2024年中考数学题型突破：二次函数与线段有关的问题27题（专项训练）

类型二二次函数与线段有关的问题（专题训练）

1.（2023・重庆•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+云+。与x

"4

轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中3（3,0）,C（0,-3）.

⑴求该抛物线的表达式;

（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点尸作PDLAC于点求的最大值及此时

点尸的坐标;

⑶在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物

线与>轴交于点尸，。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的

△QEF是等腰三角形的点。的坐标，并把求其中一个点。的坐标的过程写出来.

【答案】（1）了=：尤2+5一3；（2）如取得最大值为:；（3）。点的坐标为［|,一1

或或

【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；

3

（2）直线AC的解析式为y=-7％-3,过点尸作尸石，了轴于点E,交AC于点。，设

4

尸“，”，3）,则则PD=gpQ,进而根据二次函数的性质即可求解;

（3）根据平移的性质得出>［一竺,对称轴为直线x=£,点尸,2,鼻向右平

4（2）16

移5个单位得到小3,-F（0,2）,勾股定理分别表示出E尸,QE'Q尸，进而分类讨论即

可求解.

【详解】（1）解：将点3（3,0）,C（0,-3）.代入y=+bx+c得,

19

-X32+3Z?+C=0

4

c=-3

b=—

解得：4,

c=-3

•，•抛物线解析式为：>=：尤2+9犬-3,

44

（2）：y尤?+!无一3与x轴交于点A,B,

44

当y=0时，-X2+-X-3=0

44

解得：工1=一4,工2=3,

・・・A（-4,0）,

•••C（0,-3）.

设直线AC的解析式为y=kx-3,

：.4—3=0

解得：k=--3

4

3

・・・直线AC的解析式为y=-3,

4

如图所示，过点尸作PE*_Lx轴于点石，交AC于点

%

,贝1JQ”,一，

设

22

...Pe="|?_3_Qt+-t-3\=--t-tf

4J4

・.・ZAQE=ZPQD,ZAEQ=NQDP=90。,

：./OAC=/QPD,

・.・OA=4,OC=3,

・•・AC=5,

PDAO4

：.cosZQPD=—=cosZOAC=-----=—,

AC5

44(1>14124

,-.PD=-PQ=-\-「2-2'+2)+5,

411115

••・当―2时，如取得最大值为:，/+/-3=小-2)9+丁(-2)-3=-天

(3)•.•抛物线y=；x2+[x-3=¥"]

44

将该抛物线向右平移5个单位，得至叮=工1尤一2］一”，对称轴为直线x=g,

-4(2)162

点尸12,一野向右平移5个单位得到《3,-11

:平移后的抛物线与〉轴交于点尸，令x=0,则丁=工、［2［一竺=2,

••”(0,2),

117

EF-=32+

：。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.

则。点的横坐标为会9

设呜

"2=(|-3)+(*]，。b=[|)+C

当QF=EF时，^|J+(m-2)2=^,

解得：机=-1或机=5,

当QE=Qp时，(|-3)+(*)=(|)+(

7

解得：m=-

综上所述，Q点的坐标为[|,T)或||，5]或

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的

平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.(2023・四川凉山•统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A(L0)和3(-5,0)两点，

与y轴交于点C.直线'=-3*+3过抛物线的顶点尸.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当所取得最大值时，求机的值和EF的最大值；

②当EFC是等腰三角形时，求点E的坐标.

【答案】(1)>=-/一©+5；⑵①当机=-；时，所有最大值,最大值为亍；②(—3,8)或(-4,5)

或(&-5,6&-2)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先求出C(0,5),进而求出直线BC的解析式为)^=尤+5,则

E[m,-nr-4/7?+5),F^m,m+5),进一步求出EF=-去由此即可利用二次

函数的性质求出答案；②设直线x="与x轴交于"先证明是等腰直角三角形，得

到/EFC=ZBFH=45°；再分如图3-1所示，当EC=FC时，如图3-2所示，当EF=EC时,

如图3-3所示，当瓦=CF时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线与x轴交于A(1,O)和川-5,0)两点，

