2024年中考数学题型突破：二次函数与直角三角形有关的问题（专项训练）（学生版）

类型七二次函数与直角三角形有关的问题(专题训练)

1.(2023・山东烟台・统考中考真题)如图，抛物线丁=依2+版+5与关轴交于4,8两点，与y

轴交于点C，AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线、=6-1交于点O,与天轴交

于点E.

(1)求直线AD及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点使得是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出

所有点/的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以点8为圆心，画半径为2的圆，点P为03上一个动点，请求出PC+gpA的最小值.

2.(2023・内蒙古・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-犬+3工+1交y轴

于点A,直线>=尤+2交抛物线于B,C两点（点B在点C的左侧），交》轴于点。，交x

轴于点E.

⑴求点D,瓦C的坐标；

（2）歹是线段0E上一点（。/<»），连接AR。尸，Cr，且产=21.

①求证：是直角三角形；

②ZDFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当

3tan/PFK=l时，求点P的坐标.

3.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x+c与x

轴交于3(4,0),C(-2,0)两点.与y轴交于点4(0,-2).

(1)求该抛物线的函数表达式;

⑵若点尸是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K,过点尸

作v轴的平行线交x轴于点D,求与gpK+尸。的最大值及此时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得是以AB为一条直角边的直角三角形:

若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

4.(2023・四川•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y="2+6x+4

的图象与X轴交于点A(-2,0),3(4,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知E为抛物线上一点，产为抛物线对称轴/上一点，以E,尸为顶点的三角形是等

腰直角三角形，且/3庄=90。，求出点尸的坐标；

⑶如图2,尸为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点连接并延长交V轴

于点N,在点尸运动过程中，OM+[ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请

说明理由.

5.(2023•江苏连云港•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

乙：y=尤2一2犬-3的顶点为2.直线/过点M（0,吗）（机2-3）,且平行于无轴，与抛物线乙交

于AI两点（3在A的右侧）.将抛物线匕沿直线/翻折得到抛物线L2,抛物线J交y轴于点

C,顶点为。.

（1）当〃7=1时，求点。的坐标；

（2）连接3C、CD、DB,若△BCD为直角三角形，求此时4所对应的函数表达式；

⑶在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、尸两点分别在边3C、8上运动，且EF=CD,

以E尸为一边作正方形加G8,连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理由.

6.（2022•山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=尤2-2彳-3与x轴相交于点A、

B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,连接AC8C.

(1)求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P4=PC时，求点P的

坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCW为直角三角形时，求点M的坐标.

7.(2021•四川中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两

点，与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断4BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，应为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+gEP的值

8.(2021•湖北中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=女2+"+。与％轴交于点A(-1,0)

和点6,与>轴交于点C,顶点。的坐标为(1,T).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P在抛物线上且满足NPCB=/CBD,求点尸的坐标；

(3)如图2,M是直线上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N,。是直线AC

上一个动点，当AQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标

9.(2021•湖北中考真题)抛物线丁=以2-2"+6(。/0)与>轴相交于点。(0,-3),且

抛物线的对称轴为x=3,。为对称轴与无轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在无轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于石、尸两点，若ADEF是

等腰直角三角形，求4。瓦的面积;

(3)若尸(3,。是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求尸。的最小值(用含f的代数式

表示).

10.如图，已知抛物线y=ax，bx+c经过A(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)经过点B的直线交y轴于点D,交线段AC于点E,若BD=5DE.

①求直线BD的解析式；

②已知点Q在该抛物线的对称轴1上，且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动

点，且在1右侧，点R是直线BD上的动点，若4PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角

形，求点P的坐标.

11.如图，抛物线y=取？+6x-4经过A(—3,6),B(5,—4)两点，与y轴交于点C,

连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NC40；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以AB为直角边的直角三角形.若存在,

求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-炉+6x+c与x轴交于点,与y轴交于

点C,且直线y=X-6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称.点P是线段08

上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M