2025高考数学三十六技：应试技巧篇（含答案）

2025高考三十六计

高考数学应试技巧篇

目录

考试技巧01权方和不等式的应用及解题技巧.....................................4

考试技巧02普通型糖水不等式的应用及解题技巧..................................5

考试技巧03对数型糖水不等式的应用及解题技巧..................................5

考试技巧04基本不等式链的应用及解题技巧.....................................6

考试技巧05"奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧.........................7

考试技巧06"奇函数+常函数”的男4+小a）解题技巧..............................7

考试技巧07已知函数解析式判断函数图象解题技巧................................8

考试技巧08已知函数图象判断函数解析式解题技巧................................9

考试技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧....................10

考试技巧1。泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧.............................11

考试技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧.........................13

考试技巧12函数对称性的应用及解题技巧.......................................15

考试技巧13解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧...........................16

考试技巧14整数解的应用及解题技巧...........................................16

考试技巧15零点的应用及解题技巧.............................................17

考试技巧16切线与公切线的应用及解题技巧.....................................17

考试技巧17端点效应（必要性探索）解题技巧...................................18

考试技巧18函数凹凸性解题技巧...............................................21

考试技巧19洛必达法则解题技巧...............................................22

考试技巧20导数中的极值点偏移问题的解题技巧.................................25

考试技巧21半角公式的应用及解题技巧.........................................27

考试技巧22万能公式的应用及解题技巧.........................................27

考试技巧23正余弦平方差公式的应用及解题技巧.................................28

考试技巧24三角函数异名伸缩平移的解题技巧..................................28

考试技巧25“爪子定理”的应用及解题技巧....................................29

考试技巧26系数和（等和线）的应用及解题技巧................................30

考试技巧27极化恒等式的应用及解题技巧.......................................31

考试技巧28奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧.............................31

考试技巧29角平分线定理的应用及解题技巧.....................................33

考试技巧30张角定理的应用及解题技巧.........................................33

考试技巧31点对称问题解题技巧...............................................35

考试技巧32圆中的切线问题解题技巧...........................................35

考试技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧.................................36

考试技巧34圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧.................................37

考试技巧35复数的模长及最值的应用及解题技巧.................................38

考试技巧36柯西不等式的应用及解题技巧.......................................39

考试技巧。1权方和不等式的应用及解题技巧

权方和不等式的初级应用：若a,b,x,y>Q则—+—>(t?+Z?)当且仅当时取等.

xy%+yxy

(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)

例.已知。且2a+b=3,则一1+Q的最小值为()

2a-12b-1

9i

A.1B.-C.9D.4

22

因为2。+6=3,所以4。+2b=6

由权方和不等式或+公之丝土豆可得

xyx+y

114122/(2+1『

a-12b-l4〃-42b-l4a-42b-l~4a-4+2b-l

当且仅当2二=一1，即〃=:7包=2£时，等号成立.【答案】C

4(2-42/7-163

222

例.已知正数无，九2满足x+y+z=i,则上^+上^+^^的最小值为

y+2zz+2xx+2y----------------------

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数x,y满足x+y+z=i,

所以上+上+上，―(f+z『—=1,

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

xyz1_1

当且仅当一丁=一r=一1即尤=>=z=£时取等号，故答案为：

y+2zz+2xx+2y33

例.已知％+2>+32+4"+5"=30,求—+2/+322+4/+5，的最小值为

【分析】应用权方和不等式即可求解.

22

尤2+2/+3Z2+4M+5V=^i+(W+(W+(W+(^£

【详解】12345

(x+2)+3z+4〃+5v)302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

当且仅当x二y=Z=〃二v时取等号，故答案为：60

考试技巧02普通型糖水不等式的应用及解题技巧

b+mh

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,则一定有--->-

a+ma

通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,则糖水更甜；

a〃+祖

2.糖水不等式的倒数形式，设a>b>Q,m>0,则有：->-——

bb+m

45

例.(202。•全国•统考高考真题)已知55<8313<8.设a=log53,/7=log85,^log138,贝lj()