抛物线对称轴为直线x=言1=-2,

在y=-3x+3中，当x=-2时，＞=9,

抛物线顶点P的坐标为(-2,9),

设抛物线解析式为y=a(尤+2)2+9,

/•a(l+2)2+9=0,

••Cl——1,

•••抛物线解析式为y=-(X+2)2+9=一尤2—4x+5

(2)解：①：抛物线解析式为、=-必-4x+5,点C是抛物线与y轴的交点，

C(0,5),

设直线BC的解析式为y=履+仿，

..5人+4=0

5=5，

[%b=15，

直线BC的解析式为y=X+5,

直线元=rn(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线5c交于点F

E^mj-m2-4m+5),F(m,m+5),

EF=—m2—4m+5—(m+5)

=—m2—5m

V-l<0,

525

••・当2一泮,所有最大值,最大值为不

/.BH=m+5,HF=m+5,

・•・BH=HF,

・・・二亚/是等腰直角三角形，

/.ZEFC=ZBFH=45°；

如图3-1所示，当EC=FC时,

过点C作CG，砂于G,则G（m,5）

.,.点G为所的中点，

由（2）得E（m,-〃z2-4〃z+5）,F（rn,m+5）,

.-m2-4m+5+m+5

••=5,

2

m2+3m=0,

解得机=-3或机=0（舍去），

/.E（-3,8）；

如图3-2所示，当砂=EC时，则；跳。是等腰直角三角形,

AZF£F=90°,即CEJL£F,

・••点七的纵坐标为5,

—m2—4m+5=5,

解得机=7■或机=0(舍去),

・・・石(-4,5)

如图3-3所示，当EF=CF时，过点。作。6，历于6,

同理可证4CFG是等腰直角三角形，

:.FG=CG=—m,

•*-CF=CcG=-yfim，

—m2-5m=-y/2m，

m2+(5-虚)相=0,

解得加=0-5或加=。(舍去)，

AEF=CF=-V2X(V2-5)=5A/2-2,HF=y[2,

•*-HE=6版-2,

网0-5,6夜-2)

综上所述，点E的坐标为(-3,8)或(-4,5)或(立-5,6五-2)

图3-3

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函

数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感,在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1,

杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径A3=4,且点A,B关

于y轴对称，杯脚高CO=4,杯高。。=8,杯底MN在x轴上.

(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).

(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2,杯体4CB'所在抛物线形状不变,

杯口直径A5'//A5,杯脚高CO不变，杯深C。'与杯高之比为0.6,求A3'的长.

【答案】⑴y=Y+4；(2)2娓

【分析】

(1)确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)利用杯深CD'与杯高0D'之比为0.6,求出0D'，接着利用抛物线解析式求出

B'或A'横坐标即可完成求解.

【详解】

解：(1)设y+4,

:杯口直径AB=4,杯高D0=8,

：.5(2,8)

将x=2,y=8代入，得。=1,

j=x2+4.

CD'

=0.6,

(2)OD7

CD'

=0.6,

4+CD'

:.Ciy=6,OD'=10,

当y=l。时，10=/+4,

玉=&或羽=-A/6,

A'B'=2屈，

即杯口直径A?的长为2前.

【点睛】

本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内

容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等.

4.（2023•浙江金华•统考中考真题）如图，直线y=^x+6与x轴，》轴分别交于点A,8,

抛物线的顶点P在直线A8上，与x轴的交点为CD,其中点C的坐标为（2,0）.直线与

直线尸。相交于点E.

⑴如图2,若抛物线经过原点0.

①求该抛物线的函数表达式；②求等的值.

EC

（2）连接PC,NCPE与/BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明

理由.

【答案】（1）①y=尤2+3&x；②（2）能，6或;或或——.

233/3

【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

②过点E作团，0C于点//.设直线BC为>=区+石，把C(2,0)代入，得0=2上+«,

解得人=-手，直线2(^为>=-*龙+石.同理，直线。尸为y=^x.联立两直线解析

式得出E：,竽，根据团〃30,由平行线分线段成比例即可求解；

(亚M

(2)设点尸的坐标为t,^-t+s/5,则点。的坐标为⑵-2,0).①如图2-1,当"2时，

I2)

存在NCPE=N&4O.记NC尸石=NB4O=a,NAPC=/?,则乙4尸。=。+£.过点尸作尸尸，了

AP2

轴于点/，则AF=1+2.在Rt八。/中，COS/3AO=7^=£，进而得出点尸的横坐标为6.②

/Ilj

如图2-2,当0</V2时，存在NCPE=ZBAO.记NCPE=/BAD=a,ZAPD=尸.过点p作

AF2

轴于点尸，则AF=t+2.在RtA小中，cos/BAO=/—=w，得出点P的横坐标

f\rJ

o

为③如图2-3,当一2</<0时，存在NCPE=4L4O.记N54O=a.过点尸作PFLx

轴于点/，则AF=t+2.在RtAP/中，M=COS/BAO=],得出点尸的横坐标为-。.④

如图2-4,当/W-2时，存在NCPE=NBAO.记/54O=a.过点尸作Px轴于点尸，

AF214

则/S=f-2.在RtAP尸中，—=cosZPAF=~,得出点P的横坐标为-1.

