2025高考数学二轮复习：导数及其应用、基本不等式 专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮专题复习-第六讲-导数及其应用、基本不等式-专项训

练

-：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，

10

2022•新高考I卷,

15

2022•新高考n卷，

导数与切线

1.高考对导数的考查，重点考14

查导数的计算、四则运算法则2024•新高考I卷，

的应用和求切线方程；能利用13

导数研究函数的单调性，会求2024•新高考n卷，

函数的单调区间(其中多项式16(1)

函数一般不超过三次)以及借2022•新高考I卷，

助函数图象，了解函数在某点22(1)

取得极值的必要和充分条件，2023•新高考I卷，

会用导数求函数的极大值、极19

小值，会求闭区间上函数的最2024•新高考I卷,

大值、最小值。导数与函数单调性、最值及18(1)

恒成立问题2022•新高考n卷，

2.高考对基本不等式的考查，

14

应适当关注利用基本不等式大

2022•新高考n卷，

小判断、求最值和求取值范围

22(1)

的问题。

2023•新高考n卷，

22(1)

2023•新高考n卷,

11

导数与函数极值、极值点

2024•新高考n卷,

16(2)

2022•新高考I卷，

导数与比较大小、基本不等7

式2022•新高考n卷,

12

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，n卷也考查到了

切线，但是是体现在大题16题的第一问中，同时也考查到了恒成立问题。切线问题备

考时注意含参数和公切线的问题即可，难度一般都是较易和适中。导数考查应关注：

利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。导数常结合函数的零

点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等，理解划归与转化

思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与

切线及单调性问题。

三：试题精讲

一、填空题

1.(2024新高考I卷・13)若曲线y=e，+x在点(0,1)处的切线也是曲线尸ln(x+l)+a

的切线，贝1］。=.

二、解答题

2.(2024新高考I卷-18)已知函数〃x)=ln'L+办+6(X-1)3

2-x

(1)若6=0,且/'(X)",求。的最小值；

3.(2024新高考n卷T6)已知函数/(x)=e*-ax-cP.

(1)当。=1时,求曲线y=/(x)在点(IJ(D)处的切线方程;

(2)若“X)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

高考真题练

一、单选题

1.（2022新高考I卷-7）设”=0.卜叱6=g，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（2023新高考n卷-6）已知函数/（x）naeJlnx在区间（1,2）上单调递增,则。的最

小值为（）.

A.e2B.eC.e-1D.e-2

二、多选题

3.（2022新高考H卷•12）若x,了满足/+/-中=i,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

hc

4.（2023新高考II卷-11）若函数〃力=。111工+嚏+”（"0）既有极大值也有极小值，

则（）.

A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

三、填空题

5.(2022新高考I卷-15)若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值

范围是.

6.(2022新高考H卷-14)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为，.

四、解答题

7.(2022新高考I卷22)已知函数/(x)=e，-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

8.(2023新高考I卷T9)已知函数/(x)=a(e*+a)-x.

（1）讨论/（尤）的单调性;

3

（2）证明：当。>0时，/（x）>21na+-.

9.（2022新高考D卷-22）已知函数/'（x）=xe"'-e"

（1）当a=l时，讨论“X）的单调性；

10.（2023新高考H卷-22）（1）证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x；

知识点总结

一、导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/（X）=C（C为常数）r（x）=o

/(x)=x"5e0)fr(x)=axa~x

f(x)=ax(a〉0,aw1)f\x)=axIna

/(x)=logx(a>0,Qw1)/a)=4

axlna

/(X)=e1/'(x)=e、

/(x)=lnx

/(x)=sinxf\x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)土g(x)］'=/，(x)土g，(x)；

(2)函数积的求导法则：［/(x)g(x)］'=r(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则［曲］=7'(x)g(x)j/(x)g'(x).

g(x)g-(x)

3、复合函数求导数

复合函数y=/［g(x)］的导数和函数>=/(«)，w=g(x)的导数间关系为匕'="%'：

4、切线问题

(1)在点的切线方程

切线方程/-/(%)=f'{x0)(X-X。)的计算：函数y=/(x)在点A(x0,/(x0))处的切线方程

%=/(x())

为了一/(%)=f'(x)(x-x)抓住关键

00k=f'(xo)

