2025高考数学一轮复习：新高考新结构命题下的导数解答题综合训练（学生版）

第17讲新高考新结构

命题下的导数解答题综合训练

(11类核心考点精练)

I他.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。导数版块作

为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，

易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，导数版块也可能被置于第18、19题这样的压轴题中，此时的分

值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，

以期在新高考中取得更好的成绩。

12•考点梳理

考点8利用导数解决隐零点问题

考点一、利用导数研究具体函数的单调性

1.（2024・湖南邵阳•三模）已知函数/（6=-；/+/+1.

⑴求函数〃尤）的单调递增区间；

（2）若函数8（力=〃力-左（丘2有且仅有三个零点，求上的取值范围.

2.（2024•浙江•三模）已知函数“X）二e：；T

⑴求函数〃尤）的单调区间；

⑵若曲线y=在点（0,0）处的切线与二次曲线y=^+（2a+5）x-2只有一个公共点，求实数a的值.

3.（2024•湖南邵阳•三模）已知函数〃x）=21-：x+ageR）

⑴若。=2,求的单调区间.

（2）若对Vxe（0,+co）,恒成立，求实数”的取值范围

2

4.(2024・陕西渭南•二模)已知函数/Xx)=xlnx,g(尤)=也义_》+上

XX

⑴求函数g(无)的单调区间；

(2)若当X>0时，〃£一6,"7叭》)恒成立，求实数”Z的取值范围.

5.(2024・湖南衡阳•模拟预测)函数/(x)=(flx+l)lnx-依+21na.

⑴当a=2时，讨论“X)的单调性；

⑵/(X)在(0,+8)上单调递增，求。的取值范围.

6.(2024・广东佛山•二模)已知f(x)=——e~A+4e'—ax—5.

⑴当。=3时，求的单调区间；

(2)若有两个极值点耳，巧，证明：/(^)+/(%2)+^+%2<0.

7.(2024•河北保定・二模)已知函数/(x)=(x-2e2)lnr-ar-2e2(aeR).

⑴若。=1,讨论〃尤)的单调性；

(2)已知存在不«14),使得在(0,+“)上恒成立，若方程了(%)=-卢—2e%°有解，求实数上

的取值范围.

8.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃x)=e2工-电山+生(租eR).

XX

⑴若力=2e"求〃％)的单调区间；

⑵若机=0,7(%)的最小值为了(%()),求证：4<"。)<6.

9.(2024•浙江•模拟预测)已知函数”x)=4(e'+sinx)-x-l.

⑴当时，求〃力的单调区间；

(2)当。=1时，判断了⑺的零点个数.

10.(2024・全国•模拟预测)已知函数/■(x)=e2-aln(x+l).

⑴若a=2,讨论〃尤)的单调性.

(2)若兀>0,a>l,求证：f(x)>--a\na.

考点二、利用导数研究含参函数的单调性

2

1.(2024•广东汕头,三模)已知函数/'(x)=lnx-ax,g(x)=一,a*0.

ax

⑴求函数的单调区间；

⑵若/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

3

2.(2024・陕西榆林•模拟预测)已知函数〃x)=e'+(a-l)x—l,其中aeR.

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)当。=2时，证明：/(x)>%liu-cosx.

3.(2024-江苏苏州•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+ar+l,aeR.

(1)讨论的单调性；

(2)当aW2时，证明：^^<e2x.

X

4.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(兀卜4工+以一工一!]!%(〃wR).

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)当0<a4；时，求证：f(x)>2a-^-+l.

5.(2024・山西吕梁•三模)已知函数/(x)=_r2-2x+alnx,(aeR).

⑴讨论函数的单调性；

⑵若对任意的石，龙2«0，")通力马，使""」>0恒成立,则实数。的取值范围.

石-x2

6.(2024•广东东莞•模拟预测)已知函数/(x)=；x2+(i_Q)x_“]nMa£R).

⑴求函数〃%)的单调区间；

⑵当a>0时，求函数“力在区间[1,同上的最大值.

“3

7.(2024•宁夏吴忠•模拟预测)已知函数/(%)=盘-.