A.a<kxcB.kxa<cC.kxc<aD.c<a<b

【详解】

8241339

।°ln3+ln-In—।-ln3+ln—In—,

m3551n5,一m3s5Ino8

a=<----------9=——<—=b,又a=——<--------——<---------=c,

ln5ln5+ln§ln8ln8ln5也5+比上lnl3lnl3

55

用排除法，选Ao

考试技巧。3对数型糖水不等式的应用及解题技巧

⑴设neN+,且n>l,则有log„+1n<log„+2(n+l)

⑵设a>b>l,m>0,则有logflZ?<logfl+m(Z?+m)

⑶上式的倒数形式：设a>b>1,m>Q,则有logha>logh+m(a+m)

例.(2022•全国•统考高考真题)已知9"=10,。=10%-11,6=8"-9,贝！|()

A.a>O>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

对数型糖水不等式

因为9"=10,所以m=log910.在上述推论中取〃=91=10,可得m=log910>log10ll=lgll,

且m=log910<log89.

所以a=10m-ll>10lgll-ll=0,^=8m-9<8log99-9=0,即a>0>8,选A.

考试技巧。4基本不等式链的应用及解题技巧

基本不等式链：｛与生2,2旅2，了伍〉0,。>0）,当且仅当时，等号成立.

---1---

ab

例.（2022•全国・统考高考真题）若与y满足f+V一肛=］,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

由基本不等式链：等2而可得妥（a,6eR）,

ab

对于AB

由Y+V-盯=1可变形为，（x+y）2-1=3盯,

解得-2Vx+yV2,当且仅当尤=y=T时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确;

对于C

22

【法一】由尤?+/-孙=1可变形为（一+丁）一1=孙4土产，解得V+y2v2,当且仅当尤=y=±l时取等

号，所以C正确

【法二】由_?+寸22［言］，孙《三:得

x2-xy+y2>2

2「支1

又因为x2-xy+y2=1,所以“即a(x+y)?2Ox+yV2.

【法三】x2-xy+y2=(x+j)2-3xy>(x+y)2=^(x+y)2,

2

又因为尤2_孙+9=],所以l(x+y)<l,x+y<2.

4

【答案】:BC.

考试技巧。5“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧

在定义域内,若F(x)=f(x)+A,其中/(x)为奇函数，A为常数，则最大值M,最小值加有M+根=24

即“+加=2倍常数

例.(2023上•江苏•高三模拟)已知/内分别是函数，施度=研一焉+5.+1的最大值、最小值，则

M+m=

M+m=2倍常数=2

例.已知函数〃%)=加-ln(G~TI+x)+3sinx+7,尤e[-2023,2023]的最大值为跖最小值为m,贝I]

M+m=.

【法一】M+根=2倍常数=14

【法二】M+m=2/(0)=14

3er+e~x

例.函数/(x)=-------,xe[-5,5],记f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=__________.

eY+e~x

【法一】M+根=2倍常数=4

【法二】M+772=2/(0)=4

考试技巧06“奇函数+常函数”的4旬+冬回解题技巧

在定义域内，若E(x)=/(x)+A,其中/(X)为奇函数，A为常数，有/(a)+/(—a)=2A

即/'㈤+f(_a)=2倍常数

例.(全国•高考真题)已知函数"x)=ln("=-x)+l,〃。)=4,则〃-。)=.

111~1”-尤)在定义域内为奇函数

所以/(«)+/(-a)=2倍常数=2,解得=-2

例.已知函数〃x)=ln*+q,贝U/0+O.

1_Ly11_|_T1

/(x)=ln—+—1,In-和—在定义域内为奇函数

1-xx1-xX

W/Q^+/[-j]=2倍常数=-2

【答案】-2

考试技巧。7已知函数解析式判断函数图象解题技巧

特值与极限

①收=1.414,百=1.732,拓=2.236,布=2.45,77=2.646

②e=2.71828,/=7.39,/=八=1.65

③In1=0,In2=0.69,ln3=l.l,Ine=1,ln7e=—

④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=—0.42

特别地：当x->0时sinx=x

例如：sin0.1=0.099«0.1,sin0.2=0099。0.2,sin0.3=0.296«0.3

当xf0时cosx=1

cos0.1=0.995x1,cos(-0.2)=0.980«1

例.函数y=（3"3fcosx在区间号胃的图象大致为（）

令〃尤）=（3-3、）cosx,xe-j,j,由奇偶性定义知〃x）为奇函数，排除BD;

【法一】特值

/（0.1）=（301-3^01）cos0.1»（301-3^01）x0.995>0,故选：A.

