2025高考数学压轴专项题型训练：圆锥曲线与向量的交汇（含答案及解析）

专题10圆锥曲线与向量的交汇

一、考情分析

平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征，这类试题的常规形式是用向量形式

给出某些条件或结论，其难点往往不在向量上，对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相

应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问

题，使得这类问题成为高考命题的一个热点，且时常出现在解答题中.

二、解题秘籍

(-)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略

1.设"为直线/的方向向量，若㈤,则/斜率为心若”=。*0),则/斜率为一；

m

24、B、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则A、B、C共线：①蕊=2衣;②

OC=A,OA+〃08且4+〃=1;③OC=(OA+/IOB)/(1+/1)；@AB//AC.

3.42、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则C为线段AB的中点:①就=而;②

■1,——

OC=5(OA+OB).

4.在四边形ABC。中，若获•公=0,则A81AC;若IAB+AD\=|AB-AD\,!JliJAB1AD-

若Q•衣=加/，贝ijACLBD.

5.圆锥曲线中涉及向量相等，通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化，涉及向量共线问题，通项

利用非零向量a=(%,%),8=(%,%)共线-转化，涉及向量的数量积，通常利用

数量积的坐标运算进行转化.

6.圆锥曲线中两直线垂直问题，通常转化为两直线的方向向量的数量积为零，这样做可避免讨

论直线的斜率是否存在.

7.圆锥曲线中涉及数量积问题，通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐

标的表达式.

【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)己知两点“(0，-4),N(0,4),动点p

在x轴的投影为。，且PM-PN=3尸。°,记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程.

(2)过点尸(2面,0)的直线与曲线C在>轴右侧相交于A,8两点，线段AB的垂直平分线与x

AB

轴相交于点试问注7是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说明理由.

FH

【解析】(1)设P(x,y),则。(x,O),PM=(-x,-4-y),PN=(r,4—y),PQ=(O,—y).

因为PM-PN=3PQ2,所以丁+9-16=3/,

22

故c的方程为六-3=1.

(2)由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为0,

不妨设直线AB的方程为y=M尤

y=k(x-2y/6)

联立方程组12,2，消去V整理得(1-2左2)X?42%—48Z?-16=0,

----------=1

U68

A=384rt+(1-2S)(192左2+64)>0

-8疯2

则尤］+X,=--------------7->0，整理得k2>

1-1-2/l

-48左2-16

卒2=不了>0

2

x1+%4屈k%+y22限

2l-2k25-21-2/'

则线段AB的垂直平分线的方程为y+^^1

1+七］

1—ZKk［1-2日

令y肛得>-嘤厕上，匚6y/6至k2叶'

|6回|2何1+灯

|FH|=276

+1-242

\-2k2

、2

「8闹2-48r-16

=\/1+k2--4-

IEJ、一2k2

1384/J192左2+64)0-2^)8(1+S)

父•

=J1+(一()2)2

12/y+i-2t1-262

E—AB82A/6

贝!尸二----

J-F-H——2屈3

故儒是定值，该定值为争

(-)把点共线问题转化为向量共线

此类问题通常是把点A3,c共线转化为AB=/LBC,或点C在直线A8上.

-J

【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆C:「瓦=1(。>6>0)的左

、右顶点分别为A，4,右焦点为B（1,0），且椭圆c的离心率为;,MN为椭圆C上任意两点,

点P的坐标为（4J）（学0），且满足==

（I）求椭圆C的方程；

（2）证明：MEN三点共线.

【解析】（1）椭圆C的右焦点为尸（1，。）,且离心率为

2

222

。=2,。=1,则b=a-c=39

22

二椭圆C的方程为三+乙=1.

43

（2）由（1）知,4,4的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,设N®,%），

•*-4M=(玉+2,X),\P=(6,0,%N=(%2-2,%),4P=(2,0,

AiM=\MP,A2N=A2NP,

，4，%「三点共线,4出尸三点共线,即］；；：［年［；；,整理得3=萋|,两边平方得

2&32

9y；（再+2『%=3T

①又MN在椭圆上，则，，代入①并化简得

货一伍_2）2'

y；=3~|X2

2%马一5（玉+々）+8=0,

又FM=（x「l,y1），FN=lx?—1,y?）,

/\/、V,x—1X+2x-1

要证MEN三点共线，只需证力（％-1）=X（々T），即£=刀，只需证3点.2）=，

整理得2%龙?-5（占+%2）+8=0,

三点共线.

