2024年中考数学专项复习：12345模型 选填压轴（共3种类型）解析版

专题1-3“12345”模型・选填压轴必备大招（共3种类型）

题型•归纳

目录

知识点梳理.................................................................................1

例题演练...................................................................................4

【例1•性质一】........................................................................4

2022黔东南州..........................................................................5

【例2•性质二工“345”三角形与倍半角...................................................7

【例3・其它角的配凑】..................................................................9

【压轴题实战篇】一题多解..............................................................9

重点题型•归类精练.........................................................................12

题型一：【性质一】•专练....................................................................12

2022乐山.............................................................................12

2021宜宾.............................................................................12

2022黔东南州中考数学真题.............................................................13

题型二【性质二】解题：“345”三角形与倍半角..............................................23

2023•湖北黄冈•统考中考真题...........................................................24

2022•四川泸州•统考中考真题...........................................................29

2022北部湾经济区.....................................................................30

2023•四川广元•统考中考真题...........................................................38

2023•呼和浩特•中考真题...............................................................38

题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用............................................40

2023•内蒙古•统考中考真题.............................................................40

深圳中考真题.........................................................................43

|知识点•梳理］

知识点梳理

导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需要

我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函

数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角

二角形中，345的三角形比含有30。的直角二角形的1：G:2以及含有45。的直角三角形的1:1:更

加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化（1:2:、6及1：3:

而），综合性非常大，深受命题老师的喜爱。

12345模型介绍：若tana=；,tan夕=；,

04

tan2a=—

3tan(df+45°)=2

【性质一】a+〃=45°；【性质二】＜【性质三】《

tan2/7=?tan(£+45°)=3'

【简证】

1.如图，在3x3的网格中标出了/1和/2,则/1+Z2=

【图解】

"1.2.3"

1

tana="

2.如图，SAABC中,ZBAC=45°,AD的长为.

第2题

3.A(0,6)B(3,0)在x轴上有一点P,若NPAB=45。，则P点坐标为.

[“123”+“45”的来源】——构造倍半角

(-)基本模型

L已知：在AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点D在CA的延

长线上，点E在CB的延长线上，且AD=BE=AB.

上结论1:ZD+ZE=45°.

EB(

…43

结论2:tan2ZD=—,tan2NE=—.

34

结论3:tanZD=—,tanZE=—.

23

因为在g，P45。中出现数字12345,所以这种模型叫做12345模型.

（二）结论推导

结论1:ZD+ZE=45°

证明：VAD=BE=AB,・・・NABD=ND,NBAE=NE,

AZBAC=2ZD,ZABC=2ZE.

・・•NACB=90°,・•・NBAC+NABC=90°,

・・・2ND+2NE=90。，AZD+ZE=45°.

43

结论2:tan2ZD=—,tan2ZE=—.

34

_BC_4

证明：VZACB=90°,tan2ND=tanZBAC

~AC~3

4c3

tan2ZE=tanZABC=-----=—.

BC4

八人11

结论3:tanZD=—,tanZE=-.

23

证明：VZACB=90°,AC=3,BC=4,/.AB=732+42=5,

・・・AD=BE=AB=5,ACD=8,CE=9,

BC44C3_1

.*.tanZD=----tanZE=----

CD82CE9-3

（三）解题技巧

如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为g,j,g,t，或45。配g,g时（对于角

a和［3,若满足a+0=45。，tana=g,则一定有，tan0=；,并且这三个式子，只要满足其中任意两个，都

可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45。，90°,135。这几个特殊的角度联系起来，简化此类选择

题或填空题的运算.12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现

tan«z+45°)=2

除此之外，还能得出《。,你看出来了吗？

tan(/?+45)=3

【补充】其它角度配凑与正切和差公式

143

“一”+45。=“一”和“一”+45。="7”

734

tanA±tanB

正切和差公式:tan(/±5)=

1+tarU-tan5

例题演练

实战练习

【例1•性质一］

如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点，将aABG沿AG对折至aAFG,延长GF交DC于点E,则DE长

是()

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】根据BG是AB的一半，可得tan/BAG=^,连接AE,易证△AEF^^AED,.\tanZDAE=l/3,

DE=2

AD

8I--------

【变式1-1】如图,在矩形/BCD中,AB=4,4D=6,点、E,尸分别在边8C,C。上,/EAF=

45°,BE=2,则。下的长为

【答案】2

【解析】VZBAD^90°,NEAF=45°,：.ZBAE+ZDAF^45°.