(1)讨论“力的单调性;

(2)证明：当〃>0时，/(x)>2\na-a2.

8.(2024•山东青岛•二模)已知函数f(x)=\nx+ax2-x+a+\.

⑴证明曲线y=/(x)在％=1处的切线过原点；

⑵讨论〃%)的单调性；

9.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)亘知函数/(乃=2阻+:「3-2次-4(。物1i).

e

⑴求函数〃无)的单调区间；

(2)若ae(ro,2e),求函数f(x)在区间xe(-co,2]上的零点个数.

10.(2024•新疆•三模)已知函数〃x)=(xT)e-■|x2+a.

⑴讨论的单调性；

(2)若f(x)有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

4

考点三、利用导数求极值与最值

1.(2024•广东东莞•模拟预测)已知函数〃尤)=；/+(1-a)x-alnx(aeR).

⑴求函数〃尤)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数〃x)在区间［l,e］上的最大值.

2

2.(2024•江苏南京•二模)已知函数/(尤)=土二色土£,其中aeR.

ex

(1)当，=0时，求曲线>=/(%)在(1］⑴)处的切线方程；

(2)当a>0时，若/(x)在区间［0,。］上的最小值为工，求。的值.

e

3.(2024.河南.模拟预测)已知函数〃x)=g^(a*0,acR).

⑴求〃x)的极大值；

⑵若a=l,求g(x)=/(x)-cosx在区间,2024兀上的零点个数.

4.(2024•湖南长沙•三模)已知函数〃无)=龙+111(依)+』龙1(a<0).

⑴求函数〃x)的极值；

(2)若集合｛无/(尤"-1｝有且只有一个元素，求。的值.

5.(2024•河北保定•三模)已知函数/(x)=x2-ax+lnx,x=l为八>)的极值点.

⑴求。；

(2)证明：/(X)<2X2-4X.

6.(2024•北京顺义•三模)已知函数〃尤)=xln(2x+l)-加.

⑴求曲线y=〃x)在点(。,〃。))处的切线方程；

(2)当a<0时，求证：函数f(x)存在极小值；

⑶求函数“X)的零点个数.

7.(2024•广西贵港•模拟预测)7知函数/(x)=ae"-1nx+比。+1.

X

⑴当。=1时，请判断了(X)的极值点的个数并说明理由；

(2)若/(x)22/_a恒成立，求实数a的取值范围.

8.(2024•吉林•模拟预测)己知函数〃尤)=(丁—CLX—(2)e,.

⑴当a=0时，求函数外力的极值；

(2)求证：当0<a<l,x>0时，f(x］>-^—.

a-1

5

9.(2024•四川攀枝花三模)已知函数/(x)=lnx+@-l(aeR).

X

⑴求函数了(无)的极值；

(2)设函数/(X)的导函数为7'(x),若广(占)=1(三)(x,^x2),证明：f(x1)+f(x2)+^->l.

10.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数，(力=23+3尤2-12;(:+〃?(〃2€1<)的一个极值为—2.

⑴求实数机的值；

(2)若函数/7(力在区间k,-上的最大值为18,求实数人与加的值.

考点四、利用导数证明不等式

L(2024•广西•模拟预测)设函数〃x)=lnx+6+6,曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为y=6x-3.

⑴求a,b的值；

2

(2)证明：f(x)>1.

2.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数〃x)=lnx+"+l,aeR.

⑴讨论的单调性；

(2)当a<2时，证明：工区We?。

X

3.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数/(x)=lnx-ln(x-l)-'.

x

⑴求/(X)的值域；

⑵求证：当TZEN*时，Zsin-----；<ln2.

1〃+1

4.(2024•河北•三模)已知函数/(%)=xlnx—办2+(2〃-1)%—a+l(〃£R).

⑴若/(x)40在［1,+8)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：++-^-+—>ln2.

n+1n+2〃+3n+n4n

5.(2024•四川内江•三模)已知函数/(x)=lnx+q—aM>0.

⑴若/(X)的图象不在X轴的下方，求“的取值集合；

(2)证明：sin--——l-sin--——F-■+sin——-——<ln2024(〃eN").

n+1n+22024〃v'

6.(2024・河北•模拟预测)已知函数〃x)=alnx-x.