（三）利用向量共线求双变量的关系式

此类问题一般是给出形如=〃c的条件，确定关于4〃的等式，求解思路是利用两向

量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等，使用一个即可,

解题时哪一个简单使用哪一个），把4〃用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用

题中条件消去其他变量.

22

【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆C的方程为二+七=1（°>6>0），过椭

ab

圆左焦点K且垂直于X轴的直线在第二象限与椭圆相交于点尸，椭圆的右焦点为外，已知

tanZPF2F,=*椭圆过点4卜名：；

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过椭圆C的右焦点F2作直线/交椭圆C于48两点，交y轴于M点，若=4A6,

=求证：4+4为定值.

b2匕

【解析】(1)依题可知：PF=~._7_«2-C2_A/3,

tatan/0P玛FF耳=五"工^=记

所以12a2-12c2=2百ac,即6

解得.g

，则》J

又•椭圆C过点A=1

a2=b2+c2

a=2

c

联立可得b—\

a2

c=6

31

./+后=1

椭圆C的标准方程为三+y2=i.

4

(2)设点A(E，yJ、网％,%),F(右,0)

由题意可知,直线/的斜率存在，可设直线I的方程为y=k(xY),

y=左卜_@

222

联立x2，可得（4k+l）x-S^kx+12左2—4=0,

—+y2=1

14

由于点工在椭圆c的内部,直线/与椭圆C必有两个交点,

8辰212k2-4

由韦达定理可得X]+x2=

MA=4AF2,MB=4BE,,Af（0,y0）,

得（%，%-%）=4（若-玉，-%）,（尤2，%-%）=4（0-%，-%

24产-2（12%2-4）

...%+%=X]+%=石（%+Z）-2占％=4/+1—=_8

一y/3—xl\fi—x23-括（占+*2）+为龙2（1242_4）_24公

3+4^+1

（四）利用向量加法的几何意义构造平行四边形

若点A£CO满足AB+AD=AC,则四边形ABCD是平行四边形，涉及圆锥曲线中的平行四

边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.

【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆

C:[+£=1（〃>b>0）经过点M,左焦点川一6,0）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过点0（。,3）作直线/与椭圆C交于A,B两点，点N满足ON=。4+08（。为原点），求四边

形QS田面积的最大值.

【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,则c=Q,

又因为椭圆经过点所以9+）=1,

又〃2_/=（若）

.*.c2=3,a2=44=1,

所以椭圆C的方程为:+

（2）因为0N=0A+02,所以四边形。4NB为平行四边形,

当直线I的斜率不存在时，显然不符合题意;

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+3,

/与椭圆交于4（%,%）,如%%）两点,

y=kx+3

由|兀2n（1+4女2）炉+24^+32=0.

——+y-1

14,

由A=24?左2_128（1+4产）>0nF>2.

24人32

%1+x2=-

1+4左21+4左2

13

sOAB二万Q3诲—刘二万

34x

"S"=2sA0AB=31占f|=3"（占+毛）2-4占三=J（77^I-177^

,区左2—128（1+44?）_Ik2-2

V（1+4严y=：（1+4,产

令人2_2=t，则公=r+2（由上式知:>0）,

-S。…24篇］=24，：81W24总=2当且仅当,=J,即严=?>2时取等号.

V、7AI72+loZH44

:.当k=土叵时，平行四边形0ANB的面积最大值为2.

2

（五）把向量的数量积转化为代数式

若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件，通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.

22

【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线C:0-当=1（。>6>0）的

ab

-rr

右焦点为p（2,0）,0为坐标原点,双曲线C的两条渐近线的夹角为3.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点F作直线/交C于尸,。两点，在x轴上是否存在定点M，使MP-MQ为定值？若存在，

求出定点用的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.