BE21I

VtanZBAE==—=—,tanZDy4F=-,

AB423

DF1If

——=-,：.DF=-AD=2,

AD33

2022黔东南州

【变式1・2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片45CZ),折痕是功%点C落在点E处，分别延长

ME,DE交AB于点F,G,若点〃是5c边的中点，则尸G=cm.

5

【答案】

3

【解析】连接DF.

由题意，DE=DC=DA,ZDEF=ZA=90°.

VDF=DF,AADEF^ADAF,JNEDF=NADF.

VZCDM=ZEDM,ZADC=90°,AZFDM=45°.

CM1AF1

VtanZCDM=——=—,AtanZADF=——=-,

CD2AD3

4

tanZDGA=tanZCDG=—.

3

4

*.*AD=AB=4cm,EF=AF=—cm,

3

55

FG=—EF=—cm.

43

【变式1・3】在正方形ABCD中，边长为6,BE=2AE,连接DE,在AD、BC上分别存在点G、F,连接GF

交DE于H点，且NGHD=45。，求线段FG=

【答案】3亚

【分析解答】

法一：观察发现tan/ADE=l/3,且NGHD=45°,条件已经具备，考虑GF可动，平移GH,将a、|3、45°汇

于直角处。可知CF=3,

所以DF长度为3石.

法二：平移

1

tana=2

0=a+45。

tanP=3

AEB

【例2•性质二】：“345”三角形与倍半角

（广东省中考）如图，已知正方形ABCD的边长为6,E为BC的中点，将aABE沿直线AE折叠后,

点B落在点F处，AF交对角线BD于点G,则FG的长是.

【答案】£

12

7x=6^FG=2x=y

【变式2-1】如图，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在点G处，若DE=\,CE=2,BC=6,则AF

的长为

【答案】4

【变式2-2］如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E,交直线AB与点

【答案】

【简证】易知tanNACB=tan/AFE=g,进而可知BF=2BE=6

“4“»»”

3-22

【变式2・3】如图，等腰RtaABC中，ZC=90°，D为BC中点，将4ABC折叠，使A点与D点重

合，若EF为折痕，则sinZBED的值为

3

【答案】-

4

113

【简证】连接AD,tanACAD=-=>tanZDAB=-,ZDEH=2ZDAB=>tanZDEH=-

234

【例3•其它角的配凑】

在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交

于O,贝hanNBOD的值等于.

J

I

I

n

I____L___I___L_

【分析解答】

取点E如图所示,则NOAE=a,ZOEA=45°,ZBOD=a+45°,tanZBOD=3

—1-

I

__L

一J____|_

【压轴题实战篇】一题多解

如图，在等腰Rt^ABC中，NB=90。，BA=BC,D为BC上一点，且AD=3,片为AD上点,

连接CE,ZCED=45°,CE=MAE，则的长.

12345模型

如图作辅助线

口j11

易知tana=?=tan0=3

MAB=9=AC=97i

EC=V10EH=18/^

【法一】作CG_LED与G,则4EGC为等腰直角三角形，记EC=扇,故AE=EG=GC=m,则AG=2CG,

则tana--,进而得出tan,，故AB=9,AC-9V2,而EC=MEH,EH=%c,下略

2

【其它方法:4种】

【简证】

3/2

△AEC~aCGDn设DC=几贝!JAC=；x

：及（工+）产

AFADAF*AC31=3=6

=zz>EC=

ECACAD

r—645187?

AD=3jlOna=:nEC=；

A

相似+角平分线定理

AEAB172

CEAC722

DBEB

DC=EC=>DC=6=>EC=

重点题型•归类精练

重点题型•归类精练

题型一：【性质一】•专练

2022乐山

1.如图，在RtZkNBC中，NC=90。，8C=6，点。是NC上一点，连接30.若tan/4=,，tan

2

NABD=则CD的长为().

