2025高考数学二轮复习：三角函数的图象与性质 专项训练【含答案】

微专题15三角函数的图象与性质

［考情分析］高考对此部分的命题主要集中于三角函数的图象与性质，主要考查图象的变换、

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.多以选择题和填空

题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等.

■思维导图

正弦函数的图象与性质一

—根据函数的变换求解析式

余弦函数的图象与性质一一

必备三常见—根据函数的图象求解析式

正切函数的图象与性质一角

知识函题型—根据函数解析式研究三角函数的性质

三角函数的图象的画法与变换一数

的—三角函数性质的综合应用

根据图象求解析式一图

象

与「忽略函数图象的画法

图象法一性

必备质常见—忽略单调区间的写法

等价转化一一

解法误区—忽略角的范围的判定

三角恒等变换一

一恒等变换不彻底

典型例题

考点一三角函数的图象与变换

【典例1】（1）（2021•全国乙卷）把函数>=加）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（倍，纵坐标

不变，再把所得曲线向右平移;个单位长度，得到函数了=$苗F3的图象，则加）等于（)

2+与

B.sinU12J

(2x+事

D.sinL12J

答案B

解析依题意，将了=$桁1一力的图象向左平移:个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐

将其图象向左平移三个单位长度

-H----------------------1--------------->

尸sin1+日的图象f/（x）=sin（f+日的图象.

所有点的横坐标扩大到原来的2倍

（2）（2023•全国甲卷）函数的图象由函数y=cos龙的图象向左平移/个单位长度得

26

到，则尸危）的图象与直线尸4一l的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案c

f2+0f2+至

解析y=coslX6j的图象向左平移三个单位长度得到函数y=cos「LbJ+6J=cosl'2,

6

——sin2x的图象，

所以兀0=—sin2x,

而尸;x—；显然过［0，J与(1,0)两点，

作出》=«r)与y=$—；的大致图象如图所示，

即x=一°三，户汽处/(%)与y=4-1的大小关系,

444八,22

lx*」3兀—4

24

当七时,—sin

尸lx女」—7兀一4

>1.

2428

所以由图象可知，於)与y=5—g的交点个数为3.

跟踪训练1⑴(2023•厦门模拟)已知函数Hx)=4sin(®x+0),g(x)=/2sin(。加+夕2)，其图象

如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数启)图象上各点的横坐标缩短到原来的3倍

(纵坐标不变)，再()

A.向右平移£个单位长度

B.向右平移三个单位长度

3

C.向左平移/个单位长度

D.向左平移三个单位长度

3

答案A

解析由图可知，｛x)的周期为2%，g(x)的周期为兀，且八%)图象上的点(0,0)在g(x)图象上对应

的点为0,°),为得到函数g(x)的图象，

只需先将函数")图象上各点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐标不变)，

平移后的图象依然过点(0,0),

所以再向右平移三个单位长度，即可得到函数g(x)的图象.

6

(2)要得到函数yuSsinex"%)的图象，只需要将函数y=3cos2x的图象()

A.向右平移工个单位长度

12

B.向左平移匹个单位长度

12

C.向右平移三个单位长度

6

D.向左平移四个单位长度

答案A

2x+-

解析函数y=3sinl13cosb3J=3以＞可=3以2广胃=332卜力

故把函数尸3cos2x的图象向右平移吉个单位长度，可得函数尸35苗3+1）的图象.

考点二三角函数的解析式

【典例2】（1）（2023•全国乙卷）已知函数4v）=sin（ox+9）在区间1?可上单调递增，直线》=匹

6

和x犬为函数尸危）的图象的两条相邻对称轴’则人队于（）

答案D

解析因为直线x=：和x=?为函数y=/（x）的图象的两条相邻对称轴，且直线x=1和x=彳为

4）图象的两条相邻对称轴，

所以1=四——=—9不妨取G>0,贝|7=兀，口=四=2,

2362T

由题意知当x=四时，於）取得最小值，贝U2X匹+3=2版一匹，k《Z,

662

Sir

则9=2左兀一生，kGZ,不妨取左=0,

6

则/(x)=si

则/

（2）（2023・新高考全国H）已知函数外）=sin（s+9）,如图，A,5是直线>=；与曲线》=外）的

两个交点，若［45|=，，则八兀）=_______.