【解析】⑴双曲线二-当=1的渐近线为y=±±x,

aba

hp）IT

又a>b>0,0<—<1,故其渐近线y=2兀的倾斜角小于二，而双曲线。的两条渐近线的夹

aa4

...71

角t为

hJT

则渐近线的y=2x的倾斜角为J,

a6

贝心=3,即°=耳.

a3

又1片+/=2,贝a=y/3,b=1.

所以双曲线C的方程是二-丁=1.

3'

（2）当直线/不与x轴重合时，设直线/的方程为x=ty+2,

代入9一丁=1，得（）+2）2-3y2=3,即（r一3）9+4少+1=0.

设点尸（西,m）,%），则%+%=一%为=/j-

设点“（〃?,。），则MP-MQ=（周一-：〃）+=（电+2）（吼+2-〃2）+yty2

4Z22

=（〃+1）%%+《2—机）（必+%）+（2—加）2=-^|-^_3^+（2-m）

（m2-3）r2-（3/n2-12m+ll）

t2-3

令3/—12m+ll=3（m2—3）,得根=g,

2

止匕时MPMQ=m2-3=——.

9

当直线l与X轴重合时，则点尸,Q为双曲线的两顶点，不妨设点P（-^,0），e（V3,0）.

对于点知［|刃）孙.0=（-若-1|=_|.

所以存在定点M匕，o）,使MP•MQ=疗-3=为定值.

（六）把垂直问题转化为向量的数量积为零

求解圆锥曲线中的垂直问题，通常可转化为向量的数量积为零，然后利用向量数量积的坐标运

算进行转化，这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.

22

【例6】已知椭圆C:=+多=1（。＞6＞0）的右焦点为P,椭圆C上的点到厂的距离的最大值

ab

和最小值分别为2+J§■和2-耳.

（1）求椭圆C的标准方程;

⑵若圆O：/+y2=/的切线/与椭圆c交于A,8两点,是否存在正数J使得Q4LO3?若

存在，求出厂的值；若不存在,请说明理由.

a+c=2+A/3

【解析】（1）由题意可得，解得a=2,<=若,

a-c=2-y/3

则〃=4一3=i,

所以椭圆方程为上+y2=l；

4'

（2）假设存在正数r，使得_LQB,即使得0A.08=0,当直线/的斜率不存在时，设直线/的

方程为x=r,

可得A（f,/己），即,-3式），因为・08=0,

22

贝加_/=0,解得/=±咨

45

又直线/为圆。：/+丫2=/的切线，所以r=拽；

5

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+m（m^0）,A（x.,%）,B（x2,%）,

y=kx+m

联立，可得（1+4/+8初吠+4（病-1）=0,

——+y=1

14'

2

则A=64严机2一16（1+4/）（根2-1）=16（4产-m+l）＞0,

所以4/一〃「+1>0,

口4（川—1）

8km5

-目.+X2=-]+4.241%2

1+4V

2

所以％%=（kx、+m）（.kx2+m）=kxtx2+km（x、+x2）+m,

因为0402=0,

2（2

则_kxYx2+kmx1+x2）+m_1

x}x2XfX2

）2

所以（左2+lXyX2+km®+x2）+m—0,

整理可得4左2+4=5病,

则£=±

Jil+k25'

所以替二管‘

因为直线/为圆O：/+V=/的切线,

故原点（。,。）到尸…的距离为「号岑,

所以存在正数厂=拽,使得QOOB.

5

三、跟踪检测

Y2y2

1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线及2=1（"0]>。）

ab

一个顶点为A（-2,0）,直线/过点。（3,0）交双曲线右支于M,N两点，记AMN,AAOM,

△AON的面积分别为S,R,S,.当/与x轴垂直时,S]的值为巫.

2

（1）求双曲线E的标准方程；

⑵若I交y轴于点P,PM=AMQ,PN=〃N。,求证：2+〃为定值；

⑶在（2）的条件下，若^|s=〃H+〃?邑，当5<448时，求实数机的取值范围.

