2025高考数学一轮复习：直线方程及直线间的位置关系（学生版）

第01讲直线方程及直线间的位置关系

（7类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分已知点到直线距离求参数余弦定理解三角形

切线长

求点关于直线的对称点

2023年新II卷，第15题,5分由直线与圆的位置关系求参数

直线关于直线对称问题

2022年新II卷，第3题,5分已知斜率求参数等差数列通项公式的基本量计算

2022年全国甲卷（理科），

已知两点求斜率求椭圆的离心率或离心率的取值范围

第10题,5分

2022年全国甲卷（文科），

求平面两点间的距离由圆心（或半径）求圆的方程

第14题,5分

2021年新II卷,第3题,5分己知点到直线距离求参数根据抛物线方程求焦点或准线

2021年全国甲卷（文科），

求点到直线的距离已知方程求双曲线的渐近线

第5题,5分

2021年全国乙卷（文科），

求点到直线的距离求双曲线的焦点坐标

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分

【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系

2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用

3.熟练掌握距离计算及其参数求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

12•考点梳理

知识讲解

1.两点间的距离公式

A（Xi，yJ，B（X2,y2）,|Aq=J（々—％y+（%—X）?

2.中点坐标公式

X]+x2

A（Xi，%）,B（x2,y2）,加（%,丁0）为AB的中点，则：＜2

M+为

%=

2

3.三角形重心坐标公式

x

）（国,必）,B（X2,%）,C&，乃）,河（o，%）为AA3建心

xx+x2+x3

3

H+为+%

%=

3

Z+Z?+Z3

3

4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

2

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>0,直线递增，k<0,直线递减,

（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为［0,%）

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

与旦

tan®01V3不存在-V3-1

33

5.两点间的斜率公式

3（%2。2），kAB=~''

6.直线的斜截式方程

y=kx+b,其中人为斜率，匕为y轴上的截距

7.直线的点斜式方程

已知点尸（为,光），直线的斜率左，则直线方程为：y-y0^k（x-x0）

8.直线的一般式方程

Ax+By+C^O（A2+B2^0）

9.两条直线的位置关系

（1）平行的条件

k=k

①斜截式方程：k：y=kiX+h，I?y=k?x+b2,2

也产仇

”2=46

/1//Z<=><

②一般式方程：4：^x+Bly+C1=0,Z2:A2x+B2_y+C2=0,2

A[C2hA,C1

（2）重合的条件

K—左2

①斜截式方程：4y=匕x+伪，4：y=左2%+为，4/2重合=<

b[=瓦

②一般式方程:

A8=A,耳

4:A/+gy+G=0，I、：A2x+B2y+C,=0,《,台'<

=4G

(3)垂直的条件

①斜截式方程:4y=k1x+b1,/2:y=k2x+b2,”域=kxk2=-1

②一般式方程：

/):A^x+5y+G=0,I,:+B2y+C,=0,/]_!_/,AB?=0

10.点到直线的距离公式

点尸(公,%),直线/：Ax+3y+C=0,点到直线的距离为：1=邑兰匹

6+笈

11.两条平行线间的距离公式

3

,Iq-cd

I、:Ax+By+G=0,：Ax+By+C?—0,d——,

一一VA2+34B2

考点一、直线的倾斜角与斜率

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）直线》-'+1=0的倾斜角.

2.（23-24高二上•青海西宁•阶段练习）已知42犯2）,3（4,-1）。＜-附三点在同一条直线上，则实数加的

值为-.

3.（23-24高二上•山东枣庄•阶段练习）经过4（1,〃?）,3（加-1,3）两点的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范

围是■

4.（23-24高二上.福建厦门・期中）已知两点A（-3,2）,*2,1）,过点尸（0,-1）的直线/与线段A8（含端点）

有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.(^»,-l]U[l,+°°)B.[T1]

-0O,-|ju[l,+oo)

C.D.-?1

即时投丈

1.（2024高三・全国•专题练习）直线％sin2—ycos2=。的倾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

2.（2024・河南信阳・二模）已知直线2x-y+l=0的倾斜角为。，则tan2a的值是.

3.（2022・上海•模拟预测）若2=（2,-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为.

考点二、直线的5种方程

典例引领

1.（22-23高三•全国•课后作业）经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是.

