2024年中考数学题型突破：二次函数与角度有关的问题12题（专项训练）

题型九二次函数综合题

类型四二次函数与角度有关的问题(专题训练)

4

1.(2023・四川自贡・统考中考真题)如图，抛物线y=尤2+陵+4与无轴交于4-3,0),3两

点，与>轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及C两点坐标；

(2)以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为丁=-32-gx+4,3(1,0),0(0,4)；(2)D(-2,T)或O(T,4)

或0(4,4)；(3)5^-1,

【分析】(1)将点A(T,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令无,y=0,

即可求得民C两点的坐标；

(2)分三种情况讨论，当A3,AC,为对角线时，根据中点坐标即可求解；

(3)根据题意，作出图形，作AGLCE交于点G,尸为AC的中点，连接GO,GF,则A,O,C,G

在。F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出6在》=-％上，进而勾股定理，根据bG=g建

立方程，求得点G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】(1)解：：抛物线y==/+bx+4与x轴交于A(-3,0),

4

・•・-§x(-3)9-3b+4=0

Q

解得：b=—.

48

・•・抛物线解析式为y=-1X2-|X+4,

当％=0时，y=4,

C（0,4）,

48

当y=O时，0=——x2——x+4

33

解得：x,=-3,X2=1,

：.B(l,0)

（2）VA（-3,0）,B（l,0）,C（0,4）,

设,

..•以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

当回为对角线时，胃=¥¥=2±2

2222

解得：m=-29n=-4,

・・・。(-2T)；

-3+01+m4+0_0+〃

当AC为对角线时,

2~22-2

解得：m=-4,n=4

•••4）

-3+m_0+10+40+〃

当BC为对角线时,

22~2

解得：m=4,n=4

：.0（4,4）

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，。(-2,-4)或。(<4)或。(4,4)

(3)解：如图所示，作AGLCE交于点G,尸为AC的中点，连接G0GF,

..•△AGC是等腰直角三角形，

，A,O,C,G在。」上,

VA（-3,0）,C（0,4）,

/[-Ta]'AC=ylAO2+CO2=5>

GF=-AC=-

22

,?ZAOG=ZACG=45°,

G在y=-x上，

设G（/,T）,贝IJGV=[/+：]+（--2）2

7

解得：「-展/2=。(舍去)

77

二点G

设直线CG的解析式为y=kx+4

77

・•・一=——左+4

22

解得：笈=;.

，直线CG的解析式y=；x+4

VA（-3,0）,3（1,0）,

抛物线对称轴为直线x=U=T,

177

当尸-1时，-x(-l)+4=—,

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周

角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

2.已知抛物线丁=。/+法—3与X轴相交于4—1,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,点

N(〃,0)是x轴上的动点.

图I

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若〃<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线于点G.过点P

作PD,5c于点D,当n为何值时，&PDGABNG；

(3)如图2,将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段OC的中点，然后将它向

上平移三3个单位长度，得到直线。耳.

2

(1)tanZBOBl-；

②当点N关于直线OB】的对称点凹落在抛物线上时，求点N的坐标.

【答案】⑴y一炉―2%—3；(2)”=枝；(3①3325+：而,0)或(25-：而,0)

【分析】

(1)根据点A,3的坐标，利用待定系数法即可得；

(2)先根据抛物线的解析式可得点C,P的坐标，再利用待定系数法可得直线BC的解析式，

从而可得点G的坐标，然后分别求出PG,BG的长，最后根据全等三角形的性质可得

PG=BG,由此建立方程求解即可得；

(3)①先利用待定系数法求出直线3。的解析式，再根据平移的性质可得直线。用的解析

式，从而可得点E的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；

②先求出直线NN】的解析式，再与直线。及的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得

点Ni的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得.