2.（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为A（TO）,3（1,0）,

一个焦点为尸（0,1）.

⑴若直线I过点F且与椭圆交于C,。两点，当|CZ）|=当时,求直线I的方程；

⑵若直线I过点T（0,/）（?丰0）且与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P,直线AD与直线BC

交于点。，当点P异A,8两点时，试问。尸是否是定值？若是，请求出此定值,若不是，请说

明理由.

22

3.（2023届四川省成都市郸都区高三上学期检测）已知椭圆C:f+2=l（a>6>0）的离心

ab

率为3,短轴长为4.

2

⑴求椭圆C的方程；

⑵若过点P（O,1）的直线交椭圆C于两点，求0403的取值范围.

4.（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试）已知点AA分别是椭圆

22

「：\+?=1的左、右顶点，过「的右焦点P作直线/交「于两点，

⑴设直线AM,AN,BM的斜率分别为勺&&，求格和Y的值；

“3

（2）若直线AM,AN分别交椭圆「的右准线于P,Q两点,证明：以尸。为直径的圆经过定点.

22

5.（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线C:-—2=l（a>0,b>0）的离心

ab

率为当，点A（6,4）在C上.

⑴求双曲线C的方程.

⑵设过点3。,。）的直线/与双曲线C交于石两点，问在x轴上是否存在定点P，使得

PD-PE为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.

6.（2023届广东省茂名市高三上学期9月联考）如图，平面直角坐标系宜刀中，点。为了轴上

31

的一个动点，动点P满足|PO|=|尸。|=5,又点E满足尸石=5用2.

⑴求动点E的轨迹「的方程；

⑵过曲线r上的点（七%*0）的直线/与轴的交点分别为M和N,且

NA=2AM，过原点0的直线与I平行，且与曲线「交于B、。两点，求面积的最大值.

7.（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系xOy中，设点

点G与尸,Q两点的距离之和为g,N为一动点，点N满足向量关系式:

GN+GP+GQ=0.

⑴求点N的轨迹方程C；

⑵设C与x轴交于点A,B（A在8的左侧），点”为C上一动点（且不与A,2重合）.设直线

轴与直线x=4分别交于点氏S,取E（LO）,连接诙,证明：为的角平分线.

8.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图才用圆C：

（（a>6>0）,|44|=疗,凡是椭圆C的左焦点,4是椭圆C的左顶点,凡是椭圆C的上顶点,

且4月=片。，点尸5，。）（W丰0）是长轴上的任一定点，过P点的任一直线/交椭圆C于A8两

点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵是否存在定点Q（x0,0）,使得QA.QB为定值，若存在，试求出定点。的坐标，并求出此定值；若

不存在，请说明理由.

9.（2023届北京市第四中学高三上学期开学测试）已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C过

点）,离心率为孚点A为其右顶点.过点8（1,0）作直线/与椭圆C相交于E、F两点，直

线AE、AF与直线x=3分别交于点Af、N.

⑴求椭圆C的方程；

⑵求EM-FN的取值范围.

2

10.（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线c与双曲线行2-4=1有相同

的渐近线,且过点A（2鱼,-1）.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知0（2,0）,2尸是双曲线C上不同于D的两点，且万百㈤封=0,DG_LEF于G，证明：存在

定点"，使|GH|为定值.

22

11.（2023届四川省达州市开江县高三上学期考试）已知椭圆C:5+提=1（。>6>0）,片、F,

ab

为椭圆C的左、右焦点，过点耳的任意直线/交椭圆C于A、8两点，且的周长为8才用

圆C的离心率为g.

⑴椭圆C的方程;

⑵若P为椭圆C上的任一点,PM、PN为过焦点百、鸟的弦，且尸耳=4耳26=4£N,求

4+4的值.

12.（2022届上海市普陀区高三一模）已知点M（羽y）与定点/（1,0）的距离是点加到直线

%-2=0距离的日倍,设点211的轨迹为曲线「,直线/：》+仅＞7+1=。（帆€11）与「交于人、B两

点，点C是线段A3的中点，尸、Q是「上关于原点。对称的两点，且PO=2OC（2＞0）.