6

答案一芋

2

解析设/3.3卜’3,

由|48|=4可得X2~xi=-,

66

由sin工=一可知,

%=匹+24兀，或％="^+2攵兀，kRZ,

66

由图可知，

COXl+cp_(3]+夕)=显—-2兀

663

即①(12—'1)=]，所以①=4.

p?f|[8兀]]

因为/13J=sin13J=0,

所以'\~(p=kji,k^Zj,

3

即9=一母+左c,后GZ.

所以“x)=sinlT+痴,kGZ,

所以/(x)=sin或/(x)=一

又因为义0)0,

所以/(x)=si

所以/(7t)=si

跟踪训练2(1)设函数/(x)=cos同的图象大致如图，则人x)的最小正周期为

)

10

A兀BC

A.——DT

9?T

答案C

解析由图象知兀<7<2兀,

,1T

即兀v—<2K,所以1<|训<2.

|训

因为图象过点V°]

所以cosl96j=0,

所以一例①+匹=阮+四，kGZ,

962

oa

所以①=--k----,k^Zj.

44

a

因为1<|训<2,故左=—1,得①=Q.

故4)的最小正周期为T='=也.

co3

(2)(2022・新高考全国I)记函数小尸sinl4j+b(①>0)的最小正周期为T.若手7〈兀，且»

=%)的图象关于点Q'2)中心对称，则等于()

35

A.1B.-C.-D.3

22

答案A

解析因为缘代兀，所以驾汉兀，

33co

解得2<co<3.

F3K2I但+矶色+矶

因为>=火工)的图象关于点〔2'J中心对称，所以6=2,且sin〔2①41+6=2,即sin12①4)

=0,所以1为+j=左兀(左£Z),

又2V"3,所以地〈直G+展也，

4244

所以¥©+9=4兀，解得①=[,

242

所以«r)=sinb+d+2,

所以/LJ=sin1224j+2=sin^+2=1.

考点三三角函数的性质

[典例3](1)(2023•天津模拟)将函数｛x)=2sinxcosx—2cos2x+l,x£R的图象向左平移至个

8

单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是()

A.g(x)是最小正周期为2兀的奇函数

B.g(x)是最小正周期为2兀的偶函数

C.g(x)在(71,2兀)上单调递减

0—

D.g(x)在1'2」上的最小值为一仍

答案D

解析述x)=2sinxcos

将函数於)的图象向左平移加个单位长度，得到函数g(x)=/sin1

8

12%+'|

也sinl2J=A/2COS2x的图象.

对于A,g(—x)=^y2cos(—2x)=^2cos2x=g(x),所以g(x)是偶函数，故A错误；

对于B,g(x)的最小正周期为修=兀，故B错误；

对于C,当工£(兀，2兀)时，2%£(2兀，4兀)，

所以g(x)在(兀，2兀)上不单调，故C错误；

对于D,当J时，2xe[0,兀],所以cos2xe[—1,1],所以g(x)引一也，也],

0丝

所以g(x)在「2」上的最小值为一也，故D正确.

但

(2)(多选X2022・新高考全国II)已知函数於)=sin(2x+9)(0<9<兀)的图象关于点13'oJl中心对

称，贝！1()

A.於)在区间10'lil上单调递减

B.加)在区间112,12」上有两个极值点

C.直线x=?是曲线>=段)的对称轴

D.直线y=；—x是曲线了=加)的切线

答案AD

解析因为函数人x)的图象关于点3中心对称，所以s/XM+oho,可得手+夕=

far(^ez),结合0<0<兀，得夕=彳，所以/(x)=s

对于A,当xe1°';时，2x+—G,所以函数兀0在区间[811)

LE单调递减，故

3

A正确;

f_JL呵|K5jf|C112fl

对于B,当12f121时2x+geL'TJ,所以函数加）在区间ITIP可上只有一

个极值点，故B不正确；

对于C,因为/〔6）=5刊已*6+3]=sin3兀=0,所以直线x="不是曲线y=/（x）的对称轴,

6

故C不正确；

对于D,因为，（x）=2cos[2x+3）,若直线歹=?一x为曲线y=/（x）的切线，

C+2K|

则由2cosI3J=—1,得2x+g=2历i+g（左£Z）或2x+g=2历i+与（左£Z）,

所以x=E（«£Z）或％=而+；（左£Z）.