【详解】

[a—b—3=0

解：⑴将点4-1,0),8(3,0)代入丁=加+法—3得：'十"八，

9a+3b-3=Q

a=l

解得＜C，

b=-2

则抛物线的解析式为y=/-2x-3；

(2)由题意得：点尸的坐标为P(〃,1—2〃—3),

对于二次函数y=d—2x—3,

当x=0时，y=—3,即C(0,—3),

设直线BC的解析式为y^kx+c,

3kc——0k—1

将点3(3,0),C(0,—3)代入得：-,解得",

c=-31c=-3

则直线BC的解析式为y=尤—3,

/.G(〃,〃一3),

PG=n—3—{n2—2n_3)=-n2+3n,BG——3)2+(n—3)2=(3—M)A/2，

\-APDG=ABNG,

:.PG=BG,即一+3〃=(3—九),

解得〃=或〃=3(与〃v3不符，舍去)，

故当〃=夜时，APDG三通NG；

(3)①如图，设线段OC的中点为点。，过点6作4轴的垂线，交直线。用于点£,

3

则点。的坐标为。(0,—-)，点£的横坐标为3,

2

设直线BD的解析式为y=kox+cQ,

一f1

3左0+=0%=一

将点3(3,0),。(0,—3)代入得：[3，解得I2

2Co=-T

I2c—

13

则直线BD的解析式为y=

由平移的性质得：直线。用的解析式为y=

33

当x=3时，y=-.即E(3,g),

3

:.OB=3,BE=-,

2

BF1

tanZBOR=——=-,

1OB2

故答案为：—'；

2

②由题意得：NNJOB],

则设直线NN】的解析式为y=-2x+c1；

将点N(〃,0)代入得：—2“+。=0,解得G=2",

则直线NN】的解析式为y=—2x+2〃，

y=-2x+Inx=­n

-5

联立〈1，解得《；，

y=—x2

I2=

42

即直线NN1与直线。耳的交点坐标为（y/7,-M）,

设点M的坐标为M（sJ）,

s+n43

=­ns=­n

25534

则，解得《,即N[(—n,—n),

/+024

---=—nt=­n

[255

343c34

将点乂(二凡《〃)代入,二%2-2%一3得：(―n)-2x—n-3=—n,

整理得：9/—50〃-75=0,

解得”巴。西或”25-1。/,

99

则点N的坐标为J5+：巧,0）或（25—；而，0）

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练

掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.

3.（2023•全国•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）=-/+2%+。经过点

AQD.点P,。在此抛物线上，其横坐标分别为九（机＞0）,连接AP,AQ.

（1）求此抛物线的解析式.

⑵当点。与此抛物线的顶点重合时，求机的值.

⑶当ZPAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差.

（4）设此抛物线在点A与点尸之间部分（包括点A和点尸）的最高点与最低点的纵坐标的差为

%,在点A与点。之间部分(包括点A和点。)的最高点与最低点的纵坐标的差为为.当

生-4=7〃时，直接写出加的值.

【答案Xl)y=f2+2x+l；⑵%=g；(3)点P与点。的纵坐标的差为1或8；(4)机=；或加=:

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点。的横坐标为2根，即可求解；

(3)分AQ〃x轴时，AP〃x轴时分别根据抛物线的对称性求得Q的横坐标与P的横坐标，

进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；

(4)分四种情况讨论，①如图所示，当P,。都在对称轴尤=1的左侧时，当尸,。在对称轴两

侧时，当点P在尤=1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得九，%,根据也-4=，〃建

立方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：,••抛物线外=「#+物+C经过点40,1).

/.C=1

抛物线解析式为y=-x2+2x+l；

(2)解：：丫=-尤2+2.》+1=—(x—iy+2,

顶点坐标为。,2),

..•点。与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2〃z

2m=1,

解得：加=;;

(3)①AQ〃无轴时，点A,Q关于对称轴尤=1对称，

xQ=2m=2,

Am=l,贝!J-F+2xl+l=2,-22+2X2+1=1，

AP(l,2),Q(2,1)