3

A.2旧B.3C.V5D.2

【答案】C

【解析】；tanN/=；,tanNA8D=g,AZ5£)C=45°.

;NC=90。，：.CD=BC=4^

2021宜宾

2.如图，在矩形纸片4BCD中，点E,尸分别在边4D上,将矩形纸片沿CK,C尸折叠，点2落在8

处，点。落在G处，点C,H,G恰好在同一直线上，若48=6,AD=4,BE=2,则DF的长是

().

A.2B.-C.—D.3

42

【答案】A

【解析】由题意，NBCE=NHCE,NDCF=NGCF.

NBCD=90°,NBCE+NDCF=45°.

BE211

*.*tanNBCE==—=—,tanZDCF=—,

BC423

.DF_1

：.DF=-CD=2

*cF-33

3.如图，将已知矩形纸片48CD的边3c斜着向ND边对折，使点8落在/。上，记为点"，折痕为CE,

再将。边斜向下对折，使点。落在皮C上，记为点。，折痕为CR若B'D'=2,BE=LBC,则矩

3

形纸片ABCD的面积为.

【答案】15

【解析】由题意，BC=B，C,CD=CD,ZBCE=ZB'CE,NDCF=ND'CF.

,/NBCD=90°,NECF=ZB'CE+ND'CF=45°.

1113

'：BE=-BC,；.tanNBCE=—,，tanND'CF=—,tanZB'CB=-.

3324

3

VAD/7BC,NFB'D'=NB'CB,，tanNFB'D'=一，

4

33

.*.DF=D'F=—8。=一，.•.CD=CD'=2D'F=3,

42

；.BC=B，C=BD+CD=2+3=5,

；.S矩形ABCD=BC•CD=5X3=15.

2022黔东南州中考数学真题

4.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片他CD,折痕是DM,点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB

于点尸、G,若点M是3c边的中点，则/G=cm.

【答案】|

.1tan£=；,AADG=2/3

【简证】连接。尸，易知4ADF&Z\EDF(HL),记tana=—

2ZFMB=2a

48

FB=-MB=-

33Q5

故＜FG=-+3-4=-

333

AG=-AD=3

4

【常规法】解：连接。£如图,

•.•四边形48co是正方形，

AB=BC=CD=DA=4,NA=NB=NC=NCDA=90°.

":点、M为8c的中点，

；.BM=CM=-BC=-x4=2

22

由折叠得，ME=CM=2,DE=DC=4,NDEM=ZC=90°,

:.NDEF=90°,N五EG=90°,

12

设FE=x,则有DF?=DE+EF

/.DF2=42+X2

又在Rt\FMB中,FM=2+x,BM=2,

FM2=FB2+BM2

：.FB=y]FM2-BM2=7（2+X）2-22

/.AF=AB-FB=4-7（2+x）2-22

在AfAZM/中，DA2+AF2^DF2,

42+14一gxSj=42+X2,

4

解得，再=]，%2=-8（舍去）

4

:,FE=一,

3

410

：.FM=FE+ME=-+2=—

33

•••i+AT

•.*NDEM=90°

：.^FEG=90°

：.ZFEG=/B,

又NGFE=/MFB.

：./\FEG~AFBM

4

FGFE。FG3「「5

---=---，即in=~o~**•FG=—,

FMFB1083

33

5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若AE=百，NEAF=45。,则AF的长

为.

【答案/

6.（丽水•中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x—l的图像分别交x、y轴于点A、B,将直

线AB绕点B顺时针旋转45。，交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是

即可求得C点坐标（3,0）,可求得解析式

7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD±CD,BC=CD=2AD,E是CD上一点，NABE=45。则tan

ZAEB的值等于（)

A.1

B.2c1D.3

8.如图,三角形OEF的顶点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上,O为正方形ABCD的中心,

若/EOF=135o,DF=l,CF=2,]J!iJEF的长度为.