【法二】极限法

当x-0+时cosx=l,3'-「，3-*—广

所以当X-0+时y=（313f）cosx>0,故选：A.

【法三】

当xe（0，m时，3'-3^>0,cosx>0,所以/'（x）>0

【答案】A

考试技巧08已知函数图象判断函数解析式解题技巧

例.（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数

是（）

2sinx

D.二

yX2+1

【法一】特值

由图知：/（2）＜0,

对于A,/⑵=—g,对于B,/⑵=g,对于C,/⑵=2x2x,O.42)<0,对于口,了⑵2x0.91八

--------->0

5

排除BD

结合函数零点位置可选A

【法二】猜测近似函数值

由图知/（1）al

分别计算四个函数值即可得到答案

【法三】

设〃力=上，贝=故排除B;

X+1

、口7/、2XC0SX(八兀八1

设/z(x)=--——,当工£0,7时，0<cosx<l,

x+lk2J

所以竿苧（言/，故排除c；

、r/\2sinx./_\2sin3八..j.,

设g(")=K’则g⑶=丁双故排除D-

【答案】A

考试技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题

技巧

1X

ex>x+1,ex>ex,1----<Inx<x-1,Inx<—

xe

1101

例・已知«=—=e100,c=ln—,贝I]a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD,b<a<c

--991

e100>--+1=—

100100

,101101,1

c=ln<-1=

100100100

【答案】c

考试技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧

常见函数的泰勒展开式：

...XX2x3xnxn+{

(1)ex=1+—+——+—+…+——+------小，其中(0<。<1)；

1!2!3!71!(〃+1)!

-，

(2)ln(l+x)=x-—+—--.+(-1)"—一+3其中;

2!3!n\

3

V-丫52J,小+1

(3)sinx=x----+-------+(-1)------

V7+R其中夫=(1)cos0x•

')3!5!(211)!"丁"'7(2)1+1)!)

r2尸2k-2•2k

(4)cosx=l----+-------+(-1)------\+&,其中R及—(1)/、cosOx•

-2!4!V7(212)!丹,"1，(2%)!

19

(5)=1+x+x+•,•+%，+)•

1-x

n

(6)(1+X)=1+依+寸2+。(元2)；

(7)tanx=x+—+—x5+---+o(x2/I);

315')

(8)Jl+x=1+—x-—x2+—X3H-----\-o(xn]

2816、)

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式:

ex>1+x,ex>l+x+—x2(x>0),sinx>x-—x3(x>0),

26

cosx>1-1x2,lnx<x-l,e无Fx,

2—

tanx>x+^x3(x>0),Jl+x+,ln(l+x)<x.

常见函数的泰勒展开式：

结论1ln(l+x)<x(x>-l).

结论2lnx<x-l(x>0).

结论31--<lnx(x>0).

x

4-^―<In=-^—<]n(l+x)

结论41+x1％1+xI乙

1+x

1丫

结论5l+x<ex;靖<；(x<1)；<ln(l+x)<>-1).

1—x1+x

结论6>1+x(xGi?);

结论7e~x>l-x(xeR)

结论8—>ex(x<l).

1-X

结论9—<eJ(x>l).

1-X

例.(2022年新I卷高考真题第7题)设a=0.1e°」，。=",c=Tn0.9则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

泰勒公式法：

ni2i

因为e°,al+0.1+^=1.105,所以0.1e°」土0.H05<—=0.11111=6,所以a<。

29

因为

(I)2(I)3

111

c=-ln0.9=ln0=ln(+1)«—-2_+_2_=J_—_L+^L土J_—0.006=0.105<。所以。。

99923916221879

综上所述：c〈a〈b

故选：C

3111

例.(2022•全国•统考高考真题)已知”记,b=cosa，c=4sin“则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD,a>c>b

泰勒展开

、几.ccuEl31,0.252,1,0.2520.254

设^x=0.25,贝！]ci=—=1---------,b=cos-q1----------1---------,

322424!

