2025年北京高考数学二轮复习：不等式与复数（讲义）（原卷版）

专题02不等式和复数

目录

01考情透视•目标导航............................................................1

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破............................................................9

题型一：利用基本不等式比较大小9

题型二：利用基本不等式求最值10

题型三：复数的基本考点11

题型四：复数的高级考点12

0

/“考情透视•目标导航Q

有关不等式和复数的北京高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试

形式分别以一道选择题为主，分值5分.近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主，多与函数及其他

有关最值等内容交汇，属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交汇、

难度较小，属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多

而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考，①

不等式的性质和基本不等

式这部分内容主要以选择

基本不等式的应

不等式2024北京第9题，5分题或填空题的形式出现，这

用；不等式的性质

类题目主要考查逻辑思维

能力和运算求解能力。

②以考查复数的四则运算

为主，偶尔与其他知识交

汇、难度较小，考查代数运

复数的四则运算；2024年北京第2题，5分

复数的坐标运算；2023年北京第2题，5分算的同时，主要涉及考查的

共甄复数的概念2022年北京第2题，5分概念有:复数的代数形式'

复数

及计算；复数模长2021年北京第2题，5分共舸复数、复数的模、复

的运算；复数的几2020年北京第2题，5分

数的几何意义等，考查学生

何意义2019年北京理科第1题，5分

的逻辑推理'数学运算等

学科核心素养

〃用识导图•思维引航\\

牛ni口捺理•右法怙,

1、利用不等式的性质比较大小

遨道

(鼠路]核心技均，应用不等式的性质时，注意保序和反序

如：①不等式两边同时乘以非负需要保序②不等式两边同时非负方需要保序

③不等式两边同时乘以负数需要反序④同号取倒反序

④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性

通路2：可以代值验证选®有时需要代多组数据,相对麻烦，本人不推荐

2、基本不等式常用模型

技巧总结

(形式一，mx+—>2Jmn(m>0,«>0),当且仅当x=时等号成立.

xVm

(形式二)mx-\——^—=m{x-d)-\——-——\-ma>2y1mn+ma(m>Q,n>0)，当且仅当％一。=时等号

x-ax-aVm

成立.

———=—1—<^=—(。>0,c>0),当且仅当x=J-时等号成立.

形式三

ax办+人+§2]ac+bVa

x

Anzfnn、/、mx(n-mx)1,mx+n-mx2//八八八止口e止n

I形式四-mx)=--------------<—(---------------)X=——(m>0,n>0,0<x<一),当且仅当x=——

mm24mm2m

时等号成立.

3、双加配凑模型

运总画

履查)形如：已知。+»=1,求的最值

------a+mb+n

第一步：将条件配凑成分母的形式

(tz+m)+(/?+n)=1+m+n

第二步：相乘利用基本不等式

n----------1(a+m)+(/?+〃)](1——--]

1+m+n\a+mb+n)

4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

访寿

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如y=x+4（a〉0）的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解.

5、几个重要的不等式

函道

（1）a2>O（tzeR）,4a>0（a>O）,|tz|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果则巴心之而（当且仅当=6，，时取

2

特例：a>0,«+->2;-+->2（a/同号）.

aba

（3）其他变形:

①Y+廿之（"+"）（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）

2

②abW生地-（沟通两积ab与两平方和a2+b1的不等关系式）

2

③（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：石即

ab

调和平均值<几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

6、不等式易错分析

砺，百

基本不等式

如果。>0方>0,那么向当且仅当a=b时，等号成立.其中，i叫作4,6的算术平均数，4ab

22

叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,beR,则当且仅当a=6时取等号；

基本不等式2：若a,bcR+,则"+”4^(或a+b22mj),当且仅当a=6时取等号.

2

注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定

值，“三相等”指满足等号成立的条件.(2)连续使用不等式要注意取得一致.

7、复数的基础考点

技巧总结

(1)复数的概念：

形如a+初(a/eR)的数叫复数，其中。力分别是它的实部和虚部.若6=0,则。+方为实数；若bwO,

则a+方为虚数；若a=0且Z?wO,则a+方为纯虚数.