BC

【答案］边竺

4

【简证】a+B=45°,tana==』ntanB=—=>EF=

ON344

9.如图，已知正方形ABCD的边长为师，对角线AC、BD交于点0,点E在BC上，且

CE=2BE,过B点作BF±AE于点F,连接0F,则线段OF的长度为。

【答案】V2

【简证】

AO=^/5

4H=2

HO-HF-BF-\

OF=^2

10.（四川省成都市中考模拟）如图，正方形/1SCD,4B=2,点£为ND上一动点，将三角形/BE沿8E

折叠，点/落在点尸处，连接。尸并延长，与边N3交于点G,若点G为43中点，则NE=.

AED

【答案】f2

【简证】延长EF至H,易证△BFH2△BCH(HL),则NEBH=45°,又因为HF=HC=HD,所以NCFD=90°,则NBFH二

1?

NADG,故=—=>AE=—

33

【常规法】解：如图，过点尸作45的平行线，分别交AD,BC于点、M,N,

••・四边形HCD是正方形，AB=2,

AD=2,AA=90°,四边形是矩形，

/.MN=AB=2,AM=BN/BNF=/FME=90°,

,:点、G为AB中点，

:.AG=-AB=\,

2

\'MN\\AB,

.'.^MDF~AADG,

MFAG\

——=——=—,即DM=2MF,

DMAD2

设7WF=x,则ZW=2X,JVF=2_X,

:.BN=AM=AD-DM=2-2x,

由折叠的性质得:BF=AB=2,EF=AE,/BFE=Z.A=90。,

/.ZEFM+ZBFN=90°,

又・・•/BNF=90。,

:"FBN+/BFN=90：

ZEFM=ZFBN,

"FME=/BNF=9B

在AEFM和*BN中，＜

'[ZEFM=ZFBN

.△EFMfFBN,

EFFMEM°EFxEM

•____=_____=_____即____=_______=______

"BFBNFN'22-2x2-x'

解得斯=上，EM-x）,

1—x2—2x

ylE=-----

1-x

又;AE+EM=AM,

xx（2-x）

=2.2x

1—x2,—2xf

2

解得x=1或x=2,

2

经检验，工二1是所列方程的解，x=2不是所列方程的解,

2

AE=-^~2

1二3

5

11.如图，在RtZ\/5C中，ZBAC=90°,AB=AC,点、D,E在边BC上,tmZBAD=-,/D4E=45。,

3

将沿/。翻折得到AB，交BC于点F,若DF=3,则跖的长为.

【答案】4

【解析】连接BE,过点D作DG_LAB于点G,过点E作EH_LAC于点H.

VZBAC=90°,AB=AC,AZB=ZC=45°,

ZAB*D=ZB=45°,BG=DG,CH=EH.

由tanNBAD=g,可设BG=DG=a,则AG=3a,AB=4a.

NDAE=45°,ZBAD+NCAE=45°,AtanZCAE=-.

2

设CH=EH=b,则AH=2b,AC=3b,A4a=3b.

VZDAE=45°,NB'AD+NB'AE=45°,NBAD+NCAE=45°,

NBAD=NBAD,；.NAE=NCAE.

；AB』AB=AC,AE=AE,AAAB'E^AACE.

.EFSAAB'ESyCEEH_2_4

DF^/XAB'D^AABDDGa3

44

.*.EF=-£>F=-x3=4.

33

12.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是OB上一点，且OB=3OE,连接AE,过

点D作DGLAE于点F,交AB边于点G,连接GE。若AD=6^，则GE的长是.

【答案】屈

【简证】易知tanNCME==4,AODF—AOAE□tanZ.ADG=—^>AG=3A/2

32

,则EH=26nAH=nGH=6,勾股可知GE=V1U

4拉

13.如图，已知正方形/BCD的边长为3,£是边BC上一点，BE=l,^AABE,尸分别沿折痕/尸向

内折叠，点3,。在点G处重合，过点£作交/尸的延长线于“，则线段F”的长为.

AD

【简证】

易知AADF丝△AGFdNEAF=45°口AH=V20

tanZGAF=-QAF=士5FH^AH-AF=420--=^-

2222

四点共圆型相似+12345模型

14.如图，在等腰直角A48C中，ZBAC=9Q°,BC=6,过点C作CDL8C,CD=2,连接8。，过点C

作CEL5。，垂足为E,连接则/£长为.