〃.1sin4,0.2520.254,生、《.人

c=4sina1—+^—,计算得c>b>。，故选A-

4

考试技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧

sinx<x<tanx,xGI0,—I

lnx<\[x——，(x>1)lnx>Vx——J(0<x<1)

-yjx

，，

lnx<1(%—1)(x>1)Inx>—(x——)(0<x<l)

2%,2%,

1313

Inx>—x9+2%一(%>1)Inx<—x9+2%—(0<%<1)

2222

2(%—1)2(%—1)1、

lnx>(x>1)lnx<----------(0<x<1)

x+l,x+1

放缩程度综合

,11/1、r1,2(%-1)12c3八

1—<(x—)<\lx-<Inx<----------<—x+2%—<x—11(/0o<x<1)

x2x4xx+122

—xX—<<X<\!~X—广<一X—<X—<X<

xx+-JxX

2

—%+2x—3<]」<2(f<In%<\[x--j=<一(x—)<x-l(x>2)

22xx+1G2x

例.(2022•全国•统考高考真题)设。=0.卜°」/=，c=-ln0.9,贝I」()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

放缩法

因为x+l<e"<——(x<1),

l-x

所以Live。/<^—n0.11<a=0.1e°i<0.1x^—=—=6,即a<。

1-0.11-0.19

因为Inx<—(x—)(x>1),

2x

所以c=—1110.9=111竺<▲(竺—2)=12_<0.11<。即C<a

92910180

综上所述：c〈a〈b,故选：C

3111

例.（2022•全国•统考高考真题）已知"石/=cos1c=4sin“则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【法一】：不等式放缩一

因为当,

取x得：cos—=l-2sin2->l-zf—=—,故…

848⑻32

4sin；+cos；=A/T7sin[；+e],其中sin=~^=,cos（p=~^=

当4sin!+cos?=>/F7时，：+"=及°=9一：

444224

,.141.1

此tt时sin—=cos（p=--i=,cos—=sin^?=-y=

,114・1一1,

故8$^=/<而=$1111（4$1117,故

所以所以c>b>a,故选力

【法二】不等式放缩二

因为f=4tan。，因为当xe[o,g],sinx<x<tan尤，所以tan：>；,即?>1,所以c>b;因为当

b4V2）44b

xe（°，：]，sinx<x,=-^cos—=l-2sin2->l-2f->|=—,故〃>j所以c>8>a.

I2j848⑻32

故选:A.

考试技巧12函数对称性的应用及解题技巧

例.(全国•高考真题)设函数尸/⑴的图像与y=2»的图像关于直线＞=一3对称，且/(-2)+/(-4)=1,

贝！Ja=

A.-1B.1C.2D.4

反解了(x)的解析式，可得-x=2*,EPy=«-log2(-x),

因为〃-2)+/(-4)=1,所以a-log22+a-log,4=l,解得解得。=2,故选C

考试技巧13解不等式(含分段函数)的应用及解题技巧

例2.(全国•高考真题)设函数/(x)=ln(l+|x|)-三/，则使〃x)>〃2尤-1)成立的x的取值范围是

A.[g[]B.U(l,+℃)

c.—jD.

【特值法】

当x=l时，/⑴>/'⑴不成立，排除D,当x=0时，则判断f(O)>/(-1)是否成立，

计算/(O)=-1,/(-l)=ln2-1»0.19,不成立，故排除B、C,

【答案】A

考试技巧14整数解的应用及解题技巧

例.已知关于X的不等式lnx-fcf4+近3>0恰有一个整数解，则实数K的取值范围为()

A「加3「ln3

A,--，-B.--，一

L548；|_278J

【猜根法，寻找临界条件】

由题知整数解不可能为1,

若整数解为2,则整数解3不可取，代入有ln2-16左+8左=0=左=野，

8

ln3-8R+27Z:=0^Zr=1^,根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.

54

考试技巧15零点的应用及解题技巧

例4.（全国•高考真题）已知函数/。）=/-2》+。（/-1+03）有唯一零点，贝!|。=

A.—2B.—3C.2■D.1

通过观察发现/-2x关于x=1对称，/T+e一向也关于尤=1对称，

则唯一零点为1,解得解得.故选：C.