当x=E（左£Z）时，加）=]，

则由?=?—E/GZ）,解得左=0；

当x=E+；（左£Z）时，/（x）=一

方程一?=?一左兀一；（左£Z）无解.

综上所述，直线y=?—x是曲线》=/3）的切线，故D正确.

跟踪训练3（1）（多选）已知函数«0=|cosx|—|sin]刈，下列说法正确的是（）

A.人x）是偶函数

B./（x）是周期为兀的函数

C.人X）在区间■上单调递减

D.段）的最大值为股

答案ABC

解析函数4）的定义域为R,由八一x）=|cos（一x）|一、in|—刈=|cosx|-bin|MI=/3）,知外）

是偶函数,故A正确；XX+TI）=|COS（X+TI）|—|sin|x+7i||=|cosx|-|sin|x||=/x）,所以小）是周期

为兀的函数，故B正确；当2]时,小）=一（\）5工+5由'=旭5吊1j,7（x）在区间卜，2j

............"成，厂L—4

上单调递减，故C正确；当2_1时，/（x）=cosx—sinx=-42sinl4j^[—1,1],当

9时，｛'）=—cosx—sinx=—仍sin[+Je（—1,1）.又“r）是周期为兀的函数，所以

4）的值域为[—1,1],故D不正确.

(2)(多选X2023-沈阳模拟)将函数y=3tant引图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐

标不变)，再把得到的图象向右平移;个单位长度，得到函数了=8任)的图象，下列结论正确的

是()

A.函数尸g(x)的图象关于点(12'°］中心对称

B.若g(Xl)=g(X2)，X1#X2,则历一初的最小值为兀

C.函数y=g(x)的图象关于直线》=点对称

"of

D.函数y=g(x)的图象在1'4」上单调递增

答案AD

解析将函数y=3tan1+J图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍(纵坐标不变)，

可得y=3tan+3)的图象；

再把得到的图象向右平移;个单位长度，

2卜+三

得到函数产g(x)=3tan］,3一

=3tan［2X3］的图象.

由于当x=包时，2x—~=-,故A正确；

1232

y=g(x)的最小正周期7=｝若g(Xl)=g(X2),X1#X2,

则M—X2|的最小值为一个周期，即宗故B错误；

y=g(x)=3tan［3］无对称轴，故C错误；

Q四_四四

当4」时，E=2x—三金13'6」，且,单调递增，

3

_7171

又函数y=3tan/在3,6一单调递增，由复合函数的单调性,

得函数y=g(x)的图象在10'/上单调递增，故D正确.

［总结提升］

1.三角函数的常用结论

(l»=/sin(0x+p),当0=酎t/GZ)时为奇函数；当°=加+扣dZ)时为偶函数；

对称轴方程可由0x+p=A兀+扣GZ)求得.

(2)y=/cos(ox+w),当9=也+扣GZ)时为奇函数；当9=也伏62)时为偶函数；

对称轴方程可由0工+0=析(左GZ)求得.

(3)y—Atan(cox+°),当9=kK(kwZ)时为奇函数.

2.有关三角函数综合问题的求解策略

熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单调性、奇偶

性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念

与性质，但解答中注意龟的范围的判定，防止错解.