(2)过点的切线方程

设切点为尸(%,%),则斜率左=/(%),过切点的切线方程为：y-ya=f'(x0)(x-x0),

又因为切线方程过点/(优，〃)，所以〃-%=/'(%)0-x0)然后解出/的值.(X。有几个

值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

二、单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果((X)>0,则

y=/(x)为增函数;如果((x)<0,则昨/(尤)为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若〃x）在某个区间上单调递增，则在该区间上有/（x）20恒成立（但不恒等于0）;

反之，要满足了'（x）＞0,才能得出〃x）在某个区间上单调递增；

②若/（x）在某个区间上单调递减，则在该区间上有广（幻W0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足/''（x）＜（）,才能得出/（x）在某个区间上单调递减.

三、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续

的区间）;

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置

关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正

负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零

点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对

新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函

数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要

注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）;

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小

关系）;

（5）导数图像定区间；

四、极值与最值

1、函数的极值

函数/（X）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有/（X）＜/（x0）,则称/（x0）是

函数的一个极大值，记作y极大值=〃x。）.如果对X。附近的所有点都有/（x）＞/（/）,则

称八＞0）是函数的一个极小值，记作了极小值=/。0）.极大值与极小值统称为极值，称X。

为极值点.

求可导函数/（X）极值的一般步骤

（1）先确定函数/（X）的定义域；

（2）求导数/口）；

（3）求方程/。）=0的根；

（4）检验（（无）在方程/（x）=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在

右侧附近为负，那么函数y=/（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，

在右侧附近为正，那么函数＞=/（尤）在这个根处取得极小值.

注：①可导函数“X）在点修处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

"）=0,且在/左侧与右侧,/'（X）的符号导号.

②/（%）=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如/（x）=x，八0）=0,但

%=0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数〃x）=|x|,在极小值点

x0=0是不可导的，于是有如下结论：X。为可导函数/(X)的极值点=广(％)=0；但

八Xo)=ONxo为/(%)的极值点.

2、函数的最值

函数>=/(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(x)最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/(x)=ax+bx+c-a(x-xj(x-x2)(加<xi<x1<ii)

(1)当a>0时，最大值是/(国)与/(〃)中的最大者；最小值是〃9)与/(M中的最小

者.

(2)当。<0时，最大值是/(%)与/(⑼中的最大者；最小值是〃再)与/(")中的最小

者.

一般地，设y=/(x)是定义在阿，”］上的函数，y=/(x)在(加，〃)内有导数，求函数

y=/(x)在［加，〃］上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(m,〃)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=/(x)的各极值与/(加)和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

为最小值.

【导数及其应用常用结论】

1、恒成立和有解问题

(1)若函数/(X)在区间。上存在最小值“X)1nto和最大值则

不等式>a在区间D上恒成立of>a；

不等式2a在区间。上恒成立of(x)mfa>a；

不等式〃x)<6在区间。上恒成立=/(x)1mx<6；

不等式在区间。上恒成立o/(x)1mxV6；

(2)若函数在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(%，n),则

不等式/(》)><7(或/(力24)在区间D上恒成立O加2a.

不等式/(%)<6(或/'卜)46)在区间D上恒成立0加Wb.

(3)若函数〃X)在区间。上存在最小值/(切总和最大值〃即机,〃],

则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a<在区间。上有解oa</(x)111ax;

不等式a4〃x)在区间。上有解=a4/(x)max；

不等式a>/(x)在区间。上有解oa>〃x)min；

不等式在区间。上有解oaN〃x)1nM；

(4)若函数〃x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，")，则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式a<〃x)(或a4〃x))在区间。上有解oa<"

不等式6>/(x)(或b2〃%))在区间D上有解o6>机

(5)对于任意的王©[。，6],总存在马日!!!，〃],使得

/(x1)<g(x2)^/(x1)max4g；

(6)对于任意的再b],总存在々£加，n],使得

/(x1)>g(x2)^/(^)mi„Ng(x2L;

(7)若存在再E[Q,b],对于任意的％2«m,〃],使得

/(占)4g(々)O/(占)*<g(%L；

(8)若存在西4wb],对于任意的々4m,3，使得

/(%1)>g(x2)<=>/(%,)_2g伉)1mx；

(9)对于任意的了闫。,b],x2e[m,〃]使得4gWg^)1n；

(10)对于任意的Xje[a,b],%e[m,〃]使得2g(%)o/(占置2g(%)111ax;

