2025高考数学一轮复习：椭圆【含答案】

对点练60椭圆

【A级基础巩固】

22

1.椭圆言+女=1上点尸到上焦点的距离为4,则点P到下焦点的距离为（）

A.6B.3

C.4D.2

?2

2.“4<女<10”是“方程亡+弥耳=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

V2V2

3.（2023・新高考I卷）设椭圆Ci：u+〉2=l（a>D，Q：五+V=1的离心率分别为

ei,ei,若62=小61,则a=（）

A.辛B,V2

C.小D.y[6

2

4.（2021•全国乙卷）设3是椭圆C：x彳+>2=1的上顶点，点p在C上，贝1]|尸引的最

大值为（）

A.1B.y/6

C.\[5D.2

5.（2024•苏州四市统考）已知椭圆C：孑+:=1（0<6<2）的左焦点为〃是C上

的动点，点N（0,小），若|MN|十|"W的最大值为6,则C的离心率为（）

A.gB.^

23

C3D4

6.（多选）（2024.石家庄调研）如图所示,用一个与圆柱底面成《0〈词角的平面截圆

柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,则下列结论正确的是（）

A.椭圆的长轴长等于4

、历

B椭圆的离心率为学

27

C椭圆的标准方程可以是++5=1

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-273

7.（多选）已知椭圆E：^+^=1的左、右焦点分别为A,F2,左、右顶点分别为

Ai,4.P是椭圆上异于Ai,4的点，则下列说法正确的是（）

的周长为4

B.APF1F2面积的最大值为小

C.国1+戌2|的最小值为2小

D.若△以必2的面积为2,则点P的横坐标为土坐

8.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点卜|,|）,（小，一小），

则椭圆的方程为.

9.已知椭圆?+y2=i的左、右焦点分别为乃，F2,过八作直线交椭圆于A,5两

点，若五2为线段的中点，则△ABB的面积为..

?2

10.（2024.济南质检）已知椭圆%+%=13＞。＞0）的右焦点为F（c,0）,上顶点为A（0,

b）,直线上存在一点尸满足（砂+或）4＞=0,则椭圆的离心率的取值范围为

72

11.如图所示，已知椭圆了+方=13＞。＞0）,F1,仍分别为椭圆的左、右焦点，A

为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点3.

(1)若NBA3=90。，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2,且祓=2助，求椭圆的方程.

12.已知椭圆E：，+，=l(a>0>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构

成等腰直角三角形.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)如图，若直线/与椭圆相交于A,B,且A3是圆M：(x—1)2+。+1)2=5的一

条直径，求椭圆E的标准方程.

【B级能力提升】

13.(2023•全国甲卷)设。为坐标原点，F\,改为椭圆C：卷+着=1的两个焦点,

3

点尸在C上，COSZFIPF2=5，则|0尸|=(

13

AA-TB.

*

。5

14.已知椭圆A：16x的焦点到准线的

距离，椭圆A的离心率是方程2f—3小x+3=0的一个实数根.

(1)求椭圆A的方程;

(2)若及分别是椭圆的左、右焦点，“是椭圆上的一点.求加1•击的取值范

围.

对点、练60椭回答案

92

1.A［由椭圆方程读+去=1，

得次=25,即a=5,

设下焦点为Fi,上焦点为Fi,

则归为|+|「仍|=2。=10,

因为|P尸2|=4,所以|P尸i|=6,

即点P到下焦点的距离为6」

,,俨一4〉0,

2.B［若方程冷+需7=1表示焦点在y轴上的椭圆，则110—%>0,解

上——410—K'

〔10—左〉女一4,

得4〈kV7,

92

故"4〈女<10”是“方程/+77匕=1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充

分条件.］

3.A［由已知得e尸写I62=耳=坐,

因为ei=y［3ei,所以坐=市X"^^,

解得。=亭」

一

4.A［法一(消元转化法)设点P(x,y),则根据点P在椭圆会+y2=i上可得一

=5—5y2.易知点5(0,1),所以根据两点间的距离公式得

|P3|2=f+(y—1>=5—5/+(y—I)2

(、2

=—4y2—2y+6=—4卜+/+y.

当y+1=0,即y=—/满足|y|Wl)时，|PBF取得最大值,，所以|PB|max=|.

法二（利用椭圆的参数方程）因为点尸在椭圆1+产=1上，

所以可设点P（小cos仇sin。）.

