2025届高考数学第一轮专项复习：圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题

2025届高考数学第一轮专项复习一圆锥曲线中的仿射变换、

非对称韦达、光学性质问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................6

题型一：仿射变换问题............................................................6

题型二：非对称韦达问题..........................................................8

题型三：椭圆的光学性质.........................................................10

题型四：双曲线的光学性质.......................................................12

题型五：抛物线的光学性质.......................................................14

03过关测试....................................................................16

第1页共25页

亡法牯自与.柒年

//\\

一、仿射变换问题

仿射变换有如下性质：

1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上;

3、其它不变关系.

我们以椭圆为例阐述上述性质.

22X-X

椭圆亍+==可”"〉。)，经过仿射变换，a,则椭圆变为了圆x"+y2=",并且变换过程有

y'=-y

b

如下对应关系:

(1)点尸(X。,%)变为

(2)直线斜率左变为《=色左，对应直线的斜率比不变；

b

(3)图形面积S变为及=3s,对应图形面积比不变；

b

(4)点、线、面位置不变(平直线还是平直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相

切依然是相切等)；

(5)弦长关系满足口"=」叶与，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变

\AB\\\+k2

总结可得下表:

变换前变换后

22

方程£2+y2=a2

ab

横坐标Xxr

,a

纵坐标yy=-y

b

第2页共25页

斜率

Axk，=丝土二巴k

Ax'Axb

面积S=—Ax-S'=-\xf=-S

22b

/，=Jl+k'2Ax，=[1+Ax=—1b2

弦长/=Jl+左2Ax

不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

二、非对称韦达问题

在一元二次方程ax2+6x+c=0中，若A>0,设它的两个根分别为再，马，则有根与系数关系：

x1+x2=--,xlX2=-,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理％-x,|,x；+考，工+工之类的结构，

aaxxx2

但在有些问题时，我们会遇到涉及再，%的不同系数的代数式的应算，比如求生」占％+2占-％或

x22X1X2—X1+X2

2X|+/ZX2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立

直线和圆锥曲线方程，消去x或y,也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种

形如再+2x?，加力+〃不%,土或3%%+2%一々之类中西，x,的系数不对等的情况，这些式子是非对称结

x22XXX2-XX+X2

构，称为“非对称韦达”.

三、光学性质问题

1、椭圆的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）.

【引理。若点）,8在直线£的同侧，设点是直线£上到48两点距离之和最小的点，当且仅当点

尸是点/关于直线L的对称点H与点5连线A'B和直线L的交点.

【引理2】若点/,8在直线Z的两侧，且点48到直线的距离不相等，设点尸是直线£上到点/,8距

离之差最大的点，即|尸4-尸川最大，当且仅当点尸是点/关于直线上的对称点4与点3连线H8的延长线

第3页共25页

和直线£的交点.

22

【引理3】设椭圆方程为会+方=l（a>b>0）,片，巴分别是其左、右焦点，若点。在椭圆外，则

DF]+DF2>2a.

2、双曲线的光学性质

从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）.

【引理4】若点48在直线工的同侧，设点是直线工上到43两点距离之和最小的点，当且仅当点

P是点A关于直线L的对称点/'与点3连线A'B和直线L的交点.

【引理5】若点48在直线Z的两侧，且点42到直线的距离不相等，设点尸是直线工上到点43距

离之差最大的点，即归/-尸4最大，当且仅当点尸是点/关于直线工的对称点4与点8连线48的延长线

和直线£的交点.

22

【引理6】设双曲线方程为会-a=1（">0源>°），片，耳分别是其左、右焦点，若点。在双曲线外

（左、右两支中间部分，如图），则。片-。此<2°.

3、抛物线的光学性质

从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）

第4页共25页

.反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点.

【结论1］已知：如图，抛物线C:f=2抄（p>0）,尸为其焦点，）是过抛物线上一点

D（x（）,%）的切线，N,3是直线，上的两点（不同于点。），直线。C平行于了轴・求证：

=（入射角等于反射角）

【结论2］已知：如图，抛物线C:y2=28（0>O）,尸是抛物线的焦点，入射光线从尸点发出射到抛

第5页共25页

㈤2

//\\

题型一：仿射变换问题

--+/=1M值中

【典例1-1】如图，作斜率为2的直线/与椭圆4交于尸，。两点，且I在直线’的上方,

则△儿内切圆的圆心所在的定直线方程为.