（I）求曲线r的方程；

（2）当X=g时，求直线/的方程；

（3）当四边形PAQ3的面积S=#时，求4的值.

22

13.（2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考）已知椭圆＜?:、+方=1（。＞6＞0）的焦点恰

为椭圆D:反+£=1长轴的端点，且C的短轴长为2

43

（1）求椭圆C的方程.

（2）若直线/与直线y=2元-1平行,且/与c交于A,8两点,加（1,0）,求知A.MB的最小值.

14.（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，点D,E的坐标分别

为（-2,0）,（2,0）,p是动点，且直线DP马EP的斜率之积等于-;.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知直线丫=履+机与椭圆：工+V=1相交于A,8两点，与丁轴交于点M,若存在加使

4

得OA+3OB=4OM,求加的取值范围.

15.（2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考）已知点片是

丫2_-

已知椭圆C:r+与=1（。＞6＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，当NPFiF?=-时,面积

ab3

达到最大，且最大值为百.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过外的直线与椭圆C交于AB两点，且两点与左右顶点不重合，若FXM=耳A+耳8,求四

边形月面积的取值范围.

V-2V2

16.（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知椭圆C:1T=1（。＞b＞0）的左顶点为A,

右焦点为人过点A作斜率为芯的直线与C相交于A㈤且以A。为直径的圆过点5淇中。

为坐标原点.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)若b=l,过点/作与直线AB平行的直线与椭圆C相交于产,。两点.

①求%•自°的值；

\NM\

②点M满足20M=0P，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求屈的值.

17.(2022届广东省江门市高三上学期10月月考)设i,j分别是平面直角坐标系中轴正

方向上的单位向量，若向量。=(x+2)i+历，。=(x-2)i+行,且同+忖=8,其中eE.

(1)求动点M(x，y)的轨迹E的方程；

(2)过点(3,0)作直线/与轨迹E交于A,B两点，设OP=04+O8,是否存在直线/,使得四边形

O4PF是矩形？若存在，求出直线/的方程；若不存在,试说明理由.

18.过双曲线H=l(a>0,b>0)的左焦点Fi的动直线/与「的左支交于两点，设r

的右焦点为F2.

(1)若AABF］是边长为4的正三角形,求此时r的标准方程；

(2)若存在直线/,使得4与"反,求「的离心率的取值范围.

专题10圆锥曲线与向量的交汇

一、考情分析

平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征，这类试题的常规形式是用向量形式

给出某些条件或结论，其难点往往不在向量上，对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相

应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问

题，使得这类问题成为高考命题的一个热点，且时常出现在解答题中.

二、解题秘籍

(-)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略

1.设"为直线/的方向向量，若㈤,则/斜率为心若”=。*0),则/斜率为一；

m

24、B、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则A、B、C共线：①蕊=2衣;②

OC=A,OA+〃08且4+〃=1;③OC=(OA+/IOB)/(1+/1)；@AB//AC.

3.42、C是平面内不重合的三点，若有下列条件之一，则C为线段AB的中点:①就=而;②

■1,——

OC=5(OA+OB).

4.在四边形ABC。中，若获•公=0,则A81AC;若IAB+AD\=|AB-AD\,!JliJAB1AD-

若Q•衣=加/，贝ijACLBD.

5.圆锥曲线中涉及向量相等，通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化，涉及向量共线问题，通项

利用非零向量a=(%,%),8=(%,%)共线-转化，涉及向量的数量积，通常利用

数量积的坐标运算进行转化.

6.圆锥曲线中两直线垂直问题，通常转化为两直线的方向向量的数量积为零，这样做可避免讨

论直线的斜率是否存在.

7.圆锥曲线中涉及数量积问题，通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐

标的表达式.

【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)己知两点“(0，-4),N(0,4),动点p

在x轴的投影为。，且PM-PN=3尸。°,记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程.

(2)过点尸(2面,0)的直线与曲线C在>轴右侧相交于A,8两点，线段AB的垂直平分线与x

AB

轴相交于点试问注7是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说明理由.

