2025届高考数学一轮复习专项训练：平面向量及其应用（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练平面向量及其应用

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1•设6］，02为平面上两个不共线的单位向量，已知向量AB=q—Ze?，CB=2耳—4，CD=3q—302，

若A,B,D三点共线，则k的值是（）

A.2B.-3C.-2D.3

2.在边长为2的正方形ABCD中,E为。。的中点，则+=（）

A.lB.3C.4D.6

3.已知向量a=（l,l）,b=（l,-1）若（％/+为〃则下列关系一定成立的是（）

A.，/=—1B/—〃=2C.X+〃=0D.=1

4.已知向量a=（百,、/?）,且向量。与力的夹角为:，则|。一司的最小值为（）

A.lB.亚C.2D.4

5兀

5.如图，在扇形Q46中，半径|QA|=|。5|=2,弧长为一，点P是弧A3上的动点，点N分

6

别是半径Q4,08上的动点，则周长的最小值是（）

A.V6+V3B.4C.2A/3D.痛+血

6.已知向量〃，力满足（a+〃）_L〃，且|a|=2|力|w0,则a与力的夹角为（）

7.已知向量。=(2,x),方=(3,1),若(2。一〃)！.〃，则|a+〃|=()

A.^/29B,2C.5D.V10

8.已知平面向量:心满足卜-0=6，b|=2,W=1%与办的夹角为()

A.-B.-C.4D.—

6433

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.若华,«是平面c内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()

A.丸6(4〃eR)可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a中的任一向量Q,使&=/16+〃a的实数2，〃有无数多对

C.4,〃],%,%均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数X，使

4号+4。2=2(4«+4。2)

D.若存在实数之，〃,使/lei+〃e2=0,则；1=〃=0

10.已知尢〃eR,AB—(A,1)»AC=(—1,1)>AD=(L〃)*则()

A.CB+DC=(2-1,1-//)

B.若A5〃AD,则2=2,u=-

2

C.若点A是BD的中点，则8,C两点重合

D.若点8,C,。共线，则〃=1

11.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论中正确的是()

A.若则sinA>sinB

B.若QCOS5-/?COSA=C,则△ABC为直角三角形

C.^acosA=Z?cosB,则△?15c为等腰三角形

D.若COS24=£±2,则△ABC为直角三角形

22c

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a，b,b满足k|=3,“=4,q.)=_10，则,+川=-

13.如图，四边形.CD是边长为1的正方形，延长Q)至E,使得°E=2CD•动点尸从点A出发，

沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=AAB+，则X+〃的取值范围为.

22

14.设双曲线__匕=1的左、右焦点分别为F1,工，尸为双曲线右支上一点，且|「耳|=31Pg则

43

ZFtPF2的大小为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.单位向量满足(a+2b)-(a—b)=—|.

(1)求口与/，夹角的余弦值：

(2)若h+人与。+30的夹角为锐角，求实数上的取值范围.

16.已知△A3。内角AB,C的对边分别为a,b,c,设(sinB—sin。)？=sin2A—sinBsin。

⑴求A；

⑵若b+c=4，Z\ABC的面积为立,求a的值.

2

17.在锐角△ABC中A，3，C的对边分别为a,b,c,且也a=2csinA.

(1)求角C的大小；

⑵若c=近,且"=6,求△ABC的周长.

18.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2gasin3cosA+bcos2A=b.

(1)求A

(2)若△ABC的面积为递，a2-b2=3,求3C边上的高.

2

19.在钝角三角形ABC中，内角/BAC,8,C的对边分别为a,6,c,bsinC+acosC=〃，且人=ma.

(1)求角B的大小.

(2)若点。在边8C上，且5。=3£)。，求tan/CAZ)的值.

参考答案

1.答案：A

解析：由题意ZXB=CB—CD=—6]+26=—（6—2々）,

且AB=q—ke2，

因为A,良。三点共线，

所以存在实数4，使得05=九43，

所以一（q=X（q-％4），

2=-1

即"，解得女=2.

—Ak=2

故选：A.

2.答案：D

解析：因为四边形ABC。是边长为2的正方形，所以|A£）|=|=2,AO.=0，

（AD+A5）AE=（AD+AB）（AD+DE）=（AD+AB）fAD+|ABj

.2121,

=AD+—AB=4+—x4=6・

22

3.答案：D

解析：Q=(l,l),b=(l「1)

/.Ztz+Z?=(1+Z,Z-1),a+=(1+〃,1一〃)

由(a+&?)〃(〃+曲)

可得(1+4>(1—〃)=(%—1>(1+〃)，

整理得加=1.