【详解】(1)解：@'：OC=2,

.••顶点尸的横坐标为1.

.•.当X=1时，y=@x+^=还，

22

点P的坐标是[1，—

设抛物线的函数表达式为y=—1)2+半，把(0,0)代入，

得0=。+3下,

2

解得〃=-35.

2

・•・该抛物线的函数表达式为y=-乎(x-1)?+孚,

即y=+3^5x.

②如图1,过点E作EHLOC于点H.

设直线5C为y=+把。（2,0）代入，得0=2左+«,

解得上=_或，

2

・,・直线5C为尸—S+氐

2

同理，直线OP为y=±叵x.

2

一旦+后

y=

2

由＜

3A/5

y=-------X.

2

244

•:EH//BO,

.BEOH

*HC-3

、

（2）设点尸的坐标为6,则点。的坐标为（2—2,0）.

7

①如图2—1,当/>2时，存在NCPE=Na4O.

记NCPE=NBAO=a,ZAPC=0,则ZAP£)=a+4.

•・,nPCD为△P4C的外角，

.../PCD=a+B.

•:PC=PD.

.・.APDC=APCD=a+(3.

:.ZAPD=ZADP.

：.AP=AD=2t.

过点月作轴于点尸，贝i」A/=，+2.

AF2

在RtAPF中，cos/BAO=——=-,

AP3

・・.tf+2=：2,解得f=6.

2t3

记ZCPE=/BAD=a,ZAPD=J3.

・・・NPDC为二上4。的夕卜角，

:./PDC=cc+/3.

：./PCD=/PDC=a+(3

：.ZAPC=ZACP.

：.AP=AC=4.

过点尸作尸尸，1轴于点尸，贝IJA尸=1+2.

4/79

在尸中,cosZBAO=——=—,

AP3

.£+222

’•丁一3解得/=1.

7

点P的横坐标为

图2-2

③如图2-3,当一2</(0时，存在NCPE=ZBAO.记NS4O=i.

・.・PC=PD,

：.ZPDC=/PCD=-ZCPE=-a.

22

・・・ZAPD=ZBAO-ZPDC=a--=-a.

22

:.ZAPD=ZPDA.

•**AD=AP=-2t.

过点尸作P尸，1轴于点尸，则A尸=r+2.

A/72

在Rt-AP歹中，——=cos/3Ao=—,

AP3

,/+22々刀/日6

.・一--=—,解传t=.

-It37

点P的横坐标为-g.

④如图2-4,当tW—2时，存在/CPE=/BAO.记N54O=a.

•；PC=PD,

：.ZPCD=ZPDC=-NCPE=-a.

22

・・・ZAPC=ZBAO-/PCD=a--a=-a.

22

・・・PA=CA=4.

过点P作轴于点/，则AF=V—2.

AF2

在Rt-AP尸中，一=cos/PAF=—,

一AP3

.••点P的横坐标为-5.

综上，点尸的横坐标为

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以

上知识，分类讨论是解题的关键.

5.如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另

一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐

标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点.

(2)在隧道截面内(含边界)修建“m”型或“R”型栅栏，如图2、图3中粗线段所

示，点A,A在X轴上,MN与矩形的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段64，

pp,EE,MN长度之和.请解决以下问题：

(i)修建一个“E”型栅栏，如图2,点尸2，B在抛物线AED上.设点片的横坐标为

m(O<?77<6),求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值；

(ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“E”型或“R”型栅型

两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形月E月《面积的最大值，及取最大值

时点片的横坐标的取值范围(A在巴右侧).

【答案】(1)丫=一：(+8

0

(2)(i)l=-1m2+2m+24,1的最大值为26；(ii)方案一：-回+9WP1横坐标W而；

Q

方案二：-西+5WP1横坐标W0T

【分析】(1)通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；

(2)(i)结合矩形性质分析得出P2的坐标为(m,-^2+8),然后列出函数关系式，利

0

用二次函数的性质分析最值；

(ii)设PR=n,分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，

从而利用数形结合思想确定取值范围.