FH

【解析】(1)设P(x,y),则。(x,O),PM=(-x,-4-y),PN=(r,4—y),PQ=(O,—y).

因为PM-PN=3PQ2,所以丁+9-16=3/,

22

故c的方程为六-3=1.

(2)由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为0,

不妨设直线AB的方程为y=M尤

y=k(x-2y/6)

联立方程组12,2，消去V整理得(1-2左2)X?42%—48Z?-16=0,

----------=1

U68

A=384rt+(1-2S)(192左2+64)>0

-8疯2

则尤］+X,=--------------7->0，整理得k2>

1-1-2/l

-48左2-16

卒2=不了>0

2

x1+%4屈k%+y22限

2l-2k25-21-2/'

则线段AB的垂直平分线的方程为y+^^1

1+七］

1—ZKk［1-2日

令y肛得>-嘤厕上，匚6y/6至k2叶'

|6回|2何1+灯

|FH|=276

+1-242

\-2k2

、2

「8闹2-48r-16

=\/1+k2--4-

IEJ、一2k2

1384/J192左2+64)0-2^)8(1+S)

父•

=J1+(一()2)2

12/y+i-2t1-262

E—AB82A/6

贝!尸二----

J-F-H——2屈3

故儒是定值，该定值为争

(-)把点共线问题转化为向量共线

此类问题通常是把点A3,c共线转化为AB=/LBC,或点C在直线A8上.

-J

【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆C:「瓦=1(。>6>0)的左

、右顶点分别为A，4,右焦点为B（1,0），且椭圆c的离心率为;,MN为椭圆C上任意两点,

点P的坐标为（4J）（学0），且满足==

（I）求椭圆C的方程；

（2）证明：MEN三点共线.

【解析】（1）椭圆C的右焦点为尸（1，。）,且离心率为

2

222

。=2,。=1,则b=a-c=39

22

二椭圆C的方程为三+乙=1.

43

（2）由（1）知,4,4的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,设N®,%），

•*-4M=(玉+2,X),\P=(6,0,%N=(%2-2,%),4P=(2,0,

AiM=\MP,A2N=A2NP,

，4，%「三点共线,4出尸三点共线,即］；；：［年［；；,整理得3=萋|,两边平方得

2&32

9y；（再+2『%=3T

①又MN在椭圆上，则，，代入①并化简得

货一伍_2）2'

y；=3~|X2

2%马一5（玉+々）+8=0,

又FM=（x「l,y1），FN=lx?—1,y?）,

/\/、V,x—1X+2x-1

要证MEN三点共线，只需证力（％-1）=X（々T），即£=刀，只需证3点.2）=，

整理得2%龙?-5（占+%2）+8=0,

三点共线.

（三）利用向量共线求双变量的关系式

此类问题一般是给出形如=〃c的条件，确定关于4〃的等式，求解思路是利用两向

量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等，使用一个即可,

解题时哪一个简单使用哪一个），把4〃用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用

题中条件消去其他变量.

22

【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆C的方程为二+七=1（°>6>0），过椭

ab

圆左焦点K且垂直于X轴的直线在第二象限与椭圆相交于点尸，椭圆的右焦点为外，已知

tanZPF2F,=*椭圆过点4卜名：；

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过椭圆C的右焦点F2作直线/交椭圆C于48两点，交y轴于M点，若=4A6,

=求证：4+4为定值.

b2匕

【解析】(1)依题可知：PF=~._7_«2-C2_A/3,

tatan/0P玛FF耳=五"工^=记

所以12a2-12c2=2百ac,即6

解得.g

，则》J

又•椭圆C过点A=1

a2=b2+c2

a=2

c

联立可得b—\

a2

c=6

31

./+后=1

椭圆C的标准方程为三+y2=i.

