2025届高三数学双变量问题题型汇编（学生版）

°(EES°

命题城..................................................................................1

知识梳理..................................................................................1

举一反三..................................................................................2

【题型1双变量单调性问题】.............................................................2

【题型2双变式的最值（范围）问题】......................................................5

【题型3与极值点有关的双变量问题】....................................................7

【题型4与切线有关的双变量问题】......................................................9

【题型5与零点有关的双变量问题】.....................................................11

【题型6双变量的恒（能）成立问题】.....................................................13

【题型7双变量的不等式证明问题】.....................................................15

【题型8双变量的新定义问题】.........................................................19

课后提升.................................................................................23

Q（命题规律）

导数是高中数学的重要内容，是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，导数中的双变量问

题在高考中占有很重要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式

证明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.

（知识梳理）

【知识点1导数中的双变量问题】

1.导数中的双变景问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.•••

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1.转化为同源函数解决双变■问题

此类问题一般是给出含有的，的，/31）,/（电）的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式

相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2.整体代换解决双变■:问题

（1）解此类题的关键是利用代人消元法消去参数a,得到仅含有色，*2的式子.

（2）与极值点g,g有关的双变量问题：一般是根据xlfg是方程/'（4）=0的两个根，确定xltx2的关

系，再通过消元转化为只含有X1或g的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为伤，出的齐次

式，然后转化为关于生的函数，把歪看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数

来解决问题.

3.构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意,探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步臊.

-O［举一反三）

【题型1双变■:单调性问题】

2—ax^①41

1.（2024・四川德阳•一模）已知函数/（力）=1?32小2小11门若对任意①iVg，都

-^x6—^axz+（2a2+2）x--g-,x>l

有/（刈）—/（g）<2电—2g，则实数Q的取值范围是（）

A.(—00,—2)B.[l,+oo)C.(―2,/]D.(一8,一告]

2.（2024.四川内江.模拟预测）定义在R上的函数/（⑼，对V61,电GR都有gf（g）+x2f（x2）>0/（电）+

g/Ql）,若/3a）>/（10gaC）（Q>0且QW1）,则下列式子一定成立的是（）

2

A.alna<一B.alna<—C.alna>—D.alna>—

eeee

3.（24—25高二上•全国•课后作业）已知函数/（力）=2\nx+x2—ax.

（1）当Q=1时，求/Q）的单调区间；

（2）若对任意0VgVg，都有/但）-/（&）＞1,求a的取值范围.

X2—X1

4.(23—24高二下•辽宁朝阳•阶段练习)已知函数/Q)=c—(a+2)lnc—乌署.

(1)讨论函数/(①)的单调性；

(2)设gQ)=lnc+5,对任意Xi,x2C[3,+8),且电>g,使/(g)—/(皿)>a[g(a；2)—g(a?i)]恒成立,

求正实数a的取值范围.

【题型2双变■:的最值(范围)问题】

5.(2024.广东广州•模拟预测)已知函数/(劣)=ex+x,g(x)=\nx+/，若/(%)=g(62),则力的的最小值

为()

A.—eB.——C.—1D.—

e2

fe”x>0

6.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数/(%)='，若aVb,且/(。)=/仙)，则b—。的取值范

[力+2,a;<0

围是()

A.(In2,l]B.(In2,l)C.(yln2,l]D.[1,2)

7.(2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(工)=ex-ax—^-x1.

(1)若(3)>0,求实数a的取值范围；

(2)若/(2)>—^-x2+x+b,求(a+l)fe的最大值.

•••

8.(2024/(c)=ae-a;3(aeR)

高三下•全国・专题练习)已知函数。有三个极值点为，电，T3(TI<X2<X3).

(1)求实数a的取值范围；

(2)若g>2g，求实数a的最大值.