【详解】

法一：二级结论

ZCBA=45°,tanZCBD=^-,故tan/2/E=g,设AC交BE于F,故△蓝s△黄[]Z\AFEsZ\BFC

A

DEP

.，，八，“i——63V

易知相似比为i：Ji]□AE=.——=-------

VI05

法二：常规法

解：如图作AM_LBD于M,AN_LCE于N.

易证△ABMZ/XACN,可得AM=AN,四边形AMEN是正方形，设AM=EM=NE=AN=a,BM=b,

在RtABCD中，BD=用+22

=2回,CE=BCCD=3屈.BE=9..

BD55

在RtAABC中，AB=AC=3五,

则有"Y而,解得a="L2庄=5逑

a2+b2=1855

题型二【性质二】解题：“345”三角形与倍半角

2024届•深圳•九年级南山实验教育集团南海中学校考期中

15.如图，在正方形/BCD中，点£是边/。上一点，其中4E:EO=1:2.线段BE的垂直平分线分别交

AF

AB,BE、CD于点RG,H,则为的值为

【答案】2

13

【简证】tanNABE=-ntanNAFE=—（和角公式，详情见本专辑“12345模型”）

24

设AE=3t,贝IFB=FE=5Z,故HC=2z

43tED

2023•湖北黄冈•统考中考真题

16.如图，矩形/BCD中，AB=3,BC=4,以点2为圆心，适当长为半径画弧，分别交3C,BD于点、E,

F,再分别以点E,尸为圆心，大于1所长为半径画弧交于点P,作射线8P,过点C作的垂线分

2

别交2D,于点M,N,则CN的长为（）

【答案】A

【简证】易知tane=g,故CN=AND=^~CD=回

3R

【详解】解：如图，设AP与CN交于点。，与C。交于点凡作夫。，8。于点0,

•.,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

CD=AB=3,

BD=yjBC2+CD2=5.

由作图过程可知，BP平分NCBD,

■：四边形/BCD是矩形，

CD1BC,

又RQ1BD,

RQ=RC,

在Rt^BCR和RLBQR中，

[RQ=RC

[BR=BR'

RLBCR^Rt^BQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=BD-BQ^5-4^\,

设RQ=RC=x,则OR=Cr>_C及=3—x,

在RMOQ?中，由勾股定理得。火2=。02+尺02,

即(3-X)2=『+%2,

解得x=§,

4

・•.CR=-.

3

/.BR=yjBC2+CR2==-Vw.

3

,SRCR——CR.BC--BROC,

22

4

<4

—=-Vio.

BR士、/io5

•/ACOR=ZCDN=S)0。，ZOCR=ZDCN,

AOCRS^DCN,

,OCCRa2j

W-L

.•-,即5___3,解得CN=V10.

DCCN\

~CN

17.（2023•深圳市高级中学联考）如图，正方形/BCD中，E是4D中点，连接/C,CE,作OF1CE交Z3

PH

于尸，交CE于P,交4c于H,延长。尸交C5延长线于G,则k的值为（）

GH

D.

【答案】C

AD=DC,/DAB=/ADC=90°,

DFICE,

：.ZADF=ZDCE=90°-ZCDP,

AADF=ADCE,

・•・AF=DE,

・・,石是4。中点，

AF=DE=-AD=-AB=BF,

22

・.・ZDAF=ZABG=90°,ZAFD=/BFG,

・•・AADF泮BGF,

BG=AD,

AD//CG,

入ADHfCGH^DEPfGCP,

.DH__AD__1DPDE

t，~GH~~CG~2，~GP~'cG~l，

设Z)G=Q,

117

则DP=-a,DH=_a,GH=_Q,

533

112

：.PH=DH-DP=-a——a=—a

3515f

2

PH：J5a|;故选：c.