（11）若存在再«见可，总存在々dm,力],使得/㈤小㈤〜八%）1nhiWg（xz）1Mx

（12）若存在X[e[a,6],总存在X2e[m,〃],使得/（xj2g（%）o/（再/gHL・

名校模拟练

一、单选题

1.（2024•河北保定三模）曲线〃x）=e=3x在点（0,〃0））处的切线与两坐标轴所围成

的三角形的面积为（）

1flcl八1

A.-B.—C.一D.一

8643

2.（2024•陕西西安三模）已知函数小）=<；〃：：；；噂'+0则/（x）在点（5,〃5））

处的切线方程为（）

A.4x-y-28=0B.4x+y-12=0C.x-4y-12=0D.x+4y-22=0

3.（2024•河北保定•三模）已知二次函数>=ax（x-b）（6/0且6H1）的图象与曲线

y=lnx交于点尸，与x轴交于点/（异于点0）,若曲线N=lnx在点p处的切线为/,

且/与“尸垂直，则a的值为（）

A.—eB.-1C.-VeD.—2

4.（2024•贵州六盘水•三模）4知曲线丁=州_31nx的一条切线方程为y=f+刃,则实

数加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2

5.（2024・湖南长沙•二模）已知m>0,n>0,直线y=-x+m与曲线

e

y=2.lnx-n+4相切，则—+-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

6.（2024•贵州黔东南•二模）已知正实数6满足e?"+/=e23+r，则”二的最

大值为（）

A.0B.vC.1D.-

22

7.（2024•福建泉州•二模）在等比数列｛%｝中，％,%是函数〃x）=x2-10x+八n（3x）的两

个极值点，若出4=26a3-2,贝卜的值为（）

A.-4B.-5C.4D.5

8.（2024,天津和平•三模）已知函数/（x）=Gsin0xcos0x-；sin（20x-1^（oeR,且

。>0）,xeR,若函数在区间（0,2兀）上恰有3个极大值点，则。的取值范围为

（）

「、「、（

A・匕13斓19B.<［1不3，下191］.。・后13司19口.后13值19-

9.（2024•辽宁・二模）已知正实数记"=max卜a,6,白｝,则"的最小值为

（）

A.V2B.2C.1D.V3

10.（2024•新疆喀什三模）已知a=ln（sinl.O2）,b=^^,c=lnl.O2,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

11.（2024•安徽合肥•三模）已知函数在R上可导，其导函数为了'（%）,若〃无）满

足：（xT［ra）-〃x）］>0,/（2-x）=/（x）e2-2\则下列判断正确的是（）

A./⑴〉e/（0）B./（2）>e2/（0）

C./（3）>e3/（0）D./（4）<e4/（0）

二、多选题

12.（2024•河北衡水三模）已知函数，（x）=x3-x=2是函数/⑴的一个极值点，

则下列说法正确的是（）

A.m=3B.函数在区间（T2）上单调递减

C.过点（1,-2）能作两条不同直线与y=〃x）相切D.函数了=/I〃x）］+2有5个零

点

13.（2024・重庆•三模）若函数〃x）=alnx-2x2+6x既有极小值又有极大值，则

（）

A.ab<0B.a<0C.b1+16a>0D.-耳<4

14.（2024•山西太原•三模）已知不是函数/（同=/+如+”（加<0）的极值点，若

/6）=/（占）（再力%），则下列结论正确的是（）

A.的对称中心为（0,"）B.

C.2国+%2=0D.芭+%>°

15.（2024・河北•三模）已知函数及其导函数广（x）的定义域均为R,记

g（x）=/（x）,若〃3+2x）为偶函数，g（l+x）为奇函数，则下列结论正确的是（）

A.g（"的图象关于直线x=l对称.B.g（x）的图象关于点（3,0）对称.

2024

C.=1D.g（2023）=0

Z=1

三、填空题

16.（2024・上海•三模）设曲线〃幻=温+6和曲线g^hcos^+c在它们的公共点

尸（0,2）处有相同的切线，贝iJV+c的值为.

17.（2024・上海•三模）若函数/（X）=-4X3+3X在（%a+2）上存在最小值，则实数。的取

值范围是.

18.（2024・上海闵行•三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，

几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三

类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若2"+2,=1,则

（40+1）（44+1）的最小值为.