【题型3与极值点有关的双如问题】

9.(2024•福建泉州•一模)已知电，叫,是函数/3)=(±—1)3—力两个极值点，则()

A.力1+力2=—2B.g+g=lC./(g)+/(g)=-2D./(g)+/(g)=2

10.(2024•全国•模拟预测)若函数/(力)=aln/+]劣2一2/有两个不同的极值点力且力一/(g)+x2<

/(g)—©恒成立，则实数力的取值范围为()

A.(—oo,—5)B.(—oo,—5]C.(—oo,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

11.(2024•四川德阳•二模)已知函数/(6)=lnx+x2—2ax,aER,

(1)当Q>0时,讨论/(劣)的单调性；

(2)若函数/(力)有两个极值点/1,①2(/1〈力2),求2/Q1)—/(N2)的最小值.

12.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知/Q)=—■^-e2x+4ex—ax—5.

⑴当a=3时，求/(c)的单调递增区间；

(2)若/(①)有两个极值点g,x2.

⑴求a的取值范围；

(久)证明：/(刈)+/(x2)+s1+a；2<0.

M

【题型4与切线有关的双变・问题】

13.（23-24高二下•湖南•期中）已知F（t,t2），过点P可作曲线〃为=x-lnx的两条切线，切点为

3，/（的）），（陶/（电））.求"2—）二’的t]的取值范围（）

A.（—1,0）B.[—1,0）C.（—2,—1）D.[—2,—1）

14.（2024•河北邢台.二模）已知函数/（力）=〃+21nx的图像在/（Ni,/（g））,B（力2,/（62））两个不同点处的

切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A./1+力2=2B.力1+22=孚C./巡2=2D.力逆2=当

OO

15.（2024•广东•二模）已知/（力）=-^-ax2+（1—2a）x—21nrc,a>0.

（1）求/Q）的单调区间；

⑵函数/（为的图象上是否存在两点4（%协）,_8（狈统）（其中为¥加，使得直线与函数/（c）的图

象在3=217处的切线平行？若存在，请求出直线4氏若不存在,请说明理由.

16.(2024・重庆•模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法--牛顿法.具体做

法如下:如图，设T是fa)=0的根，首先选取g作为r的初始近似值，若/(c)在点(g,/(g))处的切线

与田轴相交于点(处0),称O是r的一次近似值;用电替代g重复上面的过程，得到g，称g是「的二

次近似值；一直重复，可得到一列数：网,2i,g,…，*“，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

XLSCN*)近似值相等时，该值即作为函数/(①)的一个零点

(1)若/(x)=炉+3d+力—3,当g=0时,求方程/(宓)=0的二次近似值(保留到小数点后两位)；

(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线,求函数g(x)=e。一3在

点(2,5(2))处的切线，并证明：ln3<1+2；

e2

⑶若h(x)=x(l-lnx)，若关于①的方程h(x)=a的两个根分别为Vg)，证明：电一3>e—

ea.

【题型5与零点有关的双变・问题】

17.（2024.河北衡水.模拟预测）已知函数/（6）=Inx+1—QN有两个零点g,劣2,且V72,则下列命题正

确的是（）

21

A.a>1B.g+力2V—C.Xi•rc<1D.电一期>---1

a2a

o

18.（2024・四川南充•一模）已知函数/Q）=Inx-------F2—m（0<m<3）有两个不同的零点g,x（x<

x21

g），下列关于的，X2的说法正确的有（）个

mo

①①Ve2优③”＜电＜日

②熹④0力2＞1

61

A.1B.2C.3D.4

19.（2024.全国.模拟预测）已知函数/⑺=ac—^a>0.

X

（1）若/（力）存在零点，求Q的取值范围；

⑵若如力2为/（力）的零点，且劣1<力2,证明：。（力1+宓2）2>2.

20.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(6)="lna;_?7z有两个不同的零点g，电，且t=就+总.