2.（22-23高二上•山东日照•阶段练习）过点4（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是

3.（22-23高二上•广东江门,期末）直线百x+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

Q-T1-

4.（24-25高三上•湖南长沙,开学考试）过点（T,2）,倾斜角为方的直线方程为（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x-y+l=0

4

5.（20-21高一•全国・单元测试）如果4c<0,BOO,那么直线4+珍+。=0不通过（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

即时检测

3

1.（2024高三•全国•专题练习）过点A（0,2）且倾斜角的正切值是y的直线方程为（）

A.3x-5y+10=0B.3x-4y+8=0

C.3x+5v-10=0D.3尤+4y-8=0

2.（21-22高二上•湖南•阶段练习）已知直线/过点G。,-3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-ll=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0

3.（23-24高二上•陕西•阶段练习）直线尤-2y-2=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为6,则（）

A.a=2,b=lB.a=2,b=—l

C.a=-2,b=lD.a=—2,b=—l

4.（2024高三•全国•专题练习）已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为屈，则直线/的

方程为（）

A.1=6龙+^/^7B.y—6x+6

C.y=6x±6D.y=6x—6

5.（18-19高一下,福建莆田•期中）如果4c<0且*C<0,那么直线Ax+5y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点三、两直线平行求参数

典例引领

1.（23-24高三上■陕西西安■阶段练习）已知直线加r+2y+加+2=。与直线4x+（m+2）y+2〃?+4=0平行，

则m的值为（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

2.（2024•全国,模拟预测）已知直线4：ax+3y—6=0,直线4：2x+（a—l）y-4=0,则"a=—2"是"4〃4"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5

即时检测

1.（2024嘿龙江哈尔滨・模拟预测）已知直线4：依+3〉-6=0,直线/2：21+5-1）尸4=0,则"4〃/2"是"4=3

或。=-2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023,河北保定■三模）已知直线45y—1=0,/2:3x—（a+2）y+4=0,"。=3"是"4〃4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点四、两直线垂直求参数

典例引领

1.（23-24高三下•江苏•阶段练习）已知直线4：Gx+3y+l=0,若直线4与4垂直，贝北的倾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.（23-24高三下•安徽芜湖■阶段练习）已知直线4y-3=0,6：（"7-2）3-y+l=0,则“加=1"是

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

♦♦即时检测

1.（2024・四川南充•一模）=是"直线乙：x+（w+Dy+l=。与直线4：（根+D尤-冲T=。垂直"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高三上•河北•阶段练习）已知直线4：ox+2y+6=。与直线4：bx-y+a=0垂直，则/十〃的最小

值为（）

A.2B.4C.6D.8

考点五、直线的交点坐标与距离公式

典例引领

6

r2v2_

1.（2024•广西柳州•模拟预测）双曲线土一匕=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.75B.4C.半D.2g

2.（2024•黑龙江吉林•二模）两条平行直线乙：尤+y+l=o,小x+y-l=0之间的距离是（）

A.1B.72C.20D.2

22

1.（23-24高二下•广西•开学考试）椭圆土+匕=1的上顶点到双曲线d-y2=［的渐近线的距离为（）

59

A.&B.—C.2D.-

22

2.（23-24高二上•河南•期中）若直线《：x+ay-2=0与/2：2x+（/+i）y-2=0平行，则两直线之间的距离

为（）

A.J2B.1C.—D.2

2

考点六、直线恒过定点问题

典例引领

1.（2022高三•全国•专题练习）已知直线（3〃—"）x+G〃+2〃）y-"=0则当相,“变化时，直线都通过定点—

2.（2024・重庆•三模）当点P（TO）到直线/：（3%+1）尤+（4+1）丫一（44+2）=0的距离最大时，实数；I的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

♦♦眼举w

1.（20-21高二上•安徽六安,期末）直线区-y+1-3左=0,当左变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

2.（23-24高三上•四川•阶段练习）已知直线/:（机+l）x-y-35-2=。，则点尸到直线/的距离的最大

值为.

考点七、直线综合问题

7

典例引领

1.（24-25高二上•江苏泰州•阶段练习）已知M（2,5）,N（-2,4）,动点尸在直线/:元-2,+3=0上.则|「闸+|城|

的最小值为.

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知直线4：Ax+稣y+£=o，（A，旦,GXo）与直线

k-.A.x+B.y+C,=0,（4，B2,C2^0）,则直线//关于'轴对称的充要条件是（）

c

.=\RA=耳

星JAB2

c_A=立力邑D_A=A=£.

A,B2C24B2C2

3.（24-25高二上•山东潍坊•阶段练习）点尸（-2,-1）到直线/:（1+34龙+（l+2）y-2-4/l=0（/UR）的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.后;2x-3y+l=0B.A/1T;3X+y-4=0

C.疝3x+2y-5=0D.A/TT;2尤-3y+l=0

4.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知点4（2,-3）,3（-5,-2）,若直线/:“+严相-1=0与线段A8

（含端点）有公共点，则实数根的取值范围为（）

43

A.