.•.点尸与点Q的纵坐标的差为2-1=1；

②当AP〃x轴时，则A,P关于直线x=l对称，

xp=m=2,xQ=2m=4

则4+2X4+1=-7

P(2,l),2(4,-7)；

•••点尸与点Q的纵坐标的差为1-(-7)=8；

综上所述，点P与点。的纵坐标的差为1或8；

(4)①如图所示，当P，。都在对称轴x=l的左侧时,

0<m<—

2

P{jn,-m2+2m+1）,Q（2加，一（2小了+2（2m）+1）即Q（2机,-4加之+4加+1）

**•4=>尸一=（一加2+2根+1）—1=-m2+2m;

22

h2=yQ-yA=-4m+4m+l—1=-4m+4m

<4一匕=机

-4m2+4m+m2-2m=m

解得："Z=g或〃Z=O（舍去）；

②当P,。在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，

则4=—m2+2m,b=2—1=1,

1+m2-2m=m，

解得：叫呼（舍去）或Y（舍去）;

4m2-4m+l-l=m

解得：m=1■或旭=0（舍去）；

4

④当p在直线y=i上或下方时，即"叱2,

伪=2—（-4m2+4m+l）=4m2—4m+l,

/.4m2—4m+l—（m2—2m+l）=m

解得：m=l（舍去）或根=0（舍去）

综上所述，根=：或根=鼻.

34

【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的

性质是解题的关键.

4.二次函数,=加+/7%+4（"0）的图象经过点4一4,0）,5（1,0）,与y轴交于点C,点P

为第二象限内抛物线上一点，连接的、AC,交于点Q,过点P作尸轴于点D.

y

M

(i)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当NDPB=2NBCO时,求直线8P的表达式；

(3)请判断：笑是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

1515P04

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)y=——x+—；(3)请■有最大值为一，P点坐

88QB5

标为(—2,6)

【分析】

(1)将A(—4,0),8(1,0)代入y=ox2+6x+4(aw0)中，列出关于a、b的二元一次方程

组，求出a、b的值即可；

(2)设8P与y轴交于点E,根据尸。//y轴可知，ZDPB=ZOEB,当ZDPB=2ZBCO,

即/OEB=2NBCO,由此推断AOEB为等腰三角形，设OE=a,则CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0^2+032,解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP

的函数解析式即可；

(3)设与AC交于点N,过B作y轴的平行线与AC相交于点M.由A、C两点坐标可

得AC所在直线表达式，求得M点坐标，则9=5,由BMI/PN,可得

△PNQsABMQ,^=—=—,设3%+4)(_4<%<0),则

N(a。,a。+4)”=W；—3a。+4—(a。+4)=幺二也=一(……,根据二次函数

QB555

性质求解即可.

【详解】

解：(1)由题意可得:

。.（田+力㈠中二。

a+b+4=0

CL——1

解得：《

b=-3'

，二次函数的表达式为y=—炉—3x+4；

（2）设3P与y轴交于点E,

PD//y轴，

：.ZDPB=ZOEB,

■:NDPB=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,

ZECB=ZEBC,

BE=CE,设OE—a，

则CE=4—a,.'.BE=4--a>

在RIABOE中，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.•.(4-a)2=/+俨

解得a=--,

8

设BE所在直线表达式为y=依+e（左，0）

15

,c15

左■0+e=—,~~8

8解得＜

15

左•l+e=O.

I-'

**•直线BP的表达式为y=----xH—.

88

(3)设。。与AC交于点N.

过B作y轴的平行线与AC相交于点M.

由A、C两点坐标分别为(-4,0),(0,4)

可得AC所在直线表达式为y=x+4

...M点坐标为(1,5),BM=5

由BM//PN，可得APNQS^BMQ,

.PQPNPN

QB~BM~5

设P(a。,—UQ—3ao+4)(—4<tz0<0),则N(%,4+4)

.PQ—q；—3ao+4—(a。+4)—a；—4ao—(4+2)~+4

5—5—5

PO

.•.当/=—2时，=•有最大值0.8,

QB

此时P点坐标为(一2,6).

【点睛】

本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定

理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，

难度较大，属于中考压轴题.