易知点3（0,1）,所以根据两点间的距离公式得

|「那=（小cos8）2+（sine-1）2

=4cos20—2sin6+2=—4sin20—2sin8+6

=—{sin0+^+^.

易知当sine+1=0,即sin6=—1时，|P3|2取得最大值今，所以|PJB|max='|.］

5.B［设椭圆C的右焦点为F,

由椭圆的定义，^\MF\+\MF'\=2a=4,

所以|MF|=4一|"严，

所以\MN\+\MF\=\MN\~\MF'\+4

W|N严+4,

当且仅当M,N,〃三点共线时等号成立，

则由题意，知此时|N/廿4=6,

即|N严=q（0—C）2+（小—0）2=2,解得c=1,

所以e=a=2^

6.CD［设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为0,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底

面上的投影为圆柱底面圆直径，

JT4

则由截面与圆柱底面成锐二面角6=］得2a=a/=8,解得。=4,A不正确；

显然6=2,则0=y。2一,二2小,离心率e=\=坐，B不正确；

当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭

22

圆的标准方程为春+1=1,C正确；

lo4

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a—c=4—2小，D正确.］

7.BC［由题意得a=2,b=y/3,c=l,0）,F2（l,0）,短轴的一个端点

32（0,小），如图所示.

对于A,|P尸1|+尸园=2。=4,

故△PRLF2的周长为4+2=6,故A错误；

对于B,利用椭圆的性质可知△PBR2面积的最大值为92*小=小，故B正确;

对于C,|滋i+戌2|=2|舒|,

设尸(2cos仇^3sin0),

从而|丽＞|=yj4cos20+3sin2/9=^/3+cos20^3,

所以由1+戌2|min=24，故C正确；

对于D,因为SAFA1A2=^|AiA2||yp|=

2\yp\=2,所以网=1,

则竽+1=1,解得xp=土斗^,故D错误.]

2

8忐+看=1[设mx+盯2=1（机，n>0,m^ri）,

由卜-i)y,解得「

l3m+5n=l,"=而

所以椭圆的方程为显+>L]

9.小[由题意可知B(一小，0),F2他,0),

因为点八为线段A3的中点，

2b2

所以所以履3|=二一=1,

所以SAAFIB=1|A5|-|FIF2|=V3.]

10.咛2，1][取AP的中点Q,

则吨=；湃+两，

所以（成+前）•屈=2或％>=0,

所以RQLAP,所以△AFP为等腰三角形，

即附|=尸尸|,且照|=亚不?=。

出

因为点尸在直线x=i"上，

a乙2a乙2

所以尸尸伊（一c,即a》《一c,

2

所以所以e2+e—1N0,

解得e酷’21或eW—当一~

又0<e<1,故，之£e<l.]

11.解（lY：\AFi\=\AF2\=a,

且NBAR2=90°,/1b|=2。，

・・・2〃2=4。2,：.a=y[^c,；.e=.

（2）由题知A（0,b）,尸2（1,0）,设5（%,y）9

Q1

由翁2=2疫，解得x=5，y=—2，

9尤

丫244

代入u+%=l，得了+烹=1，

91

即4片+4=1，解得。2=3,

b2=a2—c2=2.

22

.•.椭圆方程为5+5=1.

12.解（1）由题意不妨设椭圆上的点尸的坐标为修，代入椭圆方程可得（十条

=1,

即/=3〃，.•./=3。2=3（/一，），

：.2a2=3c2,离心率e=坐.

22

⑵由⑴得椭圆E的方程为品十方=1,

易知直线/的斜率存在，设其方程为

y=k（x—l）—l,A（xi,yi）,B（X2,y2）.

y=k(%—1)—1,

联立

x1+3y2=3b2,

.,.(3^+1)?-6k(k+1)x+3(左+1产-3〃=0.

6k(左+1)3(左+1)2~3b2

•*.Xl+%2=X1X2=

3庐+13^+1

、।116—9~2

XI\X2=2,.・%=],••X1X2~~9

则\AB\=11+左2.(%1+%2)2—4%1%2

・"2=¥，则42=10,

22

椭圆E的标准方程为吉+方=1.

T

13.B[依题意tz=3,b=乖,c=yja2—b2=yl3.

如图，不妨令不（一审,0）,

放（小，0）.

设IPRll=m,

\PF2\=n,在△BPR2中，

由椭圆的定义可得m+n=2a=6.@

由①②，解得加〃=券.

法一设