⑴讨论〃尤)的单调性；

(2)证明：当a>0时，f(x)<W-1.

6

i3

7.(2024•重庆九龙坡,二模)已知函数/(X)=Inx+'X2一QX+万，(〃>0).

⑴当了w1,+8)时，函数外力20恒成立，求实数。的最大值；

⑵当〃=2时，若/(再)+/(%2)=°，且求证：玉+%>2；

(3)求证：对任意〃eN*,者B有21n(〃+l)+1^T]>n.

8.(2024・陕西•模拟预测)已知函数/(x)=alnx—x+l(tzeR),g(x)=sinx-x.

⑴讨论函数“力的单调性；

(2)证明：(几eN*);

(3)证明：ln2>sin^—+sin^—+sin^—++sin—(〃$N*).

n+1n+2n+32n

9.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(x)=e'-gx2—x.

⑴求函数/(x)在x=l处的切线方程.

⑵证明：Vxe[0,-Ko),/(x)>sinx.

10.(2024•山东•模拟预测)已知函数/(x)=edx2一网士2x+生土誓其中加片0.

⑴求曲线y=“X)在点(2,/⑵)处切线的倾斜角；

(2)若函数/(x)的极小值小于0,求实数机的取值范围；

⑶证明：2ex-2(x+l)lnx-x>0.

考点五、利用导数解决恒成立与能成立有解问题

1.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/(x)=lnx,g(x)=£-1其中。为常数.

⑴过原点作〃x)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若Hxe(O,y),使〃x)4g(x)成立，求。的最小值.

2.(2024.广东茂名.模拟预测)已知函数/(月=?.

⑴求曲线y=在点(e1(e))处的切线方程；

(2)当时，对'(无)4a(无2_1),求a的取值范围.

3.(2024•山东济南•三模)已知函数/(x)="+2'-2,其中a>0且awl.

⑴若“力是偶函数，求a的值；

7

(2)若x>0时，/(x)>0,求。的取值范围.

4.(23-24高三上•广东深圳,阶段练习)已知=.

⑴讨论〃尤)的单调性和极值；

(2)若xe(O,e]时，/(力(3有解，求。的取值范围.

5.(2024・全国♦模拟预测)已知函数f(x)=x2-2alnx-2(aeR).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若不等式V2(ln4+V一2x在区间(1,+8)上有解，求实数。的取值范围.

6.(2024・四川雅安•三模)已知函数/(x)=e"—«xco映g(x)=sinr-l.

⑴当a=l时，求函数“X)在xe[o,3上的值域；

⑵若关于x的不等式“x)+g(x”0在xe[o,3上恒成立，求实数。的取值范围.

7.(2024・浙江绍兴•二模)已知函数=q■-x+asinx.

⑴当a=2时，求曲线y=〃x)在点(。,〃。))处的切线方程；

(2)当x«0,兀)时，〃尤)>0,求实数。的取值范围.

8.(2024•浙江温州•模拟预测)函数f(x)=e"*inx

⑴求〃x)的单调区间.

⑵若/'(x)〈也+龙2在X20时恒成立，求。的取值范围.

9.(2024•山东•二模)已知函数〃彳)=如一1叭》€(1,+8).

(1)讨论的单调性；

(2)若"沙包〃尤丝f-x恒成立，求实数机的取值范围.

10.(2024•河北•二模)已知函数〃x)=e[

⑴求曲线y=在x=0处的切线/与坐标轴围成的三角形的周长；

(2)若函数〃尤)的图象上任意一点尸关于直线x=l的对称点。都在函数g(x)的图象上，且存在xe[0』)，使

/(x)-2exN〃?+g(x)成立，求实数机的取值范围.

考点六、利用导数研究函数的零点与方程的根

13

1.(2024・陕西安康•模拟预测)已知函数"x)=QXsinx

7

⑴证明：当xw[0,兀]时，e"—尤一12；

⑵求在区间[0,可上的零点个数.

8

2.(2024・广东汕头•三模)已知函数/(x)=xC.

⑴若曲线y=/(x)在尸-1处的切线与＞轴垂直，求y=/(x)的极值.