XZ

19.（2024・广东•三模）设实数X、了、z、/满足不等式IWxMyVzWfWlOO,则一+一的

Vt

最小值为.

20.（2024•浙江绍兴•三模）若x,y,z>0,^.x2+xy+2xz+2yz=4,贝lj2x+y+2z的最小

值是.

21.（2024・河北•三模）已知6_/<0（0>0,0工1）对任意xe（°，+°°）恒成立，则实数。

的取值范围是.

jrJT

22.（2024•福建南平•二模）函数〃力=皿0无（0>0）在区间飞上单调递增，且在

区间（0,2K）上恰有两个极值点，则。的取值范围是.

23.（2024・云南昆明•三模）过点（1,%）可以向曲线f（x）=xe*作〃条切线，写出满足条

件的一组有序实数对（%,"）

24.（2024•河北沧州•三模）若不等式e，-（a+l）xNb,a>-1对于xeR恒成立，贝

b-a的最大值为.

25.（2024・贵州贵阳•三模）已知函数f（x）=xe3-lnx-ax-l,若函数/（©的最小值恰

好为。，则实数。的最小值是

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，

10

2022•新高考I卷，

15

2022•新高考n卷，

导数与切线

14

•新高考卷，

1.高考对导数的考查，重点考2024I

查导数的计算、四则运算法则13

的应用和求切线方程；能利用2024•新高考n卷,

导数研究函数的单调性，会求16(1)

函数的单调区间(其中多项式2022•新高考I卷，

函数一般不超过三次)以及借22(1)

助函数图象，了解函数在某点2023•新高考I卷，

取得极值的必要和充分条件，19

会用导数求函数的极大值、极2024•新高考I卷，

小值，会求闭区间上函数的最导数与函数单调性、最值及18(1)

大值、最小值。恒成立问题2022•新高考n卷,

14

2.高考对基本不等式的考查，

2022•新高考n卷，

应适当关注利用基本不等式大

22(1)

小判断、求最值和求取值范围

2023•新高考n卷，

的问题。

22(1)

2023•新高考n卷，

11

导数与函数极值、极值点

2024•新高考n卷，

16(2)

导数与比较大小、基本不等2022•新高考I卷,

式7

2022•新高考n卷，

12

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，n卷也考查到了

切线，但是是体现在大题16题的第一问中，同时也考查到了恒成立问题。切线问题备

考时注意含参数和公切线的问题即可，难度一般都是较易和适中。导数考查应关注：

利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。导数常结合函数的零

点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等，理解划归与转化

思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与

切线及单调性问题。

三：试题精讲

一、填空题

1.(2024新高考I卷•13)若曲线y=e*+尤在点(0,1)处的切线也是曲线》=ln(x+l)+a

的切线，贝匹=.

【答案】In2

【分析】先求出曲线昨e'+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+l)+。的切点为

(x0,ln(x0+l)+a),求出了，利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程，结合两切

线方程相同即可求解.

【详解】由7=e*+X得V=e，+1,y'|^=e°+1=2,

故曲线y=e工+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1；

由y=ln(x+l)+Q得炉,

x+1

设切线与曲线歹=皿％+1)+。相切的切点为(/,1口(％+1)+〃)，

由两曲线有公切线得了=口=2,解得/--。，则切点为

玉)十12I，Z)

切线方程为y=2(x+J+a+hi5=2x+l+a—ln2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

二、解答题

2.(2024新高考I卷-18)已知函数/(x)=ln」一+ax+6(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且r(x)20,求。的最小值；

【答案】(1)-2

⑵证明见解析

⑶人“T

【分析】(1)求出/''(X)1nm=2+。后根据1(x)2。可求。的最小值;

(2)设尸(加为了=/(x)图象上任意一点，可证尸(九成关于(1⑷的对称点为

0(2-矶2a-〃)也在函数的图像上，从而可证对称性；

(3)根据题设可判断〃1)=-2即。=一2,再根据在(1,2)上恒成立可求得

b>--.

3

【详解】(1)6=0时，f(x)=\n-+ax,其中xe(0,2),

2-x

11?

则/'⑴=丁匚=77^7(+“'xe(°，2),

因为x(2-x)《主尹:=1,当且仅当x=l时等号成立，

故/(x)mM=2+q,而/'(无)20成立,故。+220即心-2,

所以。的最小值为-2.,

3.(2024新高考H卷•16)已知函数〃x)=e，-ax-/.