(1)求实数项的取值范围；

(2)求证：t<l;

⑶比较t与2及2m+冬的大小，并证明・

ee

12

【题型6双变■的恒(能)成立问题】

21.(2024•重庆•模拟预测)已知函数/㈤=乎,gQ)=azeR,若存在gC(0,l),g6(—8,0)使得/(g)

=g(g)，则实数a的取值范围为()

A.(—oo,—2)B.(—2,—1)C.(—1,+8)D.(0,+8)

22.(2024.陕西商洛•模拟预测)已知函数/(%)=2adn/—ad,若对任意的如gC(0,+8),当c1>g时,

都有2为+/(电)>2/2+/(g)，则实数Q的取值范围为()

A.,+oo)B.[1,+oo)C.[上,+oo)D.[2,+co)

23.(2024.四川泸州l模)已知函数/(力)=ax+1—xlnx的图像在/=1处的切线与直线力一g=0平行.

(1)求函数/(⑼的单调区间；

(2)若VX19X2G(0,+8),且61>/2时，/(力1)—7(劣2)>馆(或一谴)，求实数馆的取值范围.

24.（23—24高二下•湖南郴州•期末）已知/（力）=alnx+-^-o:2—2%（Q€A且aW。），g（力）=cosx+xsinx.

（1）求gQ）在［—兀，兀］上的最小值；

（2）如果对任意的为e［—兀，兀］，存在ge『工,e］,使得一a<g（g）成立,求实数a的取值范围.

Le」力2

【题型7双变■的不等式证明问题】

25.(2024•河北保定•二模)已知函数/(2)=ax—为其导函数.

(1)若f(G41恒成立，求a的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数力1,22,使得/(21)=/(22),证明：出m2)>0.

26.(2024.全国.模拟预测)设函数/Q)=x\nx

(1)分析/(⑼的单调性和极值；

(2)设gQ)=/(2+?)+已，若对任意的①>0,都有gQ)>小①成立,求实数m的取值范围；

(3)若的彳电,且满足/(g)+/(电)=](若+谴)一1时,证明：£i+g>2.

27.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知函数/㈤=a（l-21n2；）+4，（aCR）.

（1）讨论/Q）的单调性；

（2）若g,©31片电）为函数g（c）=k"+七一Inc的两个零点，求证：31电）4>12e4.

28.(2024.四川成都・模拟预测)已知函数/(⑼=他型-m,xG(0,兀).

ex

(1)求函数/(⑼的单调区间；

⑵若为〈啊,满足/(电)=/(X2)=0.

(i)求力的取值范围；

(ii)证明：g+c2V兀.

18

【题型8双知的新定义问题】

nIn/x-1i

29.（2024・四川成都•模拟预测）定义运算：=mq—np,已知函数/（①）=，。3）=----

pqlax

⑴若函数/Q）的最大值为0,求实数a的值；

（2）证明：（1+券）（1+a）（1+5）…（1+十）<e-

（3）若函数拉（⑼=/3）+gQ）存在两个极值点内电,证明："3）—a+2<0.

力1―力2

•••

30.(2024•浙江绍兴•三模)若函数aQ)有且仅有一个极值点馆,函数仪力)有且仅有一个极值点打，且小>

n,则称0(⑼与/?(劣)具有性质a—/3//m>n.

(1)函数为(力)=sinrc—力2与以/)二㊀①一/是否具有性质仍一敕〃/()〉。？并说明理由.

(2)已知函数/(2)=ae*—In(6+1)与g(①)=ln(rr+a)—e~+1具有性质/—g〃/i>62・

⑴求以的取值范围；

⑻证明：|g(g)|>|g|.

•••

31.（2024.浙江温州.二模）如图，对于曲线「，存在圆。满足如下条件：

①圆。与曲线r有公共点4且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线；

③曲线r的导函数在点人处的导数（即曲线r的二阶导数）等于圆。在点人处的二阶导数（已知圆

2

（®-a）+（9一匕苗二产在点△（&,为）处的二阶导数等于,二、3）；

（b-yj

则称圆C为曲线「在A点处的曲率圆，其半径「称为曲率半径.

⑴求抛物线夕="在原点的曲率圆的方程；

（2）求曲线夕=上的曲率半径的最小值；

X

⑶若曲线g=e”在（伤,e的）和（rr2,俨）⑶丰re2）处有相同的曲率半径，求证：/i+g<—ln2.