⑵若/(X)在(0,+8)只有一个零点，求a.

3.(2024•安徽芜湖・模拟预测)已知函数/(x)=e*-lnx+x2-av(awR).

⑴当“=0时，求函数AM在尤=1处的切线方程；

(2)若函数至多一个零点，求。的取值范围.

4.(2024•青海海西•模拟预测)己知函数〃x)=lru+q-3.

X

⑴讨论函数“X)的单调性；

(2)若函数/(x)有且仅有两个零点，求实数〃的取值范围.

5.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=(x-l)e=依二«eR.

⑴当时，求外力的单调区间；

⑵若方程/(x)+“=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

6.(2024,浙江温州•一模)已知了(尤)=e=(%＞0).

⑴求导函数广(x)的最值；

(2)试讨论关于x的方程/(司=履(左＞0)的根的个数，并说明理由.

7.(2024・全国•模拟预测)已知函数的图象在点(04(0))处的切线方程为2x+y+l=0.

ax+b

⑴求a,b的值；

(2)若/(x)=f7有两个不同的实数根，求实数加的取值范围.

2x-l

8.(2024•山东烟台三模)已知函数/(x)=x+ae%aeR).

⑴讨论函数〃x)的单调性;

X

(2)当。=3时，若方程+—b="7+1有三个不等的实根,求实数加的取值范围.

〃元）-X〃尤)

9.(2024•福建泉州•模拟预测)己知函数〃x)=V-依+2,aeR.

⑴若％=-2是函数/(x)的极值点，求。的值，并求其单调区间；

(2)若函数“X)在”3上仅有2个零点，求。的取值范围.

10.(2024•福建宁德三模)已知函数〃尤)=acosx-e'M(aeR)的图象在x=0处的切线过点(T,2).

⑴求/(x)在［0,%］上的最小值;

年，。)内零点的个数，并说明理由.

(2)判断“X)在

9

考点七、利用导数研究双变量问题

1.(22-23高二下•四川凉山•期末)已知函数f(x)=ln九-双-Z?.

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)若，(x)WO恒成立，求士的取值范围.

2.(2024高三•全国•专题练习)己知函数/(x)=-；x2+ov-lnx(aeR).

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵若函数/(无)有两个极值点和%(不<%),求证：4/(%))-2/(%2)<l+31n2.

3.(2024•四川德阳・二模)已知函数〃x)=lnx+x2-2ox,aeR,

⑴当4>0时，讨论“X)的单调性；

(2)若函数“X)有两个极值点%,当(菁<%)，求2/(占的最小值.

4.(23-24高三上•河南周口,期末)已知函数/(x)=cos尤一

⑴若在上单调递减，求机的取值范围；

1jr

(2)若〃?=一一，求证：/(%)>-;

71v4

⑶在(2)的条件下，若方程〃x)=r(x>0)两个不同的实数根分别为4，巧，求证：0</'(玉+%)<2.

5.(23-24高三上福建福州•期中)已知函数〃尤)=aln尤-云-：(％>0,。>0),，尸(无)为“力的导函数.

⑴当。=1时，讨论函数的单调性

(2)已知占,X?e(0,+oo)(%A/)，若存在6eR,使得了(%)=/(马)成立*求证：/<%)+/㈤>0.

6.(23-24高三下•北京•开学考试)已知〃x)=(x+l)e%,kwO.

⑴若左=1,求〃尤)在(0,〃。))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x)，求g(x)的单调区间;

(3)求证：当左>0时，V/n,MG(0,+oo),y(/72+7?)+l>/(«?)+/(«).

7.(2024•安徽阜阳•一模)已知函数y(x)=31nr-6.

⑴讨论〃x)的单调性.

⑵已知看,三是函数“X)的两个零点(占<*2).

(0)求实数。的取值范围.

(0)是“X)的导函数.证明：r[Ax1+(l-2)x2]<0.

10

8.(2023•浙江嘉兴•二模)已知〃尤)=e',g(x)=lnx.