⑴当a=l时，求曲线V=〃x)在点处的切线方程；

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

【答案】⑴(e-l)x--l=0

(2)。，+00)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析

可得/+lna-1>0,构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/(x)=e'-a有零

点，可得。>0,进而利用导数求“X)的单调性和极值，分析可得Q2+lna-1〉0,构建

函数解不等式即可.

【详解】(1)当。=1时，贝！|/(x)=e*-x-l,/(x)=e「l,

可得/(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为了-仁-2)=(e-l)(x7),即(eT)xf-1=0.

(2)解法一:因为/(x)的定义域为R,且/'(x)=e-%

若aVQ,则1(x)20对任意xeR恒成立，

可知"X)在R上单调递增，无极值，不合题意;

若a>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得xclna；

可知/(x)在(-8,In°)内单调递减，在(Ina,+(»)内单调递增，

则/(x)有极小值/(Ina)=a-aIna-/,无极大值，

2

由题意可得：/(lna)=a-alna-/<0,gpa+lna-l>0,

构建g(a)=/+lna-l,a>0,贝!jg，(a)=2a+1>0,

可知g⑷在(0,+8)内单调递增，且g⑴=0,

不等式J+lna-lX)等价于g(a)>g⑴,解得a>l,

所以a的取值范围为(1,+s)；

解法二：因为/(x)的定义域为R,且八x)=e=a,

若/(x)有极小值，则/Vhe'-a有零点，

令"x)=e*-a=0,可得e*=a,

可知>=e'与有交点，贝!|a>0,

若a>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna

可知/(x)在(-8,Ina)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

贝(I/O)有极小值/(lna)=a-alna-，，无极大值，符合题意，

由题意可得：f(ina)^a-a\na-a3<0,BPa2+lna-1>0,

构建g(a)=a?+lnq-l,q>0,

因为则)=//=111”1在(0,+8)内单调递增，

可知g(。)在(0,+s)内单调递增，且g⑴=0,

不等式J+lna-l〉。等价于g(a)>g⑴,解得a>1,

所以a的取值范围为(1,+").

高考真题练

一、单选题

1.(2022新高考I卷-7)设”=0.卜叱6=；,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数〃x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定a,6,c的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+x)-无。>一1),因为==

l+x1+x

当xwQLO)时,当x)>0,当xe(0,+◎时/(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0,+s)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以足)<〃0)=0,所以1点一(<0,故(>lR=-ln0.9,即6>c,

yyyyy

101a_1i±i

所以/(-伍)<"0)=0,所以In历+历<0,故言…所以正。弓,

板a<b,

v

设g(x)=jce'+ln(l-x)(O<x<l),贝！Jg'(x)=(x+l)e+--=------——,

令h(x)=e"(尤2-1)+1,h'(x)=e"(x2+2x-1),

当0<x<&T时,h'(x)<Q,函数〃(x)=e%x2-l)+l单调递减,

当血-1<X<1时，〃(x)>0,函数/?(x)=e，(x2_l)+l单调递增,

又〃(0)=0,

所以当0<x〈友-1时，3)<0，

所以当O<x<0-1时，g'(x)>。，函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增,

所以g(0」)>g(0)=0,BPO.leol>-lnO.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.1*,b=，c=-ln(l-0.1),

1—U.1

(1)Intz—InZ?=0.1+ln(l—0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

1-Y

贝！Ir«=i---=--<o,

1—xi-x

故/(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-]nb<0,所以a<b；

②a-c=0Ae°]+ln(l-0.1),

x

令W=xe+ln(l—x),xG(0,0.1],

贝！Ig(x)=xe+e-----=--------------,

v71-x1-x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k{x}>A(0)>0,即g")>0,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-oO,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2023新高考n卷-6)已知函数/(x)=ae-lnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最

小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【分析】根据/''(力=温-5，。在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，/'门卜泡一工之。在(1,2)上恒成立，显然八0,所以

xa

设g(x)=xefl,2),所以g〈x)=(x+l)e、>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故即。2工=1，即a的最小值为

ae

故选：C.