(1)由题意可得：A(—6,2),D(6,2),

XVE(0,8)是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为丫=儆2+8,将A(-6,2)代入，

(—6)—+8=2,解得：a=——,

6

...抛物线对应的函数表达式为y=-JX?+8；

O

(2)(i)・・,点Pi的横坐标为m(0VniW6),且四边形PF2P3P4为矩形，点P2,P3在抛物线AED

上，

二•P2的坐标为(H1,~IR2+8),

6

12.

.•.PR=P3P4=MN=--m2+8,P2P3=2m,

6

.*.1—3(—m2+8)+2m=—m24_2m4-24——(m-2)2+26,

622

V-1<0,.•.当m=2时，1有最大值为26,

即栅栏总长1与m之间的函数表达式为l=-1m2+2m+24,1的最大值为26；

(ii)方案一：设P2Pi=n,则P2P,=18-3n,

矩形PEP3P4面积为C18-3n)n=-3n2+18n=-3(n-3)2+27,

V-3<0,

.•.当n=3时，矩形面积有最大值为27,

此时P2Pl=3,P?P3=9,令-,X"+8=3,解得：x=±730,

6

此时Pi的横坐标的取值范围为-回+9WPi横坐标W同，

方案二：设BP尸n,则P2P3=9—n,

Q81

；・矩形PiP2P3P4面积为(9—n)n=—n2+9n=—(n—-)2+—,

24

・・・一IVO,・••当n=J9时，矩形面积有最大值为8二1，

24

QQ1Q(_

止匕时P2Pl=展，P2P3=77,令一］X2+8=；；,解得：X=±0T，

2262

...此时Pl的横坐标的取值范围为-q+1WPi横坐标W国■

【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点

的坐标，利用数形结合思想解题是关键.

6.(2023•江西・统考中考真题)综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，ZC=90°,。为AC上一点，

CD=42,动点尸以每秒1个单位的速度从C点出发，在二角形边上沿C―区fA匀速运

动，到达点A时停止，以。尸为边作正方形DPEF设点尸的运动时间为招，正方形DPEF的

而积为S,探究S与f的关系

⑴初步感知：如图1,当点尸由点C运动到点8时，

①当r=l时，S—.

②S关于t的函数解析式为.

（2）当点尸由点B运动到点A时，经探究发现S是关于/的二次函数，并绘制成如图2所示

的图象请根据图象信息，求S关于f的函数解析式及线段AB的长.

⑶延伸探究：若存在3个时刻4名名（4<：2<4）对应的正方形DP即的面积均相等.

①…2=;

②当g=44时，求正方形DPEF的面积.

34

【答案】⑴①3；②S=r+4;（2）s=r2-8r+18（2<r<8）,AB=6；（3）①4；②至

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=有，最后根据正方形面积公式求

解即可；②仿照（1）①先求出CP=t,进而求出。尸2=尸+2,则5=。产=产+2；

（2）先由函数图象可得当点尸运动到2点时，S=DP2=6,由此求出当t=2时，5=6,

可设S关于r的函数解析式为S=OQ-4）2+2,利用待定系数法求出S=r—87+18,进而求

出当S=/—8f+18=18时，求得f的值即可得答案；

（3）①根据题意可得可知函数S=（/4）2+2可以看作是由函数S=r+2向右平移四个单位

得到的，设尸（州，〃），。（利,〃）（“>叫）是函数S=»+2上的两点，则（叫+4,71）,

（“4+4，九）是函数S=（f-4y+2上的两点，由此可得叫+叫=0，ml<m2<ml+4<m2+4,

则+叫+4=4,根据题意可以看作乙L=叫+4,J=恤+4,则4+芍=4；②由（3）

4

①可得G=%+4,再由，3=为，得至继而得答案.

