2025年北京高考数学复习热点题型专练：函数的性质（单调性+奇偶性+对称性+周期性）（8类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题02函数的性质（单调性+奇偶性+对称性+周期性）

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01根据函数单调性求参数...................................................................I

题型02根据函数单调性解不等式.................................................................4

题型03根据函数单调性比较大小.................................................................7

题型04函数奇偶性的应用......................................................................10

题型05根据函数奇偶性求参数..................................................................12

题型06奇偶性+单调性解不等式.................................................................15

题型07根据函数周期性求值....................................................................18

题型08函数对称性的应用......................................................................22

O----------------题型探析・明规律----------O

题型01根据函数单调性求参数

【解题规律•提分快招】

「715-函薮丽戢丽破后革赢

设两个函数/（x）,g（x）在区间瓦）上的单调性如下表,则/（x）+g（x）在切上的单调

性遵循（增+增=增；减+减=减）

/（X）g(x)f(x)+g(x)

增增增

减减减

f(x)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

（2）通过求导判断单调性

一_5,XW]

【典例1-1]（23-24高一上•北京•期中）已知函数a।是R上的增函数，则。的取值范

—,x>1

围是（）

A.(—00,—2)B.(—co,0)C.(-3,-2]D.[-3,-2]

【答案】D

【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值

【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.

—/一dx—5,%V1

【详解】因为函数〃X)=°是R上的增函数，

—,X>1

Q<0

所以一色1,解得-3WaW-2,即。的取值范围是[-3,-2].

-\-a-5<a

故选：D

【典例1-2](23-24高一下•北京・开学考试)若函数7(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且△立在M

X

上是减函数，则称函数“X)在M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是—

①若f(x)=x2,则存在区间M使〃x)为"弱增函数"

②若/(x)=x+-,则存在区间M使/(x)为"弱增函数"

X

③若/(x)=X+X3,则/(X)为R上的"弱增函数"

④若/(X)=x2+(4-a)x+a在区间(0,2]上是“弱增函数”,则a=4

【答案】②④

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般事函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、

函数新定义

【分析】根据给定的定义，结合暴函数、对勾函数单调性，依次判断各个命题即得.

【详解】对于①，/(x)=x2在(0,+s)上为增函数，y=—=x在(0,+⑼上是增函数，

因此不存在区间刊使/(x)=x2为"弱增函数"，①错误；

对于②，由对勾函数的性质知：〃X)=X+L在[1,+8)上为增函数，丁=回=1+犷2在[1,+8)上为减函数，

XX

因此存在区间/=[1,+8)使/(无)=X+L为"弱增函数"，②正确；

X

对于③，函数〃X)=x+x3在R上单调递增，y=^-=l+x2,

X

显然函数△2在(0,+8)上是增函数，在(-8,0)上为减函数，

因此函数〃x)=x+x3不是R上的“弱增函数"，③错误；

对于④，若f(x)=x2+(4-a)x+。在区间(0,2]上是"弱增函数"，

则/(x)=V+(4-a)x+a在(0,2］上为增函数,有一与皿解得aV4,

又y=32=x+(4-°)+2在(0,2］上为减函数，而当aVO时，y=2=》+(4-。)+色为增函数，不符合题意，

XXXX

于是。>0,又由对勾函数的单调性知，函数y=x+3在(0,G］上是减函数，因此。22,即。24,

X

所以。=4.④正确.

故答案为：②④

I|3_1

【变式1-1］(24-25高一上•北京•期中)已知函数〃尤)='一，'，一，若〃X)在(―,+8)上单调递

［2ax-l,x>-l

减，则。的取值范围是.

【答案】［-，0)

【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数

【分析】先分别确定每段函数单调递减时参数的取值范围，再考虑分段点处函数值的大小关系.

【详解】对于二次函数—故+3,其对称轴为尤=(

因为二次函数开口向上，要使其在X<-1上单调递减，则对称轴需在x=-l或其右侧，即解得

aN—2.

对于一次函数>=2ax-l,要使其单调递减，则2。<0,解得。<0.

考虑分段点处函数值的大小关系

当x=-l时，y=d-故+3的值为1+“+3=。+4；y=2ax-l的值为一2。-1.

因为函数在(-*+功上单调递减，所以在分段点x=-l处，应有(-l)2_ax(-l)+322ax(-l)_l.

BPl+a+3>-2a-l,移项可得a+2a»—1一1一3,3a>-5,解得

综合以上三个条件，取交集可得所以。的取值范围是

故答案为：［-，0).

【变式1-2］(23-24高一上,北京•期中)已知函数V=/(x)(xeR)是偶函数，当x20时，/(x)=x2-2x,

若函数〃x)在区间［应°+2］上具有单调性，则实数。的取值范围是.

【答案】(一8厂3］口［1,+8)

【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性求参数值

【分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解.

【详解】)设x<0,则r>0,贝IJ〃-X)=X2+2X,因为〃龙)为偶函数，

所以/(x)=〃f)=x2+2x,所以=作出〃%)的图象如图:

x-2x,x>0

因为函数〃X）在区间。+2］上具有单调性，

由图可得〃+2«—1或,解得〃4—3或

所以实数a的取值范围是（-叱-3］口［1，+动・

故答案为:(-oo,-3]u[l,+oo).