(2)复数相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共辗复数：。+初与c+di共辗oa=c/=-d(a,dc,deR).

(4)复数的模：

向量反的模叫做复数z=a+历①/eR)的模，记作忖或|a+历|,即|zH。+历1=Z?方.

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+bi-<------*复平面内的点Z(a,b)(a,beR).

一一对应___►

(2)复数z=Q+Z?，(〃,Z?£火)^------►平面向量。Z.

3.复数的运算

设4=a+次；z2=c+di(a,b,c,deR),则

(1)加法：4+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)减法：Z]—z2=(〃+初)—(c+成)=(a—c)+(>—；

(3)乘法：4•z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

8、复数的高级考点

1.分式快速化简

4_a+bi_{a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.八、

中+E瓶z+4”°)(分母相同'分子竖的加叉的减)

Z2c+di(c+di)(c—di)

2.分式的模长快速求解:

c+dic+di7c2W

z=nz=nz=

a+bia+bi

倒4

宜颠金血迎

1.【2024年北京第9题】已知(不/)，(9，%)是函数y=2,的图象上两个不同的点，贝！J()

A.log%+%<%+尤2B.logX+%；%+尤2

222222

M+%

c.log<x+xD.log2">xt+x2

2212

2.【2024年北京第2题]已知：=一1一i,贝归=().

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i

3.【2023年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,遮)，则z的共辗复数讶=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

4.[2022年北京第2题】若复数z满足i•z=3—4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

5.【2021年北京第2题】在复平面内，复数z满足(1-i)z=2,贝收=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

6.【2020年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则＞z=().

A.1+2iB.—2+iC.1—2iD.-2—i

7.【2019年北京理科第1题】已知复数z=2+i,则z-2=

A.V3B.V5C.3D.5

8.【2018年北京理科第2题】在复平面内，复数七的共轨复数对应的点位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.【2017年北京理科第2题】若复数(l-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围

是

A.(-co,1)B.(f，-1)

C.(1,+oo)D.(-1,+oo)

10.[2015年北京理科第1题】复数i(2-i)=

A.l+2iB.l-2iC.-1+2iD.-1-2i

11.【2016年北京理科第9题】设aCR,若复数(1+i)(a+。在复平面内对应的点位于实轴上，则。=

题型一：利用基本不等式比较大小

【典例1-1】已知函数/（x）=2、，若且占〈尤2，则下面结论错误的是（）

A.fg<f(x2)B.[七斗小学出

C./(%1%2)=/(%1)+/(%,)D./(%1+%2)=/(%1)/(%,)

【典例1-2】若a/eR,S.a>b,则()

22

A.—z--<—2—-B.ab>ab

ci+1b+1

一1°—a+b7

C.cf>ab>bD.a>------>b

2

1、应用基本不等式时的三个关注点

一正数指式子中的a,b均为正数

二定值只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值

三相等即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值

2、利用基本不等式比较大小

在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆

项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为

“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能

【变式1-1］已知a",ceR,则下列命题为假命题的是（）

A.若a>b,贝lja+c>>+cB.^a>b>0,贝1Ja04>户,

.bb+c

C.若a>A,则D,若a>0>0,c>0,则n一,——

aa+c

【变式1-2］已知a>6>0,下列不等式中正确的是（）

cc

A.—>-B.ab<b2

ab

11

C.a-bT-----22D.---<----

a-ba-1b-\

【变式1-3]已知avbvO,则()

A.--->0B.sin«—sinZ7>0

ab

C.问第<0D.ln(-a)+ln(-Z?)>0

【变式1-4】若次;>0,且av〃，则下列不等式一定成立的是（）

11

A.a2<b2B.—<—

ab

baa+bf-r

C.-+->2D.------>7ab

ab2

命题预测n

1.下列命题中，真命题的是（)