GH~2

一a

18.如图，已知正方形4BC。的边长为4,E是48边延长线上一点，BE=2,尸是边上一点，将△CEF

沿CF翻折，使点E的对应点G落在/£＞边上，连接EG交折痕C尸于点”，则户’，的长是（）

A.-B.—C.1D.此

333

【答案】B

【简证】易知tan/GEZ=tanN/G7/=,，故tan/GE4=。，FH=%/芈=叵

34V109V103

【常规法详解】解：：四边形y45co是边长为4的正方形,

：.AB=AD=CD=CB=^,ZD=Z/\=ZABC,

ZD=ZCBE=9C),

由翻折得CG=C£,GF=EF,CF垂直平分EG,

在Rt^CDG和Rt^CBE中，

jCG=CE

[CD=CB，

/.RACDG^RA网田,

：.DG=BE=2,

：.AG=AD-CG=4-2=2,

,/AE=4B+BE=4+2=6,

•*-EG=^AG2+AE2=@+62=2A/W,

,：AG2+AF2=FG2,^AF=6-EF,

A22+(6-3)2=厅2,

解得跖=T

V-EG-FH=-EF-AG=SFFC,

224匕"

110

：.-x2屈FH=—X—x2,

223

解得用=叵

3

19.如图，在正方形48CD中，点E在3c上，点尸是CD的中点，NEAF=45°,连接/E与2尸交于点

G,连接/尸与DG交于点X,则里的值为

HG

7

【答案】

10

【解析】过点G作GM±AF于点M,过点D作DN_LAF于点N.

:四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点，

1

tanZDAF=ZtanZCBF=—.

2

ZAFB=180°-ZAFD-ZBFC=2(90°-NAFD)=2ZDAF,

GM4

-----=tanZAFB=tan2ZDAF=—.

FM3

设AM=GM=4a,则FM=3a,AF=7a,AN=2DN=4FN,

1.714

FN=-AF=—a,DN=2FN=­a,

555

14

,_D_H_—__D_N_—工：____7

HG~GM~—10'

2022•四川泸州・统考中考真题

20.如图，在边长为3的正方形48co中，点£是边上的点，且BE=24E,过点E作。£的垂线交正

方形外角/CBG的平分线于点尸，交边BC于点、M,连接。尸交边3c于点N,则跖V的长为（

\

4EBG

A.IB.*C.9

D.1

367

【答案】B

【简证】易知tanZADE=tanZADE=；n375

tan/CDN=1,MB=~,NC=-,故MN=—

236

D________C

A

IEIBQ

【详解】在AD上截取AH=AE,连接HE.

DC

“km

AEBG

则NAHE=NAEH=45。，AZDHE=135°.

由题意，AD=AB,ZEBF=135°,

ADH=BE,ZDHE=ZEBF.

NA=ZDEF=90°,NHDE=ZBEF=90°-ZDEA,

AAHDE^ABEF,.\DE=EF,AZEDF=45°.

1

VBE=2AE,AD=AB=3AE,/.tanZADE=-,

3

113

AtanZCDN=-,BN=CN=—BC=—.

222

VZA=ZDEM=ZEBM=90°,AAADE^ABEM,

125

・・・BM=-8E=—,.\MN=BN-BM=-

336

2022北部湾经济区

21.如图，在正方形4BCZ）中，AB=472,对角线ZC,5。相交于点。.点£是对角线4C上一点，连接

BE,过点£作斯，分别交CD,BD于点、F,G,连接5/交/。于点X,将△〃力沿防翻折，

点7/的对应点〃恰好落在上，得到△"?丁.若点尸为CD的中点，则的周长是

【答案】5+75

【解析】过点E作EPJ_AC,交CB的延长线于点P.

,四边形ABCD是正方形，ZECB=ZECF=45°.

AZP=45°,,・・NP=NECF,AEP=EC.

・.・NBEF=90°,AZPEB=ZCEF,

.,.△EPB^AECF,AEB=EF,

・・・ZEBH=ZEFH=45°.

・・•ZOBC=45°,・•・ZEBO=ZFBC.

・・•点F为CD的中点，tanZEBO=tanZFBC=1.

VAB=4A/2,.*.OB=4,・・.OE=2.

・.・ZHrEF=ZHEF=90°-ZBEO