【详解】（1）解：•••动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C-

匀速运动，

...当/=1时，点尸在8C上，且CP=1,

VZC=90°,CD=y/2,

*'-DP=y/CP2+CD2=y/3，

/­s=DP2=3,

故答案为：3；

②•••动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在BC匀速运动，

:.CP=t,

-：ZC=90°,CD=五,

DP?=CP2+CD2=干+2,

：■S=DP2=t2+2；

（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，S=。产=6,

；•r+4=6,

解得f=2,

二.当/=2时，S=6,

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为（4,2）,

.••可设S关于f的函数解析式为5=。（/-4『+2,

把（2,6）代入S=a（/-4y+2中得：6=4（2-4?+2,

解得a=l,

关于f的函数解析式为5=<—4。+2="一8t+18（2MT8）,

在S=/-8+18中，当S=/-8f+18=18时，解得/=8或t=0,

AB=8—2=6；

（3）解：①：点尸在8C上运动时，S=r+2,点尸在A3上运动时S=（"4y+2,

•••可知函数S=。-4）2+2可以看作是由函数S=/+2向右平移四个单位得到的，

设尸（犯，〃），。（〃少〃乂利〉：4）是函数S=r+2上的两点，则（/+4,（g+4,〃）是

函数S=（"4）2+2上的两点，

m[+m2=0,<m2<ml+4<m2+4,

m2+mj+4=4,

;存在3个时刻公芍也（乙<，2<G）对应的正方形DPEF的面积均相等.

可以看作％=t2=m1+4,t3=m2+4,

.•.%+=4,

故答案为：4；

②由（3）①可得^=6+4,

t3=4?；,

%=4+4,

「3’

.,.S=/+2=0+2=y.

【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等

等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键.

7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=—x?+bx+c经过点A(—1,0)和点B(0,3),

顶点为C,点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90。，

点C落在抛物线上的点P处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-f+2x+3

⑵尸(2,3)

⑶存在，M(0,1)

【分析】(1)根据点A,3的坐标，利用待定系数法即可得；

(2)先求出抛物线的对称轴，再设点。的坐标为。(1,。)(。＜4),则CD=4-a,根据旋转的

性质可得NCDP=90o,PD=CD=4-。，从而可得尸(5-a,a),将点尸代入抛物线的解析式求

出。的值，由此即可得；

(3)先根据点坐标的平移规律求出点风1,-1),作点E关于，轴的对称点笈，连接PE'，从

而可得PE'与丁轴的交点即为所求的点M，再利用待定系数法求出直线PE'的解析式，由此

即可得出答案.

[—1—b+c=0

(1)解：将点4-1,0),3(0,3)代入丫=一/+法+0得：。，

c=3

b=2

解得

c=3

贝1J抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)解：抛物线y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4的对称轴为直线x=l,其顶点C的坐标为C(l,4),

设点。的坐标为。＜4),则CD=4-a,

由旋转的性质得：ZCDP=9Q°,PD=CD=4-a,

P(1+4-a,a),即P(5-a,a),

将点尸(5—a,a)代入y=—(x—1)"+4得：—(5—fl—I)2+4=A,

解得。=3或4=4(舍去)，

当a=3时，5—a=5—3=2,

所以点尸的坐标为P(2,3).

⑶解：抛物线y=-x2+2x+3的顶点C的坐标为C(l,4),

则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点。,

这时点尸落在点E的位置，且尸(2,3),

£(2-1,3-4),即E(1,T),恰好在对称轴直线x=l上，

由两点之间线段最短可知，PE'与y轴的交点即为所求的点此时MP+ME,的值最小,

即MP+ME1的值最小，

由轴对称的性质得：码-1,-1),

设直线PE'的解析式为>=履+"，

f2k+722=3

将点尸(2,3),E(-1,T)代入得：~,

Ui

3

解得:，

m=—

I3

41

则直线PE'的解析式为＞=§%+］，

当x=o时，＞=g，

故在y轴上存在点M,使得MP+ME的值最小，此时点"的坐标为M(o,g).

【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的

平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键.

8.(2023•甘肃武威・统考中考真题)如图1,抛物线＞=-丁+灰与x轴交于点A,与直线y=r

交于点B(4,T),点C(0,-4)在y轴上.点p从点3出发，沿线段3。方向匀速运动，运动

到点。时停止.

图1图2

(1)求抛物线y=*+bx的表达式；

(2)当3尸=20时，请在图1中过点尸作尸。，。4交抛物线于点。，连接PC,OD,判断

四边形OCPD的形状，并说明理由.

(3)如图2,点尸从点B开始运动时，点。从点。同时出发，以与点尸相同的速度沿x轴正方

向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接8Q,PC,求CP+BQ的最小值.