5.（2023•浙江金华・统考中考真题）如图，直线y=+石与x轴，V轴分别交于点A3,

2

抛物线的顶点尸在直线48上，与x轴的交点为C,。，其中点C的坐标为（2,0）.直线与

直线BD相交于点E.

⑴如图2,若抛物线经过原点。.

①求该抛物线的函数表达式；②求黑的值.

⑵连接PCNCPE与/BAO能否相等？若能，求符合条件的点夕的横坐标；若不能，试说明

理由.

【答案】（1）①y=-主6/+3&x；②：；（2）能，6或"I或一,或一:.

233/3

【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

②过点E作硝，OC于点设直线5<7为〉=区+石，把C（2,0）代入，得0=2左+6,

解得上=-1,直线8。为）；=一或x+班.同理，直线02为）；=36^.联立两直线解析

22

式得出£，根据团〃30,由平行线分线段成比例即可求解;

、

（2）设点尸的坐标为t+45,则点。的坐标为（2—2,0）.①如图2-1,当t>2时,

7

存在NCPE=ZBAO.记/。P£=/区4。=%//炉。=力，则NAPD=a+〃.过点p作DF_Lx

AF2

轴于点八则"=，+2.在口3厂中，3,。=”〕进而得出点尸的横坐标为6功

如图2-2,当0＜，42时，存在/CPE=/B4O.记NCPE=/BAD=a,NAPD=0.过点尸作

AF2

轴于点尸，贝！］AF=，+2.在RJAP/中，cosZBAO=得出点尸的横坐标

2T.7J

为③如图2—3,当一2</40时，存在/CPE=ZBAO.记/54。=1.过点尸作PELx

轴于点/，则AF=f+2.在RJAP尸中，f=cosNBAO=g,得出点尸的横坐标为④

如图2-4,当f4-2时，存在NCPE=NBAO.记/R4O=c.过点P作尸尸轴于点尸，

AF214

则A尸=T—2.在Rt~4P产中，—=cosZPAF=-,得出点尸的横坐标为一三.

【详解】(1)解：@vOC=2,

.♦•顶点P的横坐标为1.

・•・当尤=i时，y=%+乒与

•*•点p的坐标是

设抛物线的函数表达式为y=q(x-+半，把(0,0)代入,

得0=a+§君,

2

解得”-地.

2

，该抛物线的函数表达式为y=-竽(x-1)z+警，

即》=一孚一+3/龙.

②如图1,过点后作后“，。。于点

图1

设直线BC为丁=丘+正，把C(2,0)代入，得0=2k+石,

解得『好，

2

二直线BC为y=力x+布.

2

同理，直线。尸为丁=述元.

2

y=一与x+a,

1

九一2’

解得.

113

：.0H=-,HC=2——

222

EH//BO,

.BEOH_1

**EC-HC-3,

（2）设点尸的坐标为卜手f+指］,则点。的坐标为（2—2,0）.

①如图2—1,当，＞2时，存在NCPE=NBAO.

iBZCPE=ZBAO=a,ZAPC=p,贝iJZAPO=a+〃.

••,―PCD为△以。的外角,

.・・APCD=a+（3.

,.・PC=PD.

：.ZPDC=/PCD=a+p.

JZAPD=ZADP.

：.AP=AD=2t.

过点P作尸尸，x轴于点尸，则A尸=/+2.