考试技巧16切线与公切线的应用及解题技巧

例.（2021•全国•统考高考真题）若过点（。,为可以作曲线y=e'的两条切线，贝I］（）

A.eb<aB.e"<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

画出函数曲线y=e'的图象如图所示,根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和无轴上方时才可以作出两条切

例.(全国高考真题)若直线y=履+〃是曲线y=InX+2的切线，也是曲线y=W+1)的切线，则b=.

对函数y=lnx+2求导得y=工，对y=ln(x+l)求导得,设直线>=履+〃与曲线y=lnx+2相切于

点4(国,〉1),与曲线y=ln(x+l)相切于点鸟(w，%),则%=111%+2,%=ln(z+l),由点在切线上得

y-(\nxl+2)=—(x-xl)f由点鸟(%,%)在切线上得>-侬％+D==二(x-x2),这两条直线表示同一条直

Xj*2"I1

f1=1

।VjK，♦111

线，所以、■，解得玉=彳,.•.%=—=2乃=ln石+2—1=1—ln2.

...”+12%

Intx,+1)=Inx,+—2—

，勺乂+1

考试技巧17端点效应(必要性探索)解题技巧

端点效应的类型

1.如果函数/(X)在区间切上"(X)>0恒成立，则于(a)20或f(b)>0.

2.如果函数在区问切上，/(x)20恒成立，且/(«)=0(或/3)=0),则/(fl)>0(或

f\b)<0).

3.如果函数/(%)在区问［a,b］上"(x)>0恒成立，且/(a)=0,/'(。)=0(或f(b)=O,f(b)工0)则

f"(a)>0(或/"3)W0).

cinx\711

例.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(冗)=依-——0,-

cosxI2J

⑴当a=8时，讨论Ax)的单调性；

⑵若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

【法一】端点效应一

令g(x)=/(x)-sin2x,xek|j得g(0)=0,且g(x)<0在xek|j上恒成立

画出草图

［+2sin之Y

根据端点效应，需要满足g'(O)WO而g'(x)=a------厂――2cos2x

'cosX

则g'(0)=a—3,令g'(O)WO,得a43

当破3时，由于g(0)=0,只需证g'(x)<0即可

而g’(x)含有参数a,故可对g'(x)进行放缩

即g，(力=。—-2COS2X<3-一2cos2x=5-：2c；sr_4cos2%

COSXCOSXCOSX

令t=cos2x,其中0</<l

3-2t

设h(t)=5-----4t

,62—4r—2%+6

贝h(t)=——-Y~4=-----------3-------------

rtr

令p(t)=—4/-27+6

则p'⑺=一12/一2<0,故p(t)在(0,1)上递减，得夕«)〉必1)=0

则h(t)>Q,得hit｝在(0,1)上单调递增，则丸(。<九(1)=0

即g'(x)<0,满足g(x)<g(0)=0成立

当a>3时，由于g'(0)="3>0,

故存在修,使得在(O,xo)上g'(x)〉0,

所以g(x)在(0,%)上单调递增，则g(x)〉g(0)=0,不成立

特上所述：a<3.

【法二】端点效应二

(2)/(x)<sin2x^>ax-------<sinlx=^>g(x)=ax-sinlx-------<0

COSXCOSX

由于g(0)=0,且

，/、,cos2x+3sin2x

g(x)=<7-2COS2X-,

COSX

注意到当g'(0)〉0,即a>3时，3x0e0,|使g'(x)〉0在xe(0,x0)成立，故此时g(x)单

调递减

二.g(x)>g(0)=0,不成立.

另一方面，当破3时，g(x)W3%—sin2%------z—=h(x),下证它小于等于。.

cosx

A,/\___3_2cos2x

令h(x\=3-2cos2x---------------

cosx

_3cos4x+2cos2x-3-2cos2xcos4x_3(cos4x-l)+2cos2x(1-cos2xcos2x)

—4-4

COSXCOSX

-(cos2x-1)2(4cos2x+!)<o.

一4

COSX

・•.g(x)单调递减，，g(x)Wg(0)=0.特上所述:a<3.