4

(2)设点A(E，yJ、网％,%),F(右,0)

由题意可知,直线/的斜率存在，可设直线I的方程为y=k(xY),

y=左卜_@

222

联立x2，可得（4k+l）x-S^kx+12左2—4=0,

—+y2=1

14

由于点工在椭圆c的内部,直线/与椭圆C必有两个交点,

8辰212k2-4

由韦达定理可得X]+x2=

MA=4AF2,MB=4BE,,Af（0,y0）,

得（%，%-%）=4（若-玉，-%）,（尤2，%-%）=4（0-%，-%

24产-2（12%2-4）

...%+%=X]+%=石（%+Z）-2占％=4/+1—=_8

一y/3—xl\fi—x23-括（占+*2）+为龙2（1242_4）_24公

3+4^+1

（四）利用向量加法的几何意义构造平行四边形

若点A£CO满足AB+AD=AC,则四边形ABCD是平行四边形，涉及圆锥曲线中的平行四

边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.

【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆

C:[+£=1（〃>b>0）经过点M,左焦点川一6,0）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过点0（。,3）作直线/与椭圆C交于A,B两点，点N满足ON=。4+08（。为原点），求四边

形QS田面积的最大值.

【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,则c=Q,

又因为椭圆经过点所以9+）=1,

又〃2_/=（若）

.*.c2=3,a2=44=1,

所以椭圆C的方程为:+

（2）因为0N=0A+02,所以四边形。4NB为平行四边形,

当直线I的斜率不存在时，显然不符合题意;

当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+3,

/与椭圆交于4（%,%）,如%%）两点,

y=kx+3

由|兀2n（1+4女2）炉+24^+32=0.

——+y-1

14,

由A=24?左2_128（1+4产）>0nF>2.

24人32

%1+x2=-

1+4左21+4左2

13

sOAB二万Q3诲—刘二万

34x

"S"=2sA0AB=31占f|=3"（占+毛）2-4占三=J（77^I-177^

,区左2—128（1+44?）_Ik2-2

V（1+4严y=：（1+4,产

令人2_2=t，则公=r+2（由上式知:>0）,

-S。…24篇］=24，：81W24总=2当且仅当,=J,即严=?>2时取等号.

V、7AI72+loZH44

:.当k=土叵时，平行四边形0ANB的面积最大值为2.

2

（五）把向量的数量积转化为代数式

若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件，通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.

22

【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线C:0-当=1（。>6>0）的

ab

-rr

右焦点为p（2,0）,0为坐标原点,双曲线C的两条渐近线的夹角为3.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点F作直线/交C于尸,。两点，在x轴上是否存在定点M，使MP-MQ为定值？若存在，

求出定点用的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.

【解析】⑴双曲线二-当=1的渐近线为y=±±x,

aba

hp）IT

又a>b>0,0<—<1,故其渐近线y=2兀的倾斜角小于二，而双曲线。的两条渐近线的夹

aa4

...71

角t为

hJT

则渐近线的y=2x的倾斜角为J,

a6

贝心=3,即°=耳.

a3

又1片+/=2,贝a=y/3,b=1.

所以双曲线C的方程是二-丁=1.

3'

（2）当直线/不与x轴重合时，设直线/的方程为x=ty+2,

代入9一丁=1，得（）+2）2-3y2=3,即（r一3）9+4少+1=0.

设点尸（西,m）,%），则%+%=一%为=/j-

设点“（〃?,。），则MP-MQ=（周一-：〃）+=（电+2）（吼+2-〃2）+yty2

4Z22

=（〃+1）%%+《2—机）（必+%）+（2—加）2=-^|-^_3^+（2-m）

（m2-3）r2-（3/n2-12m+ll）

t2-3

令3/—12m+ll=3（m2—3）,得根=g,

2

止匕时MPMQ=m2-3=——.

9

当直线l与X轴重合时，则点尸,Q为双曲线的两顶点，不妨设点P（-^,0），e（V3,0）.

对于点知［|刃）孙.0=（-若-1|=_|.

所以存在定点M匕，o）,使MP•MQ=疗-3=为定值.

（六）把垂直问题转化为向量的数量积为零

求解圆锥曲线中的垂直问题，通常可转化为向量的数量积为零，然后利用向量数量积的坐标运

算进行转化，这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.

22

【例6】已知椭圆C: