2024年中考数学题型突破：二次函数与线段有关的问题27题（专项训练）（学生版）

类型二二次函数与线段有关的问题（专题训练）

1.（2。23・重庆・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*+6x+c与x

轴交于点A,B,与,轴交于点C,其中3（3,0）,C（0,-3）.

（1）求该抛物线的表达式;

（2）点尸是直线AC下方抛物线上一动点，过点尸作于点。，求的最大值及此时

点P的坐标;

（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物

线与＞轴交于点/，。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以。尸为腰的

△QE尸是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

2.（2023•四川凉山•统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于4（1,0）和3（-5,0）两点,

与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点p.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当所取得最大值时，求加的值和EF的最大值；

②当是等腰三角形时，求点E的坐标.

3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1,

杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB=4,且点A,B关

于y轴对称，杯脚高CO=4,杯高。。=8,杯底MN在x轴上.

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2,杯体ACB'所在抛物线形状不变,

杯口直径45'//45,杯脚高CO不变，杯深C。'与杯高OD'之比为0.6,求A笈的长.

4.（2023•浙江金华・统考中考真题）如图，直线y=+若与x轴，》轴分别交于点48,

抛物线的顶点P在直线上，与x轴的交点为CD,其中点C的坐标为（2,0）.直线3C与

直线P£＞相交于点E.

(1)如图2,若抛物线经过原点0.

①求该抛物线的函数表达式；②求当的值.

EC

(2)连接PC,NCPE与/BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明

理由.

5.如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另

一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐

标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点.

⑵在隧道截面内（含边界）修建“ITI”型或“R”型栅栏，如图2、图3中粗线段所

示，点片，鸟在x轴上,MN与矩形［巴巴巴的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段耳鸟，

PR，舄舄，MN长度之和.请解决以下问题：

（i）修建一个“E”型栅栏，如图2,点尸2，6在抛物线AED上.设点A的横坐标为

7M（0<m<6）,求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值；

（ii）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“m”型或“R”型栅型

两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形［巴与々面积的最大值，及取最大值

时点片的横坐标的取值范围（片在以右侧）.

6.（2023•江西•统考中考真题）综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在RtaABC中，ZC=90°,。为AC上一点，

CD=42,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿Cf3fA匀速运

动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点尸的运动时间为把，正方形DPEF的

而积为S,探究S与/的关系

图1图2

(1)初步感知：如图1,当点尸由点C运动到点8时，

①当r=1时，S—.

②S关于t的函数解析式为.

(2)当点尸由点8运动到点A时，经探究发现S是关于/的二次函数，并绘制成如图2所示

的图象请根据图象信息，求S关于f的函数解析式及线段48的长.

⑶延伸探究：若存在3个时刻4也,％(/1＜芍＜/3)对应的正方形。?即的面积均相等.

①4+4=;

②当4=气时，求正方形DPEF的面积.

7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=—x'+bx+c经过点A(—1,0)和点B(0,3),

顶点为C,点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,

点C落在抛物线上的点P处.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2023•甘肃武威•统考中考真题)如图1,抛物线、=-炉+及与x轴交于点A,与直线

交于点3(4,7),点C(0,T)在，轴上.点P从点3出发，沿线段3。方向匀速运动，运动

到点。时停止.

(1)求抛物线〉=-1+云的表达式；

⑵当2尸=20时，请在图1中过点P作PDLQ4交抛物线于点。，连接PC,OD,判断

四边形OCPD的形状，并说明理由.

⑶如图2,点尸从点3开始运动时，点Q从点。同时出发，以与点尸相同的速度沿x轴正方

向匀速运动，点尸停止运动时点。也停止运动.连接BQ,PC,求CP+8Q的最小值.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Y一2x-3与x轴相交于点A、B(点A在点B的

左侧)，与y轴相交于点C,连接AC,8c.

（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当=时，求点P的

坐标；

（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCW为直角三角形时，求点M的坐标.

10.（2023・四川乐山•统考中考真题）已知（占,%）,（%,%）是抛物G：y=f+云（6为常数）

上的两点，当为+々=0时，总有为=%

⑴求6的值；

（2）将抛物线G平移后得到抛物线C2:y=+1（加＞0）.

探究下列问题：

①若抛物线C1与抛物线Cz有一个交点，求机的取值范围；

②设抛物线C?与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线C2的顶点为点区融。外

接圆的圆心为点尸，如果对抛物线G上的任意一点P在抛物线C?上总存在一点Q,使得

点P、。的纵坐标相等.求所长的取值范围.