题型02根据函数单调性解不等式

【解题规律•提分快招】

一苟一西薮丽戢曲藏后革赢I?

设xe［a,瓦I，两个函数/（x）,g（x）在区间［a,瓦I上的单调性如下表,则/（x）+g（x）在xe［a,瓦）上的单调

性遵循（增+增=增；减+减=减）

/（X）g(x)f(x)+g(x)

增增增

减减减

/（X）g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

（2）通过求导判断单调性

【典例1-1］（24-25高一上•北京大兴•期中）定义在R上的偶函数〃x）满足："2）=0,且对任意的

%,9日0,+8）（工产无2）,都有〃七）-〃占）＜0,则不等式力（幻＞0的解集是（）

x2—Xx

A.（-2,0）B.（一2,0）U（2,+s）

C.（一与一2）U（0,2）D.（一叫一2）U（2,+«0

【答案】C

【知识点】根据函数的单调性解不等式

【分析】先判断单调性，结合奇偶性，分xNO和x<0讨论即可得解.

【详解】因为对任意的再,々€[0,+8）（无产X2）,都有"“）一"%）<0,

x2-xl

所以“X）在[0,+8）上单调递减，

因为“X）为偶函数，所以“X）在（-«,0]上单调递增，

又"2）=0,所以〃-2）=0,

当x20时，jf（x）>0<^>f（x）>0,可得0<尤<2；

当x<0时，W（x）>0u>/（x）<0,可得x<-2.

综上，不等式力。）>0的解集为（F,-2）U（O,2）.

故选：C

【典例1-2]（24-25高一上•北京■期中）已知奇函数“X）定义域为R,当x20时，f（x）^x2+2x,则

/（-4）=；若〃4）>小-），则实数加的取值范围是.

【答案】-241-双-3。（0,+功

【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式

【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断了（x）单调性，即可得答案.

2

【详解】第一空，由奇函数定义，/（-4）=-/（4）=-（4+8）=-24;

第二空，注意至1」歹=、2+2x=（x+l『一1在（0,+8）上单调递增，

又奇函数在对称区间上单调性相同，则/（X）在R上单调递增，

贝！J/（4）>/|1--|=>4>1--=>+>o=>m（3m+l）>0,故加£（-8,一』[。（0,+8）.

mJmm\3J

故答案为：-24；1-双-（卜（0,+⑹.

【变式1-1]（24-25高一上•北京・期中）已知函数丁=/（x）是定义在R上的偶函数，且在（-8,0]上是增函数,

若不等式/（4）2/（x）对任意xe[L2]恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.B.[-1,1]C.（-00,2]D.[-2,2]

【答案】B

【知识点】函数不等式恒成立问题、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的

应用

【分析】由偶函数性质可得〃x）在[0,+。）上是减函数，再利用性质脱去法则转化为何三国对任意xe[l,2]

恒成立，即可得到答案.

【详解】依题意，偶函数/'（x）在[0,+8）上是减函数，

由不等式/⑷上〃尤）对任意Xe[1,2卜恒成立,得不等式f（|«|）>/（|x|）对任意Xe[1,2H亘成立,

因此向〈国对任意恒成立，而|蚱1,则向W1,解得-IVaVl,

所以实数。的取值范围是[T』.

故选：B

【变式1-2]（24-25高一上•北京房山•期中）已知定义在R上的奇函数/（X）,当x>0时，f（x）=x2+2x.

则不等式〃X-1）+/3<0的解集是（）

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式

【分析】作出函数〃x）的图象，分析函数〃x）的单调性，将所求不等式变形为再由函数

/（X）的单调性可得出关于x的不等式，解之即可.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则/（0）=0,

又当x>0时，/（力=/+2所作出函数/（X）的图象如下图所示：

由图可知，函数/（元）在R上为增函数，

由/（x-l）+/（x）<0可得=,

所以，X<1-X,解得X<5，

因此，不等式/（x-l）+/（x）<0的解集为'

故选：B.

【变式1-3]（24-25高一上•北京•阶段练习）己知定义在R上的偶函数/（x）满足：在[0,+。）上为单调函数,

〃-l)=T〃2)=l,^|/(log2?)|<l,则/的取值范围是.

【答案】U[2,4]

【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式

【分析】由/(x)是定义在R上的偶函数可得〃l)V/(|log24)W〃2),由在[0,+8)上为单调函数，可

得1引四2心2,求解即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，又=所以〃=

由|/(log”41,可得-lW/(log2f)Wl,又〃x)是定义在R上的偶函数，

所以又"2)=1,所以/⑴"(降⑷"⑵，

又/(X)在[0,+8)上为单调函数,所以1V|log2<|<2,

所以1Wlog/42或-24log2t<-1,解得24区4或;V/wg,

所以/的取值范围是U[2,4].

故答案为：U[2,4].

题型03根据函数单调性比较大小

【解题规律•提分快招】

71y函薮桶加戢相府后单调程?