二、多选题

3.(2022新高考II卷-12)若x,了满足/+/-初=晨则()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为(«,/,1R),由/+/-工》=1可变形为，

(x+4一1=3.3(昼］,解得一2Vx+”2,当且仅当x=y=T时,x+y--2,当

且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由尤2+/_xy=l可变形为(尤2+/)_1=中4工解得尤2+/W2,当且仅当

x=y=±l时取等号，所以C正确;

因为，+y2-xy=1变形可得，=1,设x-、=cosa¥〉=sin0,所以

2

x=cos8+—7=sin。"=耳si"，因此

V3

°。o5.02.111

x2+y=cos20+—sin20+—j=sin0cos0=1+—j=sin20——cos20+—

3百V333

=g+|sin（2d-^eI，2,所以当》=*疗=一4时满足等式，但是X2+/N1不成

立，所以D错误.

故选：BC.

4.（2023新高考H卷-11）若函数/（》）=。111》+：+会（。X0）既有极大值也有极小值,

则（）.

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【分析】求出函数/（x）的导数/（x）,由已知可得/（X）在（0,+8）上有两个变号零点,

转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

bc

【详解】函数/'（x）=alnx+2+§的定义域为（0,+功，求导得

XX

2

r（x）=qb2cax-bx-2c

因为函数/（X）既有极大值也有极小值，则函数/（X）在（0,+8）上有两个变号零点，而

QW0,

因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x”z，

A=Z?2+Sac>0

b八

于是X]+%=—>U即有〃+8如>0,ab>0ac<0,显然a2be<0,即6。<0,A

a

2c八

=--->0

a

错误，BCD正确.

故选：BCD

三、填空题

5.(2022新高考I卷-15)若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值

范围是.

【答案】(-8,-4)U(O,+S)

【分析】设出切点横坐标%,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点

得到关于年的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】：y=(x+a)e",.•.y'=(x+l+a)e",

设切点为(%,%),则为=(%+〃)eXo，切线斜率左=(%+1+a)ex0,

x

切线方程为：y-(x0+a)e»=(xo+l+a)e"x-xo),

x

:切线过原点，.,.-(x0+Q)e"°=(x0+l+«)e°(-x0)5

整理得：焉+axQ-a=0,

•・,切线有两条，・・・A=a2+4Q>0,解得QV-4或〃〉0,

・・・。的取值范围是4)U(O,+8),

故答案为：(-oo,-4)U(0,+oo)

6.(2022新高考I［卷•14)曲线V=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(Minx。)，求出函数的导函数,

即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求

出切线方程，当x<0时同理可得；

【详解】［方法一卜化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x°,lnx。)，求出函数V导函数，即可求出

切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方

程，当x<0时同理可得；

解：因为>=111国，

当x>0时y=lnx,设切点为(％,In%),由了=工，所以所以切线方程为

XX。

^-lnx0=—(x-x0),

xo

又切线过坐标原点，所以Tnx°=’(-x。)，解得x°=e,所以切线方程为

xo

ee

当x<0时y=ln(r),设切点为(国,ln(f)),由了‘，所以好法=工，所以切线方程

X芯

为yTnSjJfx-xJ,

玉

又切线过坐标原点，所以Tn(rJ=L(-xJ,解得玉=-e,所以切线方程为

X1

yT='(x+e),gpy=--x；故答案为：y=-x-y=--x

-eeee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当x>0时kIn无，设切点为(看,出口),由"L所以川所以切线方程为

xX。

yTn/=—(x-x0),

xo

又切线过坐标原点，所以Tnx。=▲(一%),解得x°=e,所以切线方程为

y-l=-(^-e),BPy=-x；

ee

因为y=InW是偶函数，图象为:

所以当好0时的切线，只需找到尸%关于y轴的对称直线歹=-卜即可.

［方法三］：

因为＞=1川M,

当x＞。时gnx,设切点为(”/),由"j所以，所以切线方程为

j-lnx0=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以Tnx°=L(-x。)，解得x°=e,所以切线方程为

y-l=-(^-e),BPy=-x；

ee

当尤＜0时kln(r),设切点为(国,In(f)),由j/=L所以了『=!，所以切线方程

X西

^jj-ln(-x1)=—(x-xj,

又切线过坐标原点，所以-山(-%)=!(一网)，解得X1=-e,所以切线方程为

X1

y-l=—(x+e),即y=-L-

-ee

故答案为：y=~x；y