AF2

在Rt^APF中，cosZBAO=——=-,

AP3

~~~=~，解得t=6.

2t3

.♦•点P的横坐标为6.

记NC尸石=NBA。=a,NAP。=/?.

・・・N?。。为△丛□的外角，

:./PDC=oc+/3.

:./PCD=/PDC=a+/3

:.ZAPC=ZACP.

：.AP=AC=4.

过点尸作夕方_Lx轴于点/，则AF=1+2.

AF2

在RSAP/中，cosZBAO=——=-,

AP3

1+222

:•丁="解得七•

图2-2

③如图2-3,当一2＜七。时，存在NCPE=ZBAO.记N84O=a.

■:PC=PD,

：.ZPDC=ZPCD=-ZCPE=-a.

22

・,.ZAPD=ZBAO-ZPDC=a--=-a.

22

：.ZAPD=ZPDA.

：.AD=AP=-2t.

过点P作尸厂JLx轴于点尸，则A尸=，+2.

,.,AF_2

在Rt&4P歹中，——=cosZBAO=-

AP3f

./+22々刀,日6

・・一丁=—,解得t---•

-It37

・••点P的横坐标为-1'.

④如图2-4,当他一2时，存在NCPE=NR4O.记NBAO=a.

,:PC=PD,

：.ZPCD=ZPDC=-ZCPE=-a.

22

图2-4

ZAPC=ZBAO-ZPCD=a--a=-a.

22

：.PA=CA=4.

过点。作户方，1轴于点尸，贝IJA尸=T—2.

AF2

在Rt^AP尸中，——=cosZPAF=-,

AP3

点P的横坐标为-■—.

综上，点尸的横坐标为6。,-，-弓.

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以

上知识，分类讨论是解题的关键.

6.如图，抛物线y=如？+"+3卜一(6加+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已

知3(3,0).

(1)求m的值和直线对应的函数表达式；

(2)P为抛物线上一点，若S"BC=S^ABC,请直接写出点P的坐标；

(3)Q为抛物线上一点，若NACQ=45。，求点Q的坐标.

【分析】

(1)求出A,B的坐标，用待定系数法计算即可；

(2)做点A关于BC的平行线联立直线4片与抛物线的表达式可求出耳的坐标，设

出直线与y轴的交点为G,将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线

P3P2,联立方程组即可求出P；

（3）取点。，连接CQ,过点A作A。，。。于点。，过点。作轴于点尸，过

点C作CELD歹于点E，得直线CD对应的表达式为y=。尤-3,即可求出结果；

【详解】

（1）将5（3,0）代入y=mx：+（苏+3卜一（6m+9）,

化简得加之+加二。，则加=0（舍）或〃7=—1,

m=T,

2

得：y=-x+4x-3,则C（0,—3）.

设直线3C对应的函数表达式为>=丘+6,

（Q=2k+b

将8（3,0）、C（0,—3）代入可得13/，解得左=1，

则直线对应的函数表达式为y=x-3.

（2）如图，过点A作aq〃BC,设直线与y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC个

单位，得到直线鸟鸟，

由（1）得直线BC的解析式为y=x—3,A（l,0）,

直线AG的表达式为y=x—l,

y=x-l

联立

y=-x2+4x-3

•••6(2,1),

由直线AG的表达式可得G(-1,0),

：.GC=2,CH=2,

直线PiP2的表达式为y=x-5,

(3)如图，取点。，连接CQ,过点A作ADLCQ于点

过点。作，x轴于点F，过点。作CE，DF于点E，

ZACQ=45°,

；.AD=CD,

又：ZA£>C=90°,

：.ZADF+ZCDE=9Q°,

VZCDE+ZDCE=90°,

：./DCE=ZADF,

又；ZE=ZAFD=90°,

：.ACDE^ADAF,则AF=Z）石，CE=DF.

设DE=AF=a,

VOA=1,OF=CE,

**.CE=DF=a+1.

由0C=3,则Z）尸=3—a,即a+l=3—a,解之得，a=1.

所以D（2,—2）,又C（0,—3）,

可得直线CD对应的表达式为y=gx-3,

设Q1根机—3],代入,=_犬2+4%—3,

121227

m-3=-m+4m-3,—m=-m+4m,m"——m=0,

222

又mW。,则m=1.所以

2124）

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.

7.（2023・新疆・统考中考真题）【建立模型】（1）如图1,点8是线段C。上的一点，AC1BC,

AB1BE,ED1BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证：AACBRBDE；

【类比迁移】（2）如图2,一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与X轴交于点8,将线

段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点。.

①求点C的坐标；

②求直线AC的解析式；

【拓展延伸】（3）如图3,抛物线丁=炉-3尤-4与x轴交于A,3两点（点A在点8的左侧），

与了轴交于C点，已知点G（0,-1），连接8。.抛物线上是否存在点M，使得tanZMBQ=1,

若存在，求出点加的横坐标.

【分析】［建立模型］(1)根据题意得出NC=/D=/AfiE=90。，ZA=ZEBD,证明