热点突破

1.下列函数中，以;为周期且在区间I?力上单调递增的是()

A./(x)=|cos2x|B./(%)=bin2x|

C./(x)=coslxlD./(x)=sin|x|

答案A

pt他］

解析A中，函数段)=|cos2x|的周期为今当xeQ引时，2x66J,函数作)单调递增,

故A正确；B中，函数八x)=|sin2x|的周期为；当在口21时，2》6巳J,函数/(x)单调

递减，故B不正确；C中，函数/(x)=cos|x|=cosx的周期为2兀，故C不正确；D中，")=

sinx,xNO,

sin|x|=-由正弦函数图象知，在x20和xQ时，人劝均以2兀为周期，但在整

I—sinx,x<0,

个定义域上人X)不是周期函数，故D不正确.

2.已知函数外)=4sin(①x+e)M>“加的部分图象如图所示，其中/(0,23),

―2也］则函数小)的单调递增区间为()

j57rjI7L

/C7t，KTt1

A.12lWez)

\kn--,左兀+匹

B.L3。(&Z)

VlkTl712kn|71

C.L343l/gZ)

Vlkit7i2kli।兀

D.L363+6」(k£Z)

答案C

解析由题意得，则？=§,

233

9jr

.U.co=—=3,「.yCx)=4sin(3x+9).

=4sin9=2A/2,sin(p=鼻,

又加v]・・・夕=$

f3x+-l

・\Ax）=4sinl4j,

令2左兀一：.3%+：或2左兀+彳（左£Z）,

解得的一匹的十三（左£Z）,

34312

Vlkit7i2左兀।兀

.\/（x）的单调递增区间为134312」/GZ）.

3.（2023・淄博模拟）已知函数於尸/sin[®x+J（o>0）的图象与x轴的两个相邻交点间的距离

为与要得到函数g（x）=/cosox的图象，只需将人x）的图象（）

A.向左平移t个单位长度

12

B.向右平移匹个单位长度

12

C.向左平移t个单位长度

18

D.向右平移2个单位长度

18

答案C

解析由题意知，火X）的周期7=2*卜”=玛

33G

.*.co=3,

...只需将〃)的图象向左平移工个单位长度即可得到函数g(x)=/cos。尤的图象.

18

4.已知函数/(x)=sin2x—2sin2x,给出下列结论，正确的是()

A.函数外)的最小正周期是2兀

71571

B.函数次x)在区间.上单调递减

C.函数")的图象关于点(8,°)中心对称

D.函数外)的图象可由函数y=/sin2x的图象向右平移:个单位长度，再向下平移1个单位

长度得到

答案B

解析由题意，得函数4x)=sin2x—2sin2x

,「伍+

=sin2x+cos2x—l=y2sinl4J—1,

所以函数加)的最小正周期7臂=兀，所以A错误；

715^1

由8」，

713TC\

可得2%+匹£_2'2J,

4

715兀

所以函数火X)在区间日’上单调递减，所以B正确；

由函数/(x)=\Ssin〔"4j—1,

令2%+"=左兀，kRZ,得x=——5kRZ,

482

当左=0时，可得x=—

所以函数人为图象的一个对称中心为8'—1),所以C错误；

由函数y=/sin2x的图象向右平移三个单位长度，

8

得到尸/sinLFJ[=也si]"J

再向下平移1个单位长度，

得到了=/$山(^—J—1的图象，所以D错误.

5.若/(x)=cosx—sinx在[―〃，0上单调递减，则〃的最大值是()

A兀兀八3兀门

A-B-C.——D.7i

424

答案A

角星析fix)=cosx—sinx

j=sinC力单调递增，

则/（x）=—gsin[J单调递减.

，・,函数段）在[—a,a]上单调递减,

_7l37f1

[-a,4’4J,

JOvaW四，，〃的最大值为四.