4.答案：C

解析:方法一：|a——」=|a|2-2|«||Z>|COS-+|£>|2=|*|2^I*I+8=（|Z>|-2）2+4,

4

所以当|万|=2时，|a-5『取得最小值%所以|a—切的最小值为2.故选C.

方法二：设a=Q4,b=OB,贝8=84,当BAL08时，|R4|取得最小值，此时

I”切同=104回11巴=2&'变=2.故选（2.

5.答案：D

解析：如图，连接。P,作点P关于直线04的对称点A,关于直线08的对称点鸟，

连接18交。4于点M,交OB于点N,连接W,PN,

Mij|PM|=|^M|,|P7V|=|^|,\O^\=\OP!\=\OP\=2,

此时△PVW的周长取得最小值，其最小值为线段£鸟的长度，

57r5冗

因为扇形。45的弧长为一，半径|Q4|=|。5|=2,所以NA03=—,

612

5汽

根据对称的性质，可得/《。£二一，在△《。鸟中，由余弦定理，

6

得Iq=|O^|2+|O^|2-2|O^||O^|cosy=22+22-2x2x2x（^--

=8+4代=（#+物2,所以出国=#+0,

即ARMN周长的最小值是n+故选D.

6.答案：C

解析：由（a+"）_LZ>,得（a+㈤•力=0,则Q•办=一/=一|〃『.

又aI二|a|M|cos。（其中0为Q与方的夹角，0«夕<兀），

所以—网2=4网cos。.

[2兀

又|a|=2传/0,所以cos8=——，所以6=——.故选C.

23

7.答案：C

解析：由向量。=(2,幻，5=(3,1),得2a—8=(l,2x—1).因为(2a—》)，》，所以

(2a-b)-b=3+2x-l=2x+2=0,解得尤=—1,所以。+8=(5,0),所以|。+切=5.故选C.

8.答案：C

解析：设°与台的夹角为。，

由|a-切=石两边平方得J—2a电+片=3，

即4-2x2xlxcos9+1=3,cos6=g,

由于owes兀，所以。=四・

3

故选：C.

9.答案：BC

解析：由题意可知：耳，02可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A,D正确，B不

正确；

对于C,当4=4=〃]=〃2=0时，则4。+从02=4q+4^2=0，

此时任意实数%均有+从e2=2(4J+^^2)，故C不正确.故选BC.

10.答案：ACD

解析：因为AB=(2,1),AC=(-1,1),AD=(l，zz),所以

CB+DC=DB=AB-AD=(A,l)-(l,//)=(^-l,l-^)，A正确；

因为AB〃AD,所以切—1=0,所以羽=1,取;1=3,则〃=；，B不正确；

因为点A是8。的中点，所以A8+AD=(/M)+(l,〃)=(0,0),即；l=—1,〃=一1,从而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以8,C两点重合，C正确；

因为点8,C,。共线，所以存在实数f,使得AD=(l,〃)=/AB+(l—f)AC

=，(九1)+(1—，)(—1,1)=(Z/1+%—1,1),所以//=1,D正确.故选ACD.

11.答案：ABD

解析：对于A,A>5OQ>Z?o2HsinA>2Asin3osinA>sin5,A正确；

对于B,由acosB-bcosA=c,可知sinAcos5-sin5cosA=sinC,

jr

即sin(A—6)=$皿(4+6).又5wO,所以A=,,△ABC为直角三角形，B正确；

对于C,由正弦定理可得2HsinAcosA=2Hsin5cos_B,即sin2A=sin2B,

jr

而2A+25£(0,2兀)，则有2A=25或2A+25=兀，即A=5或A+JB=,,

即△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；

—十2Ac+b1+cosAc+b,,,

对于D,cos—=o----------=0ccosA=b，由

22c22c

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得Z?=acosC+ccosA,

7T

即acosC=0,而awO,贝i|cosC=0,C=—,△ABC为直角三角形，D正确.故选ABD.

2

12.答案：75

解析：由向量a，/,也满足卜|=3,卜卜4,且=_io，

则,+)[=J+d+2a力=32+42—20=5，所以卜+W=6.

故答案为:、污.