△ACBRBDE(AAS),即可得证；

［类比迁移］(2)①过点C作CELx轴于点E,同(1)的方法，证明ACBE/A&4O,根据

一次函数V=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点8,求得4(0,3),B(-l,0),进而

可得C点的坐标；

②由4(0,3),设直线AC的解析式为>=丘+3,将点C(T,1)代入得直线AC的解析式为

1c

y=-X+3-

［拓展延伸］(3)根据解析式求得A(T,0),3(4,0)；①当M点在无轴下方时，如图所示，

连接MB,过点。作3M于点过点H作轴于点D,过点、B作BEJ.DE,于

点、E,证明AQZ汨SAHEB,根据tan/MBQ=tan/Q2"=：=要得出察=瞿=1,设

3BHBHBE3

(721、

DH=a,则3E=3a,求得点”［历，-mJ，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析

式即可求解；②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点。作QGLMB,于点G,过点G

作P尸〃x轴，交，轴于点尸，过点3作PBJ.FP于点P,同①的方法即可求解.

【详解】［建立模型］(1)证明：：AC1BC,ABYBE,EDVBD,

：.ZC=ZD=ZABE=90°,

：.ZABC+ZA=90°,ZABC+ZEBD=90°,

/.ZA=ZEBD,

又：AB=BE,

/.AACB'BDE(AAS)；

［类比迁移］(2)如图所示，过点C作CELx轴于点E,

y

^DE/B\O\

图2

,/将线段AB绕点8逆时针旋转90°得到BC,

：.BA=BC,ZABC=90°,

又ZAOB=/CEB=90。,

：.ZABO=90°-NCBE=Z.ECB,

ACBE当ABAO（AAS）,

BE=AO,CE=BO,

:一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点8,

当x=0时，y=3,即A（0,3）,

当y=o时，x=-1,即3（-1,0）,

BE=AO=3,CE=BO=\,

：.EO=EB+BO=3+1=4,

•,.C（-4,l）；

②•••A（0,3）,设直线AC的解析式为尸=依+3,

将C（-4,l）代入得：1=^+3

解得：|

直线AC的解析式为y=；x+3,

（3）：抛物线y=V-3x-4与无轴交于A,8两点（点A在点B的左侧）,

当y=°时，尤2—3无一4=0,

解得：尤1=-1,尤2=4,

A（-I,o）,8（4,0）；

①当/点在龙轴下方时，如图所示，连接MB,过点Q作于点反，过点“作OEly

轴于点£),过点B作BE/DE,于点E,

7

解得：”历,

设直线BH的解析式为y=kfx+b,

(721

代入〃[焉，一^|，5(4,0)得：而，+Z?=—历,

(；[4k,+b=0

解得：;，

kf=—

[11

・,・直线BM解析式为丁=4号，

:728

V=­x-----

联立1111,

y=x2-3x-4

,4

解得：玉=4（舍去），x2=——；

②当M点在％轴的上方时，如图所示，过点。作于点G,过点G作P尸〃1轴,

同理可得△尸GQS^PBG,

.FG_FQ_QG\

**PB-PG-GB_3?

设FG=b,则依=3〃，

・.・FP=4,

4—b

：.GP=4-b,FQ=——,

3

・.・FQ=PB+\,

解得：b=^6,

设直线MB的解析式为y=mx+nf

/r-、f13

(13|/---YYl-\-Yl----

代入G证,6，3(4,0x)得：1010,

I)4m+n=0

1

m=---

13

解得：彳，

n=——

[13

14

・•・直线MB的解析式为y=-，

14

、，、y=—%—

联立1313,

y=%2-3.X-4

14

解得：再=4(舍去)，x2———,

综上所述，M的横坐标为44或七14.

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质

与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

8.如图，抛物线y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为△A5C的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为加：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-上是否存在一点P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+1；(2)y=x2-x-2；(3)存在，Pi，

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(T,0),即可得出0A=0B=a,

0B=l,即可证明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作△ABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=J5q,利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCsZSoCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NC4P=ZBHD=ZACE=90°可证明△BHDsZ\ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1):抛物线y=(%+1)(%-。)(其中。＞1)与X轴交于A、B两点，交y轴于点C.

