°-Z3+Z1=56°,故选：A.

【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.

8.（2023春•重庆江津•七年级校联考期中）如图，AB//CD,^ABE=^EBF,SDCE=-SECF,设HABE

23

=a,EIE=£,EIF=y,则a,/?,y的数量关系是（）

A.4£-a+y=360°B.3£-a+y=360°C.4^-a-7=360°D.3/3-2a-y=360°

【答案】A

【分析】过E作EN01B,过尸作FQ/7AB,根据已知条件得出0A*'=3a,EZ>CF=4EECD,求出

AB〃FQ〃CD,根据平行线的性质得出EA8E=E!BEN=a,SECD^SCEN,0A8F+勖FQ=180°,SDCF+BCFQ

=180°,求出a+EIECD=G，3a+v+4!3OCE=360°,再求出答案即可.

【详解】解：过£作硒〃48,过P作尸。〃48,

00ABE=yEI£BF,0DCE=-SiECF,0ABE=a,00ABF=3a,0DCF=40ECD,

23

朝〃CD,芯B〃EN〃CD,AB〃FQ〃CD,

^\ABE=^\BEN=af回EC£>=团CEN,^1ABF^BFQ=180°,回。CF+团C尸。=180°,

^\ABE^ECD=^1BEN^CEN=^\BEC,团ABF+团BFQ+团CFQ+团DCF=180°+180°=360°,

BPa+回EC£)=B，3a+v+4l?]Z)CE,=360°,S0ECD=P-a,

团3a+y+4(B—a)=360°,即40-a+v=360°,故选A.

B

a

E号

D

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

9.（2022•江苏七年级期末）如图，AB//CD,则N1+N3—N2的度数等于

【答案】180°.

【解析】解：,：AB//CD：.Z1=ZEFD

VZ2+Z£FC=Z3,/£FD=180°-NEFC，/1+/3—/2=180°故答案为：180°.

10.（2023•湖南长沙,校联考二模）如图所示，AB//DE,4=130。，N2=36。，贝”3=—度.

【分析】过点C作A3的平行线CF,根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：如图，过点C作A5的平行线C尸,

AB//DE,AB//CF,AB//CF//DE,.-.Zl+ZBCF=180o,Z2=ZFCD,

4=130°,N2=36°,ZBCF=180°-Zl=180°-130°=50°,NFCD=36°,

Z3=ZBCF+ZFCD=50°+36°=86°,故答案为：86.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点C处构造出一条平行线.

11.(2022・四川成都•七年级期末)已知直线AB〃Z)E,射线即、DG分别平分，ABC,ZEDC,两射线

反向延长线交于点H,请写出NH,NC之间的数量关系：.

【答案】2/"+NC=180。

【分析】分别过点C,H作肱V〃AB,尸。〃48,根据AB〃DE,可得MV〃AB〃OE〃尸Q,根据平行

线性质可得NABC+/BCM=180。，ZABF^ZPHF,根据角平分线定义可得，进而证出

2NPHF+NBCM=180°,同理2NQHG+/DCN=180。，根据平角定义可得/PHF+NQHG=18(r-NFXG,

ZBCM+Z.DCN=180°-ZBCD,由此证出2(NPHF+NQHG)+(/3CM+"aV)=360。，进而证出结论.

【详解】分别过点C，H作MNZMB,PQ//AB

回MN//AB,国ZABC+ZBCM=180°团射线所平分ZABCEZABC=2ZABF

SPQ//ABSZABF=NPHF02/PHF+ZBCM=180°

团Afi〃DE回MN//DE0NEDC+ZDCN=180°

回射线DG平分ZEOC0/DEC=2ZDEG

SMN//AB