【答案】(l)y=-Y+3x；(2)四边形OCPD是平行四边形，理由见解析；(3)4指

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)作尸交抛物线于点。，垂足为连接尸C,OD,由点尸在〉=-%上，可知

OH=PH,ZPOH=45。,连接BC,得出02=4应，则。”=尸〃=4。尸=与X26=2,

当x0=2时，。//=%=-4+3*2=2,进而得出PD=OC,然后证明尸£>〃OC,即可得出

结论；

(3)由题意得，BP=OQ,连接2C.在上方作OMQ,使得/MOQ=45。，OM=BC,

证明△CBWAMOQgAS),根据CP+BQ=MQ+BQ>MB得出CP+BQ的最小值为MB,

利用勾股定理求得MB，即可得解.

【详解】(1)解：：抛物线、=-丁+乐过点B(4,T),

-16+劭=4

:.b=3,

..y=­x~+3元；

(2)四边形OCPD是平行四边形.

理由：如图1,作Pr>_L(M交抛物线于点。，垂足为7/,连接PC,0D.

:点p在y=-x上，

/.OH=PH,NPOH=45°,

连接BC,

OC=BC=4,

,,OB=4A/2,

3尸=2&，

OP=OB-BP=,

OH=PH^—OP=—x2y/2=2,

22

当=2时，DH=yD=-4+3x2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

,••C(O,T),

OC=4,

PD=OC,

：OC_Lx轴，轴，

PD//OC,

•••四边形OCPD是平行四边形；

(3)如图2,由题意得，BP=OQ,连接8C.

在OA上方作一。使得/MOQ=45。，OM=BC,

oc=BC=4,BC±OC,

：.NCBP=45。,

ZCBP=ZMOQ,

VBP=OQ,ZCBP=NMOQ,BC=OM,

：.△CBWAMOQ(SAS),

CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB(当Q,B三点共线时最短)，

/.CP+BQ的最小值为MB,

•?NMOB=NMOQ+Z.BOQ=45°+45°=90°,

MB=yJOM2+OB2="+(4夜J=4A/3,

即CP+8。的最小值为4G.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定

理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=/一2尤一3与x轴相交于点A、B(点A在点B的

左侧)，与y轴相交于点C,连接AC,8c.

(1)求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当上4=PC时，求点P的

坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当,3CW为直角三角形时，求点M的坐标.

【答案】⑴师⑵(1，T)⑶(1,-4)或(—2,5)或

【分析】(1)根据解析式求出A,B,C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；(2)求出对

称轴为x=l,设P(1,t),用t表示出PA?和PC?的长度，列出等式求解即可；(3)设点M

(m,m2-2m-3),分情况讨论，CM2+BC2=BM2,BM2+BC2=CM2,BM2+CM2=BC2

分别列出等式求解即可.

(1)

y=x2-2x-3与x轴交点:

令y=0,解得占=-1,无2=3,

即A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3与y轴交点：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

.*.AO=1,CO=3,

•*-AC=^AO^+CO1=回；

(2)抛物线y=f-2x-3的对称轴为：x=l,

设P(1,t),

/.PA2=(1+1)2+«-0)2=4+产，PC2=(1—0)2+(r+3)2=l+Q+3)2,

4+?2=l+(r+3)

t=-l,

:.p(1,-1);

(3)设点M(m,m2-2m-3),

BM2=(m—3)2+(m2-2m—3—0)=(m-3)2+(^m2-2m—3),

CM2=(m-0)2+^m2—2m-3+3)=m2+[rri1—2m^,

3c2=(3—0)2+(0+3)2=18,

①当。河2+5。2=刚〃时，

m2+(m2—2m\+18=(m—3)2+fm2-2m—3),

解得，叫=0(舍)，m2=l,

AM(1,-4)；

②当=c“时，

(m—3)2+(m2—2m-3)+18=m2+fm2-2m),

解得，叫二一2,?=3(舍)，

AM(-2,5)；

③当=叱时，

(m-3)2+(m2-2m-3)+m2+(m2-2m)=18,

解得，m='土布,

2

・J1+&*5+A/5_p,f1—,\/55—y/5

..M---，——--或一--，----；

综上所述：满足条件的M为。,-4）或（-2,5）或［，叵，-生里］或口^后，一

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识,

解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.

10.（2023・四川乐山・统考中考真题）已知（&%）,（程％）是抛物£：丫=-；尤2+法（6为常数）

上的两点，当王+%=。时，总有为=%

⑴求6的值;

（2）将抛物线G平移后得到抛物线C2:y=-根）2+l（m>0）.