⑴若存在实数。，使得不等式〃彳)-8(*怨〃。)-8(。)对任意苫«0,y)恒成立，求〃a)-g(a)的值;

(2)若1＜占＜々，设勺=/(…)一/02),,=8(%)一式“),证明：

k

①存在与«内,％2),使得合=x()・e”成立;

K2

9.(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)=l+2”.

⑴设函数8(尤)=产-；化＞0),若〃x)Wg(x)恒成立，求上的最小值；

KX

(2)若方程/(力=7"有两个不相等的实根4、々，求证：J三＜20-1nm.

x2%m

10.(2023•天津河西•模拟预测)已知函数F(x)=-nx+4(左eR).

ex

⑴若函数y=/(x)为增函数，求上的取值范围；

⑵已知0＜玉＜%.

eeix4s

(i)证明：--->-ln—7>1--.

(ii)若々=华=3证明：

e'e2

考点八、利用导数解决隐零点问题

1.(2024・浙江丽水•二模)设函数/(x)=e*-ln(x+a),aeR.

⑴当a=l时，求函数的单调区间；

⑵若对定义域内任意的实数尤，恒有求实数。的取值范围.(其中e=2.71828是自然对数的底数)

2.(22-23高三上•天津・期末)设函数/(无)=ln尤,g(x)=eA-bx,a,b^R,已知曲线y=/(x)在点

(i"(D)处的切线与直线％-y+i=o垂直.

⑴求a的值；

⑵求g(x)的单调区间；

⑶若bf^+bx＜xg(x)对Vxe(0,+8)成立，求6的取值范围.

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x—l)e“一ax—a.

⑴讨论函数〃x)的极值点个数；

11

(2)当a>0时，若实数对三满足〃为)=〃吃)，证明：土产卜0.

4.(2023•江西•模拟预测)已知函数〃x)=6x2+x—alnxT,且曲线y=〃尤)在点x=l处的切线的斜率为

12.

⑴求的单调区间；

(2)证明：V龙>0,有/(x)+x>4/恒成立.

5.(2024•山东枣庄•一模)已知/(x)=ln_x+gav2+无，aeR.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若Vxe(0,+co),/(x)+ax+lWx(e3x+；ax+lj,求”的取值范围.

6.(2024•北京朝阳•一模)已知函数“力=(1-办)e%aeR).

⑴讨论f(无)的单调性；

⑵若关于x的不等式>。(1-%)无整数解，求。的取值范围.

7.(2024•海南•模拟预测)已知函数/(x)=2e-2依,aeR.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

⑵若不等式〃力"2+"对任意xe(O,")恒成立，求a的取值范围.

8.(2024・山东•二模)已知函数/'⑺=人日一x-lnx.

(1)当。=小时，求的单调区间；

(2)当a>0时，f(x)>2-a,求。的取值范围.

9.(2024・辽宁抚顺•一模)已知函数=2ax.

⑴当a时，判断“X)的单调性；

(2)若xe(O,y)时，/'(X-l)21+liir-尤恒成立，求实数。的取值范围.

10.(2024•辽宁•一模)已知函数/(x)=blnx,g(x)=x2+ax(其中a,6为实数，且"0)

⑴当a=—l时，f(x)4g(x)恒成立,求6；

(2)当6=2时，函数G(x)=/(x)-g(x)有两个不同的零点，求a的最大整数值.(参考数据：In?。0.223)

考点九、利用导数解决极值点偏移问题

115e

1.(2024高三•全国•专题练习)S：iilS/(^)=ex--e%2--(x-1)3+—,%e[0,+a>).

⑴判断函数/(x)的单调性；

12

(2)若玉力%，且/(%)+/(%)=6e，求证：Xt+x2＜2.

2.(22-23高三上•辽宁丹东,期末)已知函数/(x)=e*-xlnx+r2-ax.

⑴证明：若aWe+1,则/(x)NO；

(2)证明：若AM有两个零点七，巧，则玉龙2＜L

3.(23-24高二下•云南•期中)已知函数〃%)=3近+/-4%(°＞0).

⑴当a=l时，讨论了(X)的单调性；

(2)当:时，若方程〃x)=b有三个不相等的实数根丹,X2，三，且改＜々＜毛，证明：£-玉＜4.