44

6.（2023•北京模拟）已知函数人x—sinexJ则下列结论正确的是（）

A.函数人x+兀）的一个周期为3

B.函数加+兀）的一个零点为手

6

C.>=/）的图象可由y=sin2x的图象向右平移;个单位长度得到

D.y=/（x）的图象关于直线x=:对称

答案B

解析因为y（x）=sin[2XJ,

北，f2x+27r--l后一可

所以/（x+7i）=sinl3j=sinl3j,

由正弦型函数的周期公式可得，函数外+兀）的最小正周期为彳=兀，A错误;

当、=匹时，sinP"J=sinO=O,

6

所以函数兀v+兀）的一个零点为支，B正确;

6

将函数y=sin2x的图象向右平移;个单位长度得到函数y=sinI3J的图象，C错误;

由2x—四=历i+四，攵£Z可得'=工-|-kGZ,

32212

所以函数40=5亩卜一寸的对称轴方程为x*+1|,kb,D错误.

7.（多选X2023-沈阳模拟）已知函数外）=tanx+sinx+|tanx—sinx|，则（）

A.於）的最小正周期为兀

B.加）在g上单调递减

C.八x）的图象关于原点中心对称

D./）的值域为（-2,+°0）

答案BD

角星析因为tanx—sinx=tanx（1—cosx）,

当x为第一或第三象限角时，tanx>0,

又1-cosx>0,可得tanx—sinx>0,

所以於）=2tanx；

当x为第二或第四象限角时，tanx<0,

又1—cosx>0,可得tanx—sinx〈0,

所以/(x)=2sinx；

当、=左兀，攵£Z时，/(x)=0.

2kit,三+2左二|兀+2e，至+2左二)

2tanx,x^L2JuL2J(^ez),

"呆’火)仅+2左兀，兀+2历]P^+2^7i,2兀+24|

2sinx,x^(2Ju]2J(左£Z),

作出火x)的部分图象如图所示.

对于A,结合图象可得外）的最小正周期为2兀，A错误;

对于B,於）在q上单调递减，B正确；

对于C,八%）的图象不关于原点中心对称，C错误；

对于D,於）的值域为（-2,+8）,D正确.

8.(多选)已知函数7(x)=sin(2x+9)l2"2」的图象关于直线对称，贝1()

A.由於1)=火X2)=；，可得修一X2是九的整数倍

B.函数/k+i)为偶函数

7171

C.函数外)在廿1上单调递减

D.函数人x)在区间(0,10兀)上有19个零点

答案BC

解析因为函数｛x)的图象关于直线x=：对称

所以2X；+w=E+；,左ez,

可得p=E—丑，左ez,

6

所以p=一四,

6

所以/(x)=sin

对于A,当xi=f,X2=¥时,

62

加1)=⑥2)=;但Xl—X2=一；不是兀的整数倍，故A错误;

对于B2x是偶函数,故B正确;

四匹K5K|三四

对于C,当、£占2」时，2x--e2’~61由正弦函数性质知危)在J'T上单调递减，故C

6

正确；

对于D,令於:尸sinb6)=0,则2%一匹=左兀，kGZ,

6

即、=m+施，kGZ,

122

所以Ov匹+也＜10兀，解得一1〈左〈20—1,

12266

因为左GZ,所以左=0,1,2,…，18,19,共20个，故D错误.

9.(2023・聊城模拟)若G(x,y)是函数y=cosx图象上的任意一点，则6,是函数4)

=4COS@X+9)(4>0,①>0,0<°〈兀)图象上的相应的点，那么/0

答案o

fox—如+s]

解析由题意可得v=cosx,2y=/cosl6J,

0)71।】

所以2cosx=/cosl5—JJ,

COR1

cox---v(p

由已知2cosx=4cos恒成立，又4>0,①>0,

二计4恒成立,

所以4=2,co=l,BPcosx=cos

所以夕一~=2kiikGZ,又0<9V兀,

69

所以夕=£,

6

所以40=2cosC^6J,

于是/©=0.

10.(2021•全国甲卷)已知函数人X)=2COS(CUX+9)的部分图象如图所示,则满足条件

C(x)—4/f3j_>0的最小正整数X为.

y,

2

137T

IF

答案2

解析由题图可知，衿詈一:=扣为危)的最小正周期),

得T—71,所以G=2,

佟，o]

所以外)=2cos(2x+9).点13J可看作“五点作图法”中的第二个点,

贝U2X四+9=],得9