探究下列问题：

①若抛物线G与抛物线C,有一个交点，求相的取值范围；

②设抛物线C?与无轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线G的顶点为点E,ABC外

接圆的圆心为点月如果对抛物线G上的任意一点P，在抛物线C?上总存在一点Q,使得

点尸、。的纵坐标相等.求所长的取值范围.

7Q

【答案】（1）0;（2）①2W7Z1V2+2应②

【分析】（1）根据必=一；彳；+如,%=-；/+公2，且西+苫2=。时，总有%=%，变形后即

可得到结论；

（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：由题可知：M=—+如,%=-*尤；+。无2

士+弓=0时，总有％=%,

12,12,

..——Xj+bx^=——%2+bx2.

贝（无2+元1）（马一占）一6（%-%）=。，

「•（马—玉）1（马+项）-b=0,

・•・一—玉）=。总成立，且％2—玉W0，

:.b=0；

（2）①注意到抛物线。2最大值和开口大小不变，相只影响图象左右平移下面考虑满足题意

的两种临界情形：

（0当抛物线G过点（0,0）时，如图所示,

综上，2<m<2+2y/2,

②同①考虑满足题意的两种临界情形:

(0当抛物线C2过点(0,-1)时，如图所示,

（拓）当抛物线G过点（2,0）时，如图所示,

止匕时，x=2,y=—，（2—根）2+1=0,解得机=4或0（舍）.

4

综上20<m<4，

如图，由圆的性质可知，点后、尸在线段A5的垂直平分线上.

:.HB=m+2-m=2,

FB=FC,

:.FH2-^-HB2=FG2+GC2,

没FH=t,

.2c2（疗Y

t+2=I—1-1I+in2,

,m>20,

2

my八

------1w0,

4

加22

Rnm3

二.——2/+3=0,即/=——+-,

482

2^2<m<4.

57即5上WWW7，,

2222

EF=FH+1,

79

:.-<EF<-

22

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合

和分类讨论是解题的关键.

11.如图，已知抛物线L-.y=^+bx+c经过点A(0,-5),5(5,0).

（1）求"c的值;

（2）连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标;

②将抛物线L向左平移网加＞0）个单位得到抛物线右.过点M作MN//y轴，交抛物线乙于

点N.P是抛物线右上一点，横坐标为—1,过点P作PE//X轴，交抛物线L于点E,点E

在抛物线L对称轴的右侧.若PE+MV=10,求m的值.

【答案】（1）T,—5；（2）①（2,—3）；②1或T+病

2

【分析】

（1）直接运用待定系数法求解即可;

（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移

方式求出抛物线右的表达式，再分三种情况进行求解即可.

【详解】

解：（1）把点40,—5）,8（5,0）的坐标分别代入｝;=必+笈+。，

b=-4,

得.解得《

25+5Z?+c=0.c——5.

「•4c的值分别为-4,-5.

（2）①设A5所在直线的函数表达式为丁=履+〃（左wO）,

n=—5

把A（O,—5）,5（5,0）的坐标分别代入表达式，得L'八

5k+n=Q.

^=1,

解得4「

n=-5.

AB所在直线的函数表达式为y=x-5.

由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x=2,

当x=2时，y=x—5=-3.

...点M的坐标是（2,—3）.

②设抛物线L］的表达式是丁=（x—2+机）2—9,

-MN//y轴，

二点N的坐标是（2,“2—9）.

•.•点P的横坐标为—1,

/.点P的坐标是（-1,nr-6时，

设交抛物线乙于另一点Q,

•；抛物线L］的对称轴是直线％=2—PE//x轴，

根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是（5-2狐相2-6"）.

(i)如图1,当点N在点M下方，即0<〃zwJ3时,

PQ=5—2m—(―1)=6—2m,

ACV=-3-(m2-9)=6-m2,

由平移性质得QE=〃，

PE=6-2m-\-m=6—m

QPE+MN=10,

6—m+6—m2=10，

解得叫=-2(舍去)，m2=1.

(ii)图2,当点N在点M上方，点Q在点P右侧，

即^6<机<3时，PE=6-m,MN=m2-6,

QPE+MN=10,

/.6—m+m2—6=10，

匕叵(舍去).

解得叫=1+(舍去)，m2=

2

(iii)如图3,当点N在点M上方，点Q在点P左侧,

即机＞3时，

PE=m,MN=m2-6,

QPE+MN=10,

/.m+m2—6=10，

解得叫=J(舍去)，七r

综上所述，m的值是1或-1+而.

2

【