工+匕=1——

9砌1-27P是椭圆43上任意一点，。为坐标原点，PO=2OQ,过点。的直线交椭圆于4,B

两点，并且3=@,贝必尸面积为.

【变式1-1］已知椭圆的标准方程为42.

1

ULUUUULAJU4--------

⑴设动点尸满足：OP=OM+ON,其中"，N是椭圆上的点，直线与ON的斜率之积为2,问：

是否存在两个定点小尸2,使得卢与㈤尸功为定值？若存在，求小丹的坐标；若不存在，说明理由.

⑵设动点尸满足：历=两+2而，其中“，N是椭圆上的点，直线。河与°N的斜率之积为一5,问：

是否存在点尸，使得点尸到尸的距离与到直线》=2而的距离之比为定值？若存在，求尸的坐标；若不存

在，说明理由.

x2yZ（64）V3

【变式1-2】已知椭圆叼+也=1（。＞力＞°）经过点〔5'5J

其离心率为2,设A,B,M是椭圆C上

第6页共25页

»-->---kI7T

OM=cosaOA+sinaOB,ae0,—।

的三点，且满足I2九其中°为坐标原点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)证明：△0/8的面积是一个常数.

22

—7+^=l(a,>0)x'=-y'=—,

【变式1-3】对于椭圆。b2，令。，一方，那么在坐标系、°夕中，椭圆经伸缩变换得

到了单位圆x°+y'2=i,在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系

1

以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的得，

由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题.

—―

(1)在原坐标系中斜率为左的直线/,经过a,，6的伸缩变换后斜率变为左'，求人与公满足的关系；

r.:—+y2=l(a>0)「r:—+/=2(a>0)

2-

⑵设动点P在椭圆。'上，过点P作椭圆口的切线，与椭圆交于点

Q,R，再过点0,R分别作椭圆心的切线交于点S,求点S的轨迹方程；

L⑹X?

A1=—+/=1

(3)点1在椭圆2-上，求椭圆上点8,C的坐标，使得△N8C的面积取最大值，并求出该

最大值.

【变式1-4］在平面直角坐标系xQy中，若在曲线瓦的方程产(x/)=°中，以(彳为非零的正实数)

代替(x,y)得到曲线外的方程尸(西My)=°,则称曲线耳、当关于原点，，伸缩，，，变换称为

“伸缩变换”，几称为伸缩比.

r£_i1

⑴已知曲线片的方程为43，伸缩比2=2,求用关于原点，，伸缩变换，，后所得曲线外的方程；

2

E.：—+y=1口

⑵射线’的方程k也r《训，如果椭圆4经“伸缩变换”后得到椭圆生，若射线/与椭圆

口万\AB|=—口

与、％分别交于两点/、3,且3,求椭圆生的方程；

第7页共25页

（3）对抛物线回：/=2。/,作变换（x，y）f（4X，4N）,得抛物线超：无2=2%y；对当作变换

（x,y）f（4x，4v）,得抛物线4：x?=2.y；如此进行下去，对抛物线右：》？=2。/作变换

（x,y）f（々X,4J）,得抛物线纥+|：x2=2Pzy，…若=1,人=2",求数列3｝的通项公式Pn.

题型二：非对称韦达问题

B22

eE'————=］（〃>b>0）

【典例2-1］（2024•湖北宜昌•二模）已知同、4分别是离心率=2的椭圆,/b2的左右

顶点，P是椭圆E的上顶点，且尸4■尸4=T.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线/过点（°厂4）,且与椭圆£交于/、8两点，点M与点8关于y轴对称，求证：直线恒

过定点.

—y=1

【典例2-2】已知A、3分别是椭圆2■的右顶点和上顶点，C、。在椭圆上，豆CDHAB,设直线

/C、8。的斜率分别为a、ki,证明：化隹为定值.

__|_2_=］,、

【变式2-1】已知椭圆g«2b2-的左右焦点分别为与（<0）,与（。，0）,“，N分别为左

t一正

右顶点，直线L、=）+1与椭圆0交于48两点，当3时，A是椭圆的上顶点，且△/月B的周长

为6.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设直线”"IN交于点Q,证明：点。在定直线上.

第8页共25页

（3）设直线的斜率分别为此他，证明：也为定值.

xy

【变式2-2】（2024•河南新乡三模）己知力（一后°）£（技°）分别是椭圆+记,.＞八°）的左、

右焦点，尸是椭圆C上的一点，当万匹时，|尸码=2|尸7".