4.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数/'(x)=2xlnx-无2+1.

⑴证明：

(2)若。＜玉＜/，且证明：王+马＞2.

5.(22-23高三上,江西吉安•期末)已知函数/(x)=3alnx-(a-3)x,awR.

⑴当。=1时，求曲线g(x)=〃x)-31iu-sinx在x三处的切线方程；

(2)设玉，巧是〃(x)=〃x)-(3a-2)lnx-3x的两个不同零点，证明：a(x,+x2)＞4.

6.(22-23高三上•山西•阶段练习)已知函数/(%)=加+(。-2)尤一Inx(acR).

⑴讨论〃尤)的单调性；

2

(2)若有两个零点占,受，证明：xx+x2＞■=-.

7.(23-24高三上♦河南•阶段练习)已知函数/(%)=(尤-2乂e*-3(“eR).

⑴若a=2,讨论〃尤)的单调性.

(2)已知关于无的方程/(%)=(%-3)e*+2ax恰有2个不同的正实数根占,马.

(i)求。的取值范围；

(ii)求证:X1+X2＞4.

8.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数g(x)=lnx-G?+(2-a)x(aeR).

⑴求g(x)的单调区间；

⑵若函数/(x)=g(x)+(a+l)d-2x,%,%(0＜为＜%)是函数〃x)的两个零点，证明：/'［上产］＜0.

9.(23-24高三上•天津和平•阶段练习)已知函数°为实数.

2

(1)当a=§时，求函数在x=l处的切线方程；

(2)求函数/⑺的单调区间；

⑶若函数〃尤)在x=e处取得极值，/(x)是函数〃x)的导函数，且/(再)=/'(々)，&＜%，证明：

13

2<Xj+x2<e.

10.（2023,辽宁阜新•模拟预测）已知函数/（0=3+办

⑴若a=—2时，求〃x）的最值；

（2）若函数g（x）=〃x）-且占，龙2为g（x）的两个极值点，证明：g（%）+g（龙2）>2

考点十、导数与其他知识点杂糅问题

L（2024•河北•三模）现随机对N件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的

概率均为

⑴当N=20时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为7•（?）,求的最大值点P。；

⑵若这N件产品中恰好有Af（OWMWN）件不合格，以（1）中确定的P。作为P的值，则当M=45时，若以

使得P（M=45）最大的N值作为N的估计值，求N的估计值.

2.（高二•全国•课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一

种名为“刍薨"的五面体."刍薨"字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上

部屋顶和下部主体两部分组成.如图2,屋顶五面体为刍薨"，其中前后两坡屋面向E和CDE厂是全等的

等腰梯形，左右两坡屋面E4D和EBC是全等的三角形，点尸在平面ABCD和BC上射影分别为M,已

知HM=5m,BC=10m,梯形ABEE的面积是二FBC面积的2.2倍.设0<0<5•

（1）求屋顶面积S关于。的函数关系式.

（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为M左>°），下部主体造价与其高度成正比，比例系

数为16K.现欲造一栋总高度为6m的别墅，试问：当6为何值时，总造价最低？

3.（2023・浙江•一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略,

混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的

人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为目前，

我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数/（X）=!+KX,这里X指该组样本N个人中患病毒的人数.

⑴证明：E[f（X^>^-N.

（2）若0<p<10，10<^<20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人

为阳性.

14

4.（2023・河北•模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练

第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练

上一次是传给某运动员，则这次有31的概率再传给该运动员，有弓2的概率传给另一位运动员.已知教练第一

次传给了甲运动员，且教练第W次传球传给甲运动员的概率为p„.

⑴求P2，P3；

⑵求P„的表达式；

〃1

（3）设为=|2p“_l|,证明：22（^1-<?,）（sinQM-SIN-

i=\1+'

22

5.（2024•福建福州•模拟预测）点P是椭圆E：=+==1（a>力>0）上（左、右端点除外）的一个动

ab

点，耳（-c,0）,巴（。,0）分别是E的左、右焦点.

⑴设点尸到直线/：x=且的距离为d,证明巴为定值，并求出这个定值；

cd

（2）ZV^^的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G,I,已知直线/G垂直于x轴.