32.(2024.上海徐汇.二模)已知常数％为非零整数，若函数4=f(x),xG[0,1]满足:对任意xlfx2E[0,1],

|/(®1)-/(T2)|<I@+1)J3+1)，,则称函数y=/(尤)为L(k)函数.

⑴函数9=2力，力6[0,1]是否为乙⑵函数？请说明理由；

⑵若"=/(*)为乙⑴函数，图像在力G[0,1]是一条连续的曲线,/(0)=0,/⑴=卷,且/(为在区

间(0,1)上仅存在一个极值点，分别记/⑸max、/⑺min为函数g=/Q)的最大、小值，求/⑸max-

/O)min的取值范围；

2

(3)若Q>0,/(力)=0.05a;+0.lx+aln(x+l)，且g=/(力)为L(—l)函数，g(x)=/(力),对任意x,y

G[0,1]，恒有|g(6)—g(g)|记M的最小值为M(Q),求a的取值范围及M(Q)关于a的表达式.

（课后提升）

一、单选题

33.（2024・吉林长春•模拟预测）已知Q,b满足e』—aeRb（lnb-2）=e,其中e是自然对数的底数，则ab

的值为（）

A.—eB.—e2C.—e3D.—e4

2

34.（24—25高三上•山西大同•开学考试）已知如力2是函数/（%）=-^-ax—2x-\-lnx的两个极值点，若不

等式772>/（劣1）+/（g）+/1/2恒成立，则实数瓶的取值范围是（）

A.（—3,+8）B.[—2,+oo）C.（2,+oo）D.[e,+8）

2x

35.（23—24高三上•山东•阶段练习）已知函数/（力）=e,g（x）=x-1,对任意E凡存在x23（0,+oo）,

使/（力i）=g（力2），则电一/1的最小值为（）.

A.1B.A/2^C.2+ln2D.—I---ln2

36.（2024.江苏南通.模拟预测）已知直线沙=强+力与函数g=Asin（0N+0）（人>0,0>0）的图象恰有两

个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为自和防，且自>防，则（）

A3.fci57.fci5「5々自々7门7々自々7

RD-

37.（2024.山西晋中.模拟预测）已知函数/Q）=clmc,gQ）=ce*若存在的C（0,+8）,geR,使得

f（X1）=g（x2）>0成立，则生的最大值为（）

X1

A.■-B.1C.2D.——

eee2

38.（23-24高三上.广东江门.阶段练习）已知/（c）=almE+]"（a>0）若对于任意两个不等的正实数

C，都有,（的）—八电）>2恒成立，则a的取值范围是（）

一力1一力2

A.(0,1]B.[1,+8)C.(0,3]D.[l,2e)

39.（23-24高三上•河北沧州•阶段练习）已知函数/（⑼=e，—的定义域为（｝,2）,且对VG

/01)一/(电)

（5,2）,曲片物Vg+g恒成立，则实数Q的取值范围为（

二1一62

A.-1,+8)B.[Ve-l,+oo)c.D.(―oo,-|--1

40.（23—24高二下.福建福州・期中）已知函数/（为）=（力-2）巴若/（g）=/（62），且g¥力2,g•优2>0,则

iQ

A.a：i>—B.rc2<-C.xrx2>1D.g+gVZ

二、多的

41.(2024.重庆万州.模拟预测)若函数/(2)=In(ax)-1,g(x)=ex-6,满足对Vxe(0,+oo)均有

/(c)gQ)>0,则ab的取值不可能为()

A.eB.尊C.e2D.9

4

42.(2024.广东广州.一模)已知直线沙=•与曲线g=lnc相交于不同两点7W(如gj,Mg,")，曲线4=

In%在点河处的切线与在点N处的切线相交于点P(g,%)，则()

A.0<fc<—B.xx=exC.%+m=1+队D.yy<1

er20r2

43.(2024•海南海口