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）过点。（-4,0）的直线/与椭圆C交于M,N两点，点M关于x轴的对称点为点同，证明：直线

过定点.

。・上+匕=1

【变式2-3】已知椭圆«2b2过点/（-2,-1）,且a=26.

（I）求椭圆C的方程：

I阳

（II）过点BQ%0）的直线/交椭圆C于点跖N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点尸,Q.求法。1的值.

C-二+匕=1

【变式2-4］（2024・湖北•一模）如图，°为坐标原点，椭圆/b2（。＞6＞°）的焦距等于其长半

轴长，"，N为椭圆C的上、下顶点，且1同¥|=26

（1）求椭圆°的方程;

第9页共25页

（2）过点尸（°』）作直线/交椭圆C于异于M，N的48两点，直线交于点7.求证：点7的纵坐标

为定值3.

题型三：椭圆的光学性质

【典例3-11欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经

22

C：--+-^-7-=1（｛2>b>0）r-

椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆。b2,长轴长为216,从C的左焦

|PF|=—

点尸发出的一条光线，经0内壁上一点尸反射后恰好与x轴垂直，且2.

⑴求C的方程；

⑵设点出2/），若斜率不为0的直线/与C交于点均异于点N）,且A在以皿为直径的圆上，

求A至〃距离的最大值.

【典例3-2】阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的

光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点

生二版

上.在对该性质证明的过程中（如图2）,他还特别用到了“角平分线性质定理"：PF]FQ,从而得到

ZFiPQ=ZF2PQ＞而性质得证

图1图2

根据上述材料回答以下问题

第10页共25页

⑴如图3,已知椭圆“滔+访=19>/?>°)的左右焦点分别为用巴，一束光线从尸1(一1，0)射出，经椭圆上

尸点反射：P处法线(与椭圆C在尸处切线垂直的直线)与X轴交于M点，己知必用=2收，出M=也，

求椭圆C方程(直接写出结果)

图3

(2)已知椭圆C,长轴长为2。，焦距为2c,若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次

回到左焦点所经过的路程为5c,求椭圆的离心率

(3)对于抛物线V=2庶0>°),猜想并证明其光线性质.

【变式3-1](2024•高三・安徽池州•期末)已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向

22

C:——H--T-=1(〃>/>>0)口

椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆a-b2的左焦点片发出的光线,

经过两次反射之后回到点片，光线经过的路程为8,椭圆。的离心率为5.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，若椭圆C的右顶点为4上顶点为8动直线/交椭圆C于P、0两点，且始终满足°F,,

作WP0交P°于点求疝•砺的最大值.

【变式3-2](2024•全国•模拟预测)已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆

第11页共25页

22

7:=+二=1（"6>0）„

上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆«匕的左焦点片发出的光线,

经过两次反射之后回到点片，光线经过的路程为8,T的离心率为2.

（1）求椭圆7的标准方程;

⑵设°（程，0）,且过点。的直线/与椭圆T交于不同的两点跖N,居是T的右焦点，且

"EM与NDF°N互补，求AMNG面积的最大值.

题型四：双曲线的光学性质

【典例4-1】双曲线在物理学中有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光

学性质等等.

⑴已知/、8是在直线/两侧且到直线/的距离不相等的两点，尸为直线/上一点.试探究当点P的位置满

足什么条件时，归“卜网取最大值；

（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对

称.证明：由双曲线的一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线

的另一个焦点.

【典例4-2】（2024•辽宁丹东•一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的

光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，

经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中2°是反射镜面也是过点尸处的切

22

。・土-匕=1

线）.已知双曲线«2b2的左右焦点分别为耳，片，从心处出发的光线照射到双曲线右

支上的点尸处（点尸在第一象限），经双曲线反射后过点

第12页共25页

yi

⑴请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：

当。=1,b=C,且直线尸耳的倾斜角为120。时，求反射光线所在的直线方程；

(2)从耳处出发的光线照射到双曲线右支上的点A处，且尸，6，/三点共线，经双曲线反射后过点3,

sinZ^5=i㈣

APLPM,Sm-延长与尸，鸟/分别交两条渐近线于S，、点N是S7的中点，求证：内用为

定值.

(3)在(2)的条件下，延长P。交y轴于点。，当四边形工小。的面积为8时，求C的方程.