.•.当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-a)=。，

解得：西=-1,x2=a,

/.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.OB=1,OA=OC=a,

/.△OCA是等腰直角三角形，

.\Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图，作AABC的外接圆OD,

:点D为的外心，

:.DB=DC,

•.'△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

.\Z0AC=45°,AC=&q,

ZBDC和ZBAC是BC所对的圆心角和圆周角，

.•.ZBDC=2ZBAC=90°,

.\ZDBC=45O,

，ZDBC=ZOAC,

.'.△DBC^AOCA,

V△BCD与△ACO的周长之比为710:4，

.BCMVa2+1M

••----=------，即Hn---k--=----，

AC441a4

解得：a=±2,

经检验：〃=±2是原方程的根，

'：a>l,

a=2,

・••抛物线解析式为：y=(%+l)(x-2)二f一1一2.

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作0GLAC于

G,连接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2&，

VZ0CA=45°,

.•.Z0CF=45°,

.-.△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

~2k+b=Q

b=-2

k=-l

解得：v

b=—2’

/.直线CF的解析式为y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

，0G所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

:点D为5c的外心，

.,.点D在直线0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

设直线0G的解析式y=mx,

直线0G的解析式y=-x,

•.•点D为4ABC的外心，

...点D在AB的垂直平分线上，

-1+21

.♦•点D的横坐标为一^=:,

22

把X=y代入y=-x得y=-g,

D(一,---)，

22

113

.\DH=—,BH=1+—=-,

222

VZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

.,.△BHD^AACE,

2叩13

DllBH…一一

------=------，BP2_2，

CEAC~CE~242

解得：CE=2也，

3

,/点E在直线CF上，

工设点E坐标为(n,-n-2),

・•・CE="/+(_〃_2+2)2=半,

2

解得：n-±—,

3

242

；•E](—,—),E?(一，

333

设直线AE】的解析式为y=k1x+b1,

24

+b

-~JK\=~J~,

2k[+4=0

%=一

解得：P2,

4=t

二直线AEi的解析式为y=gx—1,

同理：直线AE2的解析式为y=2x—4,

y—一x一1

联立直线AE]解析式与抛物线解析式得r2

y=X2-x-2

1

X,x2

解得：~;~2，\i=八（与点A重合，舍去），

、，-5[%=0

y=2%-4

联立直线AEe解析式与抛物线解析式得，2°

y=x-x-2

Xi—1XQ—2

解得:2（与点A重合，舍去），

%=一2[%=0

：.?2(1,-2).

E2

综上所述：存在点P,使得NC4P=NDBA,点P坐标为Pi(―L，--),P2(1,-2).

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键

9.(2023•内蒙古・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f2+3x+l交y轴

于点A,直线y=-g元+2交抛物线于反C两点(点B在点C的左侧)，交y轴于点。，交无

轴于点E.

⑴求点£>,瓦C的坐标；

⑵尸是线段OE上一点(OP<EF),连接AfOECr,且+石尸=21.

①求证：是直角三角形；

②ZDFC的平分线bK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点,当

3tan/PPK=l时，求点尸的坐标.

【答案】⑴C(3,l),0(0,2),E(6,0)；⑵①证明见解析，②点P的坐标为(1,3)或(4,3"-6)

【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；

(2)①设尸(犯0),然后利用勾股定理求解，m=2,过点C作轴，垂足为G.再由

等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan/P/7K=；,设点P的坐标为

9,_/+3,+1),根据题意得:<»<3.分两种情况分析：M)当点尸在直线"的左侧抛物线

上时，tan/《尸K=g,g<f<2.(z7)当点尸在直线"的