11.如图,已知抛物线L：y=%2+fee+c经过点4(0,-5),5(5,0).

(1)求仇C的值；

(2)连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移＞0)个单位得到抛物线L.过点M作MN//y轴，交抛物线Lx于

点N.P是抛物线4上一点，横坐标为—1,过点P作P£//x轴，交抛物线L于点E,点E

在抛物线L对称轴的右侧.若PE+MN=T0,求m的值.

12.(2023•山东枣庄•统考中考真题)如图，抛物线y=-无2+法+,经过4-1,0),6(0,3)两点,

并交x轴于另一点8,点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D

(1)求该抛物线的表达式;

(2)若点X是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值；

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点0,使得以。，M,P,。为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请自毯写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说

明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,3在％轴上，抛物线

y=必+区+。经过点6,£>(T,5)两点，且与直线。C交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)/为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F，E，

3为顶点的四边形是以5E为边的菱形.若存在，请求出点厂的坐标；若不存在，请说明

理由;

(3)尸为》轴上一点，过点尸作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP.探

究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标;若不存在,

请说明理由.

14.(2023・四川内江•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+法+。与

x轴交于网4,0),C(—2,0)两点.与y轴交于点4(0,—2).

(1)求该抛物线的函数表达式;

⑵若点尸是直线A8下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交相于点K,过点尸

作y轴的平行线交x轴于点D,求与;PK+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得是以AB为一条直角边的直角三角形:

若存在，请求出点用的坐标，若不存在，请说明理由.

15.如图1,在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=。/+力%+(:与x轴分别相交于A、B两

点，与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值:

・・・・・・

X—10123

・・・・・・

y03430

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC

的最小值;

(3)如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作J_x轴，垂足为F,ZXABD

的外接圆与。尸相交于点E.试问：线段跖的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

图1图2

16.(2023・湖北黄冈・统考中考真题)已知抛物线〉=-m2+乐+£:与；1轴交于4,8(4,0)两点,

与y轴交于点C(0,2),点尸为第一象限抛物线上的点，连接C4,CB,尸瓦尸C.

(2)如图1,当ZPCB=2ZOCA时，求点尸的坐标；

(3汝口图2,点。在y轴负半轴上，OD=03,点。为抛物线上一点，NQ5£>=90。，点E,

厂分别为△3OQ的边。Q,08上的动点，QE=DF,记8E+Q尸的最小值为相.

①求m的值；

②设APCB的面积为S,若S=请直接写出左的取值范围.

4

17.已知抛物线y=ta2+bx—3与X轴相交于4—1,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,

点N(“,0)是x轴上的动点.

图I

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若〃<3,过点N作X轴的垂线交抛物线于点P,交直线于点G.过点P

作PDLBC于点D,当n为何值时，4PDG、BNG；

(3)如图2,将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段0C的中点，然后将它向

上平移三3个单位长度，得到直线。耳.

2

①tan/804=；

②当点N关于直线。用的对称点M落在抛物线上时，求点N的坐标.

18.(2023・山东・统考中考真题)已知抛物线y=-/+bx+c与x轴交于A,8两点，与y轴

交于点。(0,4),其对称轴为了=-：.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段0C上的一动点，连接AD,BD,将沿直线AD翻折，得到

NAB'D,当点8'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点尸作直线AC的垂线，分别交直线AC,

线段8C于点E,F,过点尸作轴，垂足为G,求FG+后尸尸的最大值.

1,3一

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=--X-+—X+4与两坐标轴分别相交于A,

42

B,C三点

(1)求证：ZACB=90°

(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点

F.

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，求点D的坐标.

20.如图，抛物线y=(%+1)(%-。)(其中a>l)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为5c的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为丽：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

21.如图，二次函数丫=a*沁*+*的图象过0(0,0)、A(1,0)、B(|,争三点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若线段0B的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于

点D,求直线CD的解析式；

(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ_Lx轴，交直线CD于Q,

当线段PQ的长最大时，求点P的坐标.

22.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,AC,

BC.M为线段0B上的一个动点，过点M作PMLx轴，交抛物线于点P,交BC于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P作PNLBC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线

段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是

等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=—京+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物

线y=ax、bx(aWO)经过点A.

(1)求线段AB的长；

(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=逐，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线y=ax?+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围.

24,若一次函数y=-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A,C两点，点B的坐标为⑶0),

二次函数yuax'+bx+c的图象过A,B,C三点，如图(1).

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图(1),过点C作CD//x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC

恰好平分NDBE.求直线BE的表达式；

(3)如图(2),若点P在抛物线上(点P在