3,4

34

C.

453

即0唧（

1.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知平面上两点A（4,l）,3（0,4）,〃是直线3x-y-l=0上一动点，则

4HM同的最大值为（）

5L

A.-B.75C.2百D.5

2.（24-25高二上•四川成都,阶段练习）平面内四个点叫（0,3）,限（2,0）,此（4」）,此（6,4）分布在直线

/:'+8y+C=0的两侧，且两侧的点到直线/的距离之和相等，则直线/过定点（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

3.（24-25高二上,陕西西安•阶段练习）过点P（0,-l）作直线/,若直线/与连接A（-2,1）,网2指,1）两点的线

段总有公共点，则直线/的倾斜角范围为（）

8

4.（24-25高二上•福建厦门•阶段练习）经过点P（O,-D作直线/,若直线/与连接4（-2,1）,8（-!,-6-1）两点的

线段总有公共点，贝心的倾斜角a的取值范围为（）

八兀rn\rc兀M“兀3兀_,「八7T..2）71、

A.[0,—]B.[0,7i）C.[0,—]U（~?­]D.[0,—q]

『I好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•河南・三模）已知直线4+知+。=0与直线y=2x-3垂直，贝I]（）

A.A=-2B^0B.A=23w0

C.B=—2Aw0D.B=2Aw0

2.（24-25高二上•福建•阶段练习）已知直线/过点（m,3）和（3,2）,且在x轴上的截距是1,则实数机等于（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二下•山东枣庄•期中）若点尸是曲线y=/-lnx上任意一点，则点尸到直线y=x-4的最小距离

为（）

A.1B.V2C.2A/2D.4应

4.（2024•河南洛阳•模拟预测）"。=0"是"直线li-.x+2ay-2024=0与直线:-l）x+ay+2024=0平行”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024・安徽•模拟预测）"a=2"是"直线公+2y+2=0与直线x+（a-l）y+l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•贵州黔南•二模）已知直线>=x+2上与直线丁=-x的交点在圆/+尸=4的内部，则实数上的取值范

围是（）

A.—1<k<1B.—2<Zr<2C.一3<左<3D.—y/2.<<A/2

7.（2024・山东・二模）已知直线/与直线》->=0平行，且在,轴上的截距是-2,则直线/的方程是（）.

A.x-y+2=0B,x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

9

二、填空题

8.（2024・上海・三模）已知直线/的倾斜角为a,且直线/与直线机：x-V^y+l=0垂直，则々=

9.（2024•山东•二模）过直线尤+了+1=0和3x-y-3=0的交点，倾斜角为45。的直线方程为.

10.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线y=lnx在尤=2处的切线与直线ax-y+l=0垂直，则。=.

能力提升

一、单选题

1.（23-24高二上•江苏南京•开学考试）己知直线4：s+y+3=0和直线4：3tnx+（m-2）y+m-0,贝！|"M=5"

是乜〃小的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.（2024•河南郑州•模拟预测）已知直线小龙+阳+1=0与直线4：%+（1-2㈤「一3=0,则是

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）如图所示，已知点A（2,0）,B（0,2）,从点P（l,0）射出的光线经直线AB

反射后再射到直线上，最后经直线。8反射后又回到点尸，则光线所经过的路程是（）

4.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知直线4：尔+4丁+。1=0,（4,4，0户0）与直线

k-.A.x+B.y+Q=0,（A,S2,C2^0）,则直线//关于，轴对称的充要条件是（）

B「GR

BC4

22B2

c_A_竺D_A_A__^_

&B2C24B2C2

5.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知平面上两点A（4,1）,5（°，4）,M是直线3%-y-1=0上一动点，则

W到目的最大值为（）

5L

A.-B.75C.2百D.5

6.（2024•河南信阳•模拟预测）动点P在函数y=-«（x+l）的图象上，以尸为切点的切线的倾斜角取值范围

10

是（）

二、多选题

Q

7.（24-25高二上•江西赣州•阶段练习）若直线l1:y=--x+l,Z2:8x+15y+2=0,4:8x-15y+5=0则（）

Q

A.4的截距式方程为—x+v=lB.

C.乙与4之间的距离为1D.4与4的倾斜角互补

三、填空题

8.（24-25高二上广东广州•阶段练习）已知点P在直线尤-'-1=0上，点A。,-2）,5（2,6）,贝“尸国-已用的

最小值为,此时点P坐标为

9.（2024•河北•模拟预测）抛物线C:;/=4x上的动点p到直线y=x+3的距离最短时，P到C的焦点距离

为.

四、解答题

10.（24-25高