A.若a<b,贝|—>—B.若a>b,贝九片〉"〉"

ab

C.若0<〃<b<c,贝Ulog,〃<log,bD.若a+2Z?=2,贝12。+4A24

2.设0<av〃，则下列不等式中正确的是

a+ba+b7

A.a<b<y/ab<B.<------<b

22

a+ba+b,

C.a<y[ab<b<D.yI~ab<a<------<b

22

题型二：利用基本不等式求最值

1o

【典例2・1】已知函数/⑺过定点〃，点M在直线e+〃y=l上且九”0,则一+―的最小值为（）

mn

A.3+20B.4+2后C.3+72D.4+72

【典例2-2］已知％>0,y>。，且,+2y=l,则2%+—的最小值为（）

%y

A.4B.6C.8D.10

国O巧

利用基本不等式求代数式的最值

（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数

式的最大值或最小值

（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解

答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式

【变式2-1】已知而为正数，则学+2（）

ba

A.有最小值，为2B.有最小值，为2应

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

144

【变式2・2】在函数①y=工+—（％。0）,@y=x+——--3（x>l）,@y=-x------2（x<0）,④

xx-1X

>=岳M+-/；7（尤eR）中，以2为最小值的函数的序号为（）

yjx~+2

A.①②B.②③C.②④D.③④

【变式2-3］已知G是VABC的重心，过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点E,F（点E,尸与所

在边的端点均不重合），设丽=x衣，AC=yAF,则'的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【变式2-4］使“函数"x）=Jf+a+l+iJ的最小值为2”为假命题的”的一个值可以是（）

yjx+a+1

A.-2B.-1C.0D.1

【变式2-5］当x>2时，4了+」彳2。恒成立，则。的最大值为（）

x-2

A.6B.10C.12D.13

命题预测

1.已知（不，%）,（乙,%）是函数y=lnx的图象上的两个不同的点，贝!J（）

A.—月三B.C.门八丁D.D+/<％+考

2

Q

2.已知〃x）=2x+——-（4<x<6）,的值域为_______

x-3

14

3.已知%>0,y>0,且个=1,则一+一的最小值为.

题型三：复数的基本考点

【典例3-1】在复平面内，复数z=2-3i对应的点的坐标为（）

A.（2,3）B.（—2,3）C.（—2,—3）D.（2,-3）

【典例3-2］设复数z=3-i,则复数2在复平面内对应的点的坐标是（）

1

A.（1,3）B.（-1,3）

C.(-1,-3)D.(-3,-1)

①复数的概念：形如。+历（凡6GR）的数叫做复数，a,6分别是它的实部和虚部，j叫虚数单位，满足广=T

（1）当且仅当6=0时，。+行为实数

（2）当厚0时，a+bi为虚数

（3）当。=0且厚0时，。+历为纯虚数.其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共聊复数

②两个复数a+bi,c+di（a,b,c,deR）相等,（两复数对应同一点）

［b=a

③复数的模：复数。+初的模，其计算公式|z|=|a+次|=，2+从

【变式3-1］复数z满足三=（1+0），在复平面内z所对应的点在第三象限，则实数a可能是（）

1—1

A.1B.2C.-1D.-2

【变式3-2］已知复数z满足目=2（i是虚数单位），则|z+3］的取值范围是（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[3,5]D.[1,5]

【变式3-3]已知复数z=l-2i(i是虚数单位)，则复数z的虚部为()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【变式3-4]已知三=i-l,则|z|=()

1

A.0B.1C.y/2D.2

【变式3-5］在复平面内，复数z=（2+i）i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

命题硕测J

1.己知复数z=i(2-i),则|z|=()

A.1B.72C.73D.y/5

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是卜1,君），贝，.z=（）

A.73+iB.-y/3-iC.73-iD.一石+i

3.已知复数z满足|z+l|=|z-i[,则|z+i]的最小值为__.

题型四：复数的高级考点

【典例4・1】设复数z满足二=i,则z・N=（）

1+z

A.正B.—C.-D.2

422

【典例4-2]若复数z满足i=上工（i为虚数单位），贝|z的虚部是（）

Z

A.iB.1C.-iD.-1