（0）求椭圆E的离心率；

（0）若椭圆E的长轴长为6,求△2£工被直线1G分成两个部分的图形面积之比的取值范围.

6.（2024•湖南岳阳•三模）已知ABC的三个角A,8,C的对边分别为a,6,c且c=2）,点。在边BC上，AO是

NBAC的角平分线，设AD=fc4C（其中化为正实数）.

⑴求实数上的取值范围；

⑵设函数/（x）=^-ax3+cx-g

①当左=手时，求函数/（X）的极小值；

②设%是/（X）的最大零点，试比较X。与1的大小.

7.（2024・全国•二模）如图，过点。（L⑹的动直线/交抛物线C:y2=2px（p>0）于AB两点.

（1）若求C的方程；

（2）当直线/变动时，若/不过坐标原点。，过点A3分别作（1）中C的切线，且两条切线相交于点"，问:

是否存在唯一的直线/,使得ZAMD=ZBMD?并说明理由.

8.（2024•山东青岛・三模）已知0为坐标原点，曲线f（x）=cAnx在点P（l,0）处的切线与曲线

15

g(x)=e'+6在点。(0,1+6)处的切线平行，且两切线间的距离为e，其中b>0.

⑴求实数a,b的值；

(2)若点N分别在曲线y=f(x),y=g(x)上，求ZONP与NOMQ之和的最大值；

⑶若点AB在曲线y=/(x)上，点C,D在曲线y=g(x)上，四边形ABCD为正方形，其面积为S,

附:In2=0.693.

9.(2024•福建泉州•模拟预测)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每

个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉

下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块.....第〃块，

将前迨=1,2,3,…,切块铁块视为整体，若这部分的重心在第％+1块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的

上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第"块比第”+1块向桌缘外多伸出的部分的最

大长度为《，则根据力学原理，可得%=；，且｛'｝为等差数列.

a

4n

I第〃块

力|第〃+1块

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)记数列｛4｝的前〃项和为5“.

①比较S“与JlnS+l)的大小；

②对于无穷数列｛七｝,如果存在常数A,对任意的正数£,总存在正整数%,使得上-川<£,

则称数列｛%｝收敛于A,也称数列｛%｝的极限为A,记为螃x“=A;反之，则称"“｝不收敛.请根据数列

收敛的定义判断｛5｝是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题.

10.(2024•重庆渝中•模拟预测)(1)证明：当x>0时，%-—<sinx<%；

(2)已知正项数列｛4｝满足“向二0一窘1

(i)证明：数列｛"4｝为递增数列；

(ii)证明：若0<q〈百，则对任意正整数"，都有如"〈尸y.

J—〃]

16

考点十一、利用导数研究函数新定义问题

1.（2024•山西•三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，

其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：

如果函数/（无）在闭区间可上连续，在开区间（。，加可导，导数为了'（X）,那么在开区间（。力）内至少存在一

点c,使得尸©=〃?一/（"）,其中c叫做了⑺在［a,句上的"拉格朗日中值点”.已知函数

b-a

/（X）="应InX+/（尤_4）心-：x3+［也产］X2.

⑴若a=-1,8=0,求函数/（X）在［1,7］上的“拉格朗日中值点"后；

⑵若。=-1乃=1,求证:函数/⑺在区间（0,+8）图象上任意两点A,B连线的斜率不大于18-r；

（3）若4=1,6=-1,\/王,心,无3€（1』］,且&</<工3，求证：'（"）’（无’>'（%）1（"）.

14Jx2-xxx3-x2

2.（2024•广东•二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数〃尤）在闭区间［4,可

上的图象连续不断，在开区间®与内的导数为/（左）,那么在区间（。力）内存在点J使得

/㈤-〃a）=/'©0-a）成立.设〃x）=e，+x-4,其中e为自然对数的底数，e«2.71828.易知，/（%）

3

在实数集R上有唯一零点小且一

⑴证明：当xe（r,r+g）时，0</（x）<l；

⑵从图形上看，函数/（X）=3+x-4的零点就是函数〃x）的图象与x轴交点的横坐标.直接求解

〃x）=e'+x-