13.答案：[0,4]

解析：建立如图所示的平面直角坐标系：

则3(1,0)，£(-2,1)，所以AP=/L4B+〃AE=(X—2〃,4)，

当PwAB时，有1，即0W/IW1，〃=0，

此时2+〃的取值范围为[0,1]>

当PGBC时，有即1W2+〃=(；1—2〃)+3〃=l+3〃W4,

此时4+〃的取值范围为[1,4].

当PeCD时，有＜°"，即3WX+//=（X—2〃）+3//=（X—2〃）+3W4，

〔〃=1

此时;1+〃的取值范围为［3,4］，

当PeDA时，有2"］0,即0＜2+〃=（4—2〃）+3〃=3〃W3，

此时2+〃的取值范围为［0,3］，

综上所述，4+〃的取值范围为［0,41

故答案为：［0,4）

14.答案：-

3

22_________

解析：因为双曲线工—匕=1，则"=2,6=6，所以。=/？寿=、/7，

43

因为P为双曲线右支上一点，所以|PFi\-\PF2\=2a=4，又|PH|=31P乙|,

所以|「耳|=6,|/鸟|=2,|耳居|=2c=2"

由余弦定理闺闾2=|p用2+归闾2_2\pFi\-\PF2\cosZFlPFr

21

即仅⑺=6?+2?-2x2x6cosN£P玛，解得cos/片P月=/，又0</片〈兀,

1/3

故答案为：

3

15.答案：（1）-

3

解析：(1)因为同=忖=l,(a+2Z?).(a—b)=-g,

所以了+分匕一2/?2=—2,即l+q./j—2=—2,则./?=—,

333

则cos〈a,b)=8三=L即0与6夹角的余弦值L

\a\\b\33

（2）因为h+。与a+30的夹角为锐角，

所以（必+bj（a+3b）＞0且依与d+3b不共线,

当ka+b与a+3b共线时，有3+b=X（a+3b），即左〃+人=+3Ab，

由⑴知〃与"不共线，所以k-2，解得女」1，

[1=3%3

所以当履+b与。+3。不共线时，左wg，

由（如+》）•（〃+3b）>0,得32+（3左+1）〃力+352>0,

即左+（3左+l）xg+3〉0,解得女〉一|,

所以左〉[且左弓即实数左取值范围为「imH.

16.答案：（1）A=E

3

Q）a=M

解析：（1）原式化简可得：sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，

整理得：sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC5

由正弦定理可得：力+c?-a2=be，

.­.cosA=b2+c2~a2=-因此三角形的内角A=二；

2bc2'3

⑵S^ABC^-bcsinA^-bc-—^—^

:.be=2,

-a2=b2+c2—2bccosA=（b+c）2—3bc=16—6=10，

/.a=A/TO,

17.答案：（DC=巴

3

⑵5+S

解析：（1）由&a=2csinA及正弦定理得«=*

cV3sinC

因为sinA>0,故sinC=3・

2

又・△ABC为锐角三角形，所以C=-

・3

2

（2）由余弦定理〃2+^—2abcos—=7，

3

2

ab=6，得"+Z?=13

解得：卜=2或1=3

b=3[b=2

：.Z\ABC的周长为a+Z；+c=5+S-

18.答案：（1）A=-

3

⑵匹

7

解析：（1）由已知条件及正弦定理，得2gsinAsinB-cosA+sinBcos2A=sinB.

又sin5w0,/.2A/3sinAcosA+cos2A=1,

则由sin2A+cos2A=1,

.•.2sin（2A+野=1,则sin[2A+6]=g.

T7A/八\C4兀（兀13兀）

又A£（0,兀），「.2AH—G—,----,

6166J

.7C5兀AT7Zf=t.7T

则2AH—=—，斛得A=—.

663

（2）由△A5C的面积为少，得上bcsinA=*,

222

63A/3

——be=-----，贝！JZ7c=6.

42

由余弦定理，得a?=/+/-2Z;ccosA,

/.—Z?2=—be.

又a?—/=3,..3=c2—6,解得。=3.

.\b=2,a=-\/7.

设BC边上的高为加

则S^ABC=~A^=，

:.h4巫

币7

2JT

19.答案：(1)B——

3

(2)tanZCAD=—

21

解析：(1)由Z?sinC+QCOsC=b及正弦定理，得sin5sinC+sin/BACcosC=sin5

因为sin5=sin(ZBAC+C)=sinABACcosC+cosABACsinC,

所以sinBsinC-cosZBACsinC.

因为OVC<TI,所以sinCwO,则sin5=cosNBAC.

因为△ABC为钝角三角形，且