【变式4-1](2024•安徽安庆•一模)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过

22

E:---「=10>0)

双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线4b-'的左、右

焦点分别为片、从月发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和。，且

3

tmZCAB=——

4,ABLBD,

(1)求双曲线E的方程；

⑵设4、4为双曲线£实轴的左、右顶点，若过尸(4°)的直线/与双曲线c交于"、N两点，试探究直

线4"与直线4"的交点。是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理

由.

第13页共25页

【变式4-2]郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大

地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡尔坐标系中的方程与在平面直角坐标

系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜

利用了其光学性质等等.

(1)已知A,B是在直线/两侧且到直线/距离不相等的两点，尸为直线/上一点.试探究当点尸的位置满足

什么条件时，IP"一尸引取最大值；

(2)若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线

对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的

另一个焦点.

题型五：抛物线的光学性质

【典例5-1】抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向

射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点尸为抛物线

2交

C:j?=2/(p>0)的焦点，。为坐标原点，M点在抛物线上，且其纵坐标为万，满足阿盟=眼°]

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知平行于x轴的光线/从点P('%2)(加>°)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上另一点

B,最后沿2。方向射出，若射线2尸平分求实数加的值.

第14页共25页

【典例5-2】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方

向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦

点.已知抛物线C：V=2x,。为坐标原点.一束平行于x轴的光线4从点尸（%2）（机＞2）射入，经过。上

的点,（再,弘）反射后，再经c上另一点'（％，%）反射后，沿直线4射出，经过点。（4〃，-〃）.

⑴求证：必力=-1；

⑵若PB平分乙4BQ,求点B到直线QP的距离.

【变式5-1】抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的

方向射出.如图，已知抛物线u'=2刀（。＞0）的焦点为尸，。为坐标原点.一条平行于V轴的光线从上方

射向抛物线C,经抛物线上M,N两点反射后，又沿平行于y轴的方向射出，且两平行光线间的最小距

（1）求抛物线0的方程；

（2）过N向抛物线的准线作垂线，垂足为P,证明：M,0,尸三点共线.

【变式5-2］（2024・高三・青海西宁•开学考试）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经

该抛物线反射后与对称轴平行.已知抛物线C：/=2"（p＞0）,如图，点尸为c的焦点，过尸的光线经

抛物线反射后分别过点MQ，2行-2）,N（3,-2加-2）.

第15页共25页

（1）求C的方程；

⑵设点E（0,2）,若过点0（2,2）的直线与C交于R,7两点，求AERT面积的最小值.

过弱试

I.（2024•江苏扬州・模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,

W-4=1（0>0,6>0）

其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线及。匕/的左、右焦点分

4

cosABAC

别为兄，%,从月发出的光线经过图中的/,3两点反射后，分别经过点C和。，且5,

德•丽=0,则£的离心率为（）

D.^5

2.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之,

平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线/=人的焦点为尸，一条

平行于x轴的光线从点“（2」）射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则

第16页共25页

dBM的周长为（

C8+-\/f3D8+V29

3.（2024・高三・江西•期末）阿波罗尼斯（约公元前262年〜约公元前190年），古希腊著名数学家,主要著

作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此

书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点

二上1

发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：«2b2a>0

6>°的左、右焦点分别为片，%其离心率0=石，从月发出的光线经过双曲线C的右支上一点£的反

射，反射光线为£尸，若反射光线与入射光线垂直，贝。sin/££E=（）

545_4275

A.6B.5C.5D.5

4.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个

焦点（如图）.已知椭圆

2SzMFFz

B,过点人作£的切线/,点8关于/的对称点为若3,则L晒

注：S表示面积

B.2D.2

5.（多选题）（2024•江苏常州•二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面

x2y2

HF,____...—।

反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，双曲线,46的左、右焦点分别

为耳，耳，从巴发出的两条光线经过E的右支上的48两点反射后，分别经过点C和D,其中g共

线，贝U（）

第17页共25页

A.若直线NB的斜率上存在，则上的取值范围为I><

B.当点0的坐标为G而'厢）时，光线由与经过点A到达点C所经过的路程为6

C.当万•瓦=布2时，八®7笆的面积为12

__________.cosZF.F^A-

D.当48.40=48'2■时，-10

---'----1.

6.过椭圆43的右焦点厂的直线与椭圆交于a2两点，则V/08面积最大值为_.