考试技巧18函数凹凸性解题技巧

%+x

凹函数：对于某区间内\/玉,尤2,都有2

2

凸函数：对于某区间内v%,%,都有

2

例.在口48。中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

因为函数y=sinx在区间(0,»)上是上凸函数，则

1..厂、/-，A+_B+C).7iA/3

(zsmAA+sinBD+sinC)<sinII=sm

即sinA+sinB+sinC<,当且仅当sinA=sin5=sinC时，即A=B=C=—时，取等号.

23

上述例题是三角形中一个重要的不等式：在口ABC中,sinA+sinB+sinCW士叵.

2

例.丹麦数学家琴生(Je“se”)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等

式方面留下了很多宝贵的成果.设函数广⑺在3切上的导函数为了'(X),/(0在(。力)上的导函数为片(刈，

若在(a,b)上〃(x)<0恒成立，则称函数/⑺在(。,切上为“凸函数”.B^/(x)=eT-xlnx--x2^(l,4)±

为“凸函数”，则实数功的取值范围是()

/-；,+00

A.(e-1,+8)B.[e-1,+8)C./一；,+00D.

因为f(x)=ex-xinx-—x2,

所以ff(x)=ex-(l+\nx^-rrvc=ex-nvc-\nx-l,

f\x)=ex-m-1,

x

因为/(尤)=/-如%-万一在(1,4)上为“凸函数”，

所以尸'(%)=，-〃z-。对于xe(1,4)恒成立，

X

可得相>ex--对于xe(l,4)恒成立，

X

令g(x)=e「J,则〃?>g(x)…

因为g'(x)=e，+：>0,所以g(x)=e*—-在(1，4)单调递增,

所以g(x)max<g(4)=eJ；,

所以〃zWe",

【答案】C

考试技巧19洛必达法则解题技巧

法则1若函数4A)和以用满足下列条件：

(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；

XTax-^a

(2)在点a的去心邻域内，4A)与以A)可导且9国片0；

那么哽fi就x)=nm44

ig'(x)

法则2若函数4㈤和以㈤满足下列条件：

(1)=oo及limg(x)=8；

x—>a')x—>a')

⑵在点a的去心邻域内，4A)与以A)可导且且(用力0；

(3)lim—=I,

fg(%)

可i//r/(x)/(%)8旬

那么hm—^=hrm—^=/z。一型

ig⑴ig(%)8

InxI]nxk

例.(全国高考)已知+->--+-恒成立，求k的取值范围

x+1Xx-1X

Inx1]nxk72xlnx〕,、2xlnx,

解:+->--+_+l记gM=-~+l,

x+1Xx-1x1-xr1-xr

2(x2+l)lnx+2(l-x2)2(X2+1)

贝(1g(%)

h、+xF+1〕,

1-x2

记A(x)=lnx+

x2+l

,1©(1-x2)

则h(x)=——~~-y=-^~~^〉0

X(l+X?)X(l+Y)

所以，h(x)在(0,+s)单调递增，且〃(l)=0

所以xe(0,1)时,h(x)<0,XG(1,+co)时，h(x)>0

即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增

所以

2xlnx

k<limg(x)=lim+1

X―MX―^11-x2

2xlnx2+21nx

lim+1lim+l=l—l=0

%-11-x21-2x

所以k<0

分析

2xInJC

上式中求lim——+l用了洛必达法则当X-1时，分子2xlnx-0,分母l-x2^0,符合

II—/r

0〜…―一~「2xlnx_2+21nx

八不定形式，所以lim-———=hm——-——=-!1

0%41一f一-2x

例.(全国高考)Vxe(0,+a)),/—l—x—。好》。恒成立，求&的取值范围

x--1

解：€X—1—X—a%??。Q<-e----x-----

X

x-X-]

记g(x)=-e----5—，

记h(x)=xex-2ex+x+2

贝!]"(x)=xex-ex+1

h(x)=xex>0

所以，"(x)在(0,+8)单调递增，所以h'(x)>h'(0)=0

所以，h(x)在(0,+s)单调递增，所以用»〉丸(0)=0

即在(0,+s)上g'(x)〉0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增

所以

x-X-]xx1

a<limg(%)=lime_=lime=lime=

%.o%.o%，%.o