T+2=1

7.已知椭圆,2，-左顶点为A,RQ为椭圆C上两动点，直线尸。交于E,直线°°交的于，

kk=_1__________________

直线OEOQ的斜率分别为左人且一一2,AD=ADF,AE=^EQ（4〃是非零实数），求外+/?=

8.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点

%22

上.已知椭圆C：彳+炉一1（0<6<2）,片，瓦为其左、右焦点.M是c上的动点，点N（o,6）,若

WM+W凰的最大值为6,动直线/为此椭圆0的切线，右焦点入关于直线/的对称点

夕（孙对6—13±4“24|；则椭圆C的离心率为5；S的取值范围为_____.

9.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其

中法线/'表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为

尸式-c,0）,耳（c,0）（c>0）,由不发出的光经椭圆两次反射后回到不经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质

解决以下问题：

椭圆C的离心率为—；点夕是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为/,6在/上的射

第18页共25页

影〃在圆V+「=8上，则椭圆。的方程为_.

10.如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该

点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为43,其左、右焦点

分别是片，工，直线/与椭圆C相切于点0Q'%）,过点尸且与直线/垂直的直线/'与椭圆长轴交于点",

则阳M：优叫=

n.圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称

轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反

射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图

为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜C,副镜是双

曲线左支的旋转面型凸双曲面镜。，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投

射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点片处，但光线尚未汇聚时，又受到以用为焦点的凸双

曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点用处.以片乙的中点为原点，£耳为x轴，建立平

面直角坐标系.若忸心k4米，凹抛物面镜的口径N8为8侬-1）米，凸双曲面镜的口径为1米，要使

副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜C的中央孔洞，则孔洞直径最小为米.

12•点48是椭圆瓦1+5」的左右顶点，若过定点0，°）且斜率不为0的直线与椭圆E交于河，N两点,

求证：直线与直线8N的交点在一条定直线上.

第19页共25页

13.如图，椭圆。有两顶点“(T，°),8(1，°),过其焦点尸(0,1)的直线/与椭圆。交于C,。两点，并与x

轴交于点尸，且直线/的斜率大于1,直线NC与直线交于点0.

⑴求椭圆。的方程；

(2)求证：为定值.

14.如图，己知4及C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，8c过椭圆中心。,且

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过C关于'轴对称的点。作椭圆的切线。£,则N8与。£有什么位置关系？证明你的结论.

15.如图，已知椭圆£：记+彳」，直线4：了=辰+%(机＞°)与圆。2：=1相切且与椭圆

G交于4,3两点.

第20页共25页

4

(1)若线段45中点的横坐标为3,求加的值；

(2)过原点。作4的平行线4交椭圆于c,。两点，设.8卜⑷求彳的最小值.

x'=x

16.(2024・安徽合肥・一模)已知曲线C：/+产=2,从曲线。上的任意点尸GA作压缩变换Ha得

到点尸(2).

⑴求点尸G/)所在的曲线E的方程；

⑵设过点b(T'°)的直线/交曲线£于4,3两点，试判断以N3为直径的圆与直线x=-2的位置关系，并

写出分析过程.

17.设°为坐标原点，椭圆C：^+y一1经过升缩变换1了=拒了后变为曲线C',尸是曲线0上的点.

(1)求曲线0的方程.

(2)设点0在直线x=-3上，.证明：过点尸且垂直于0°的直线/过C的左焦点尸.

18.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过

另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点耳射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦

第21页共25页

V3

点耳，这束光线的总长度为4,且椭圆的离心率为2,左顶点和上顶点分别为/、B.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P在椭圆上，求线段8P的长度忸刊的最大值及取最大值时点P的坐标；

⑶不过点/的直线/交椭圆。于N两点，记直线/,“"MN的斜率分别为左，勺儿，若k(k、+kj=l,

证明：直线/过定点，并求出定点的坐标.

19.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的

/y2

另一个焦点.已知椭圆C：/十定一1(”＞人＞°)的左、右焦点分别为片，网,左、右顶点分别为A,B,一

光线从点尸式一1，°)射出经椭圆C上尸点反射，法线(与椭圆°在尸处的切线垂直的直线)与x轴交于点°,

已知阙口，阳。一5.求椭圆C的方程.

20.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年——325年)，大约100年后，阿波罗尼斯

更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一

个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线厂表示与椭圆的切

线垂直且过