设xe[a,瓦两个函数/(x),g(x)在区间瓦)上的单调性如下表,则/(x)+g(x)在xe[a,瓦)上的单调

性遵循(增+增=增；减+减=减)

/(X)g(x)/(x)+g(x)

增增增

减减减

/(X)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

1(2)通过求导判断单调性

i___________________________________________________________________________________________________

【典例1-1](24-25高一上•北京•期中)已知函数y=〃x)在[-1川上单调递增，且函数的图象关于直

线X=1对称，设。=6=/(2),c=/(3),则a,b,C的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系

【分析】首先利用对称性将不在［-1用上的自变量值转化到［-1,”上对应的自变量值，再根据单调性比较函

数值大小.

【详解】因为函数的图象关于直线尤=1对称，所以有〃x)=/(2-x).

那么/(2)=/(2-2)=/(0),/⑶=/(2-3)=/(-I).

己知函数了=/(x)在［-1,1］上单调递增.

在上，-1<-1<0,根据单调性，当占<工2时，/(x1)</(x2),所以"一l)</(_g)<〃0).

即/(3)</(-：)</(2),也就是c<a<6.

故选：A.

【典例1-2］(24-25高一上•北京•期中)若定义域为R的函数/(X)满足：对VaeR,都有

/(a-l)=/(l-a),且/(x)在［1,+⑹上单调递增，则下列结论中一定正确的是()

A./(-2)>/^>/(-1)B,{2)>/图〉〃0)

C./(-1)>/^|］>/(-2)D./(-2)>/(-1)>/(0)

【答案】A

【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系

【分析】由题意可知/(x)为偶函数，根据偶函数性质以及函数单调性分析判断.

【详解】因为“。-1)=〃1一。)，

令x=l-a,可得/(-x)=〃x),可知〃x)为偶函数，

则/(-2)=/(2),/(-1)=/(1),

又因为/(X)在［1,+8)上单调递增，

则/(2)>/1|)>f⑴,即/(_2)>/()>/(-!),故A正确，C错误;

因为不知道/(x)在［05上的单调性，故无法判断了⑴J(O)的大小关系，故BD不一定正确；

故选：A.

【变式1-1］(24-25高一上•北京•期中)已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=M(x).若

a=g(-2),b=g⑴,c=g(3),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系

【分析】首先判断g(x)的奇偶性与在(0,+8)上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可.

【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，

则g(x)=V(x)定义域为R，/(0)=0,

又g(-x)=-xf(-X)=犷0)=g(x),所以g(x)是偶函数，

又“X)在R上是增函数，所以当x>0时是x)>〃0)=0,

设0<玉<々，则0</(占)</(三)，所以无1/(无尤2)，即g(%)<g(X2),

所以g(x)在(0,+8)上是增函数，

所以g⑴<g(2)<g⑶,又g(2)=g(_2),

所以g(l)<g(-2)<g(3),即6<a<c.

故选：C.

【变式1-2](2024•北京•模拟预测)函数/(x)=七，记“=6=/(3«5),c=/[logsgj，贝I

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【知识点】比较对数式的大小、比较指数嘉的大小、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用

【分析】由题意得/'(X)是R上的偶函数，由复合函数单调性可知/仁)="关于尤在(0,+8)上单调递减,

进一步比较对数、指数累的大小即可求解.

【详解】注意到定义域为全体实数，且〃r)=(r：+1=/(%)=",

所以/(x)是R上的偶函数，

从而a=O唯gj=/(logs2)，

因为>=-+1在(0,+8)上单调递增，

所以/(》)=为关于x在(0,+8)上单调递减，

而1吗2<1崛55=3<t=3=3"

所以6<a<c.

故选：B.

【变式1-3](24-25高一上•北京丰台•期中)已知/Xx)是定义域为R的偶函数，且在区间(-咫0)上单调递

增，则/(/-2a+4)与/(-2)的大小关系为()

A./(a2-2a+4)>/(-2)B./(a2-2a+4)=/(-2)

C./(a2-2a+4)</(-2)D.不确定

【答案】C

【知识点】由函数奇偶性解不等式、比较函数值的大小关系、抽象函数的奇偶性

【分析】由函数的单调性和奇偶性计算即可；

【详解】因为“X)是定义域为R的偶函数，所以〃-2)=/(2),

又/(x)在区间(-8,0)上单调递增，所以在(0,+。)单调递减;

a~一2a+4=(a—1)+3>2,

所以「(/一2a+4)</(2),即/(a2-2a+4)</(-2),

故选：C.

题型04函数奇偶性的应用

【解题规律•提分快招】

7(方「面(£)希i布施公奏冠诵汪看禾面将寤症

/(X)

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1](24-25高一上•北京,期中)函数“X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f{x)=x--3x,则

/(/(1))=

【答案】2

【知识点】函数奇偶性的应用

【分析】根据奇函数性质求函数值.

【详解】由题设IQ)=1-3=-2,HO/(/(I))=/(-2)=-/(2)=-22+3x2=2.

故答案为：2

【典例1-2](24-25高三上•北京•阶段练习)已知“X)是定义在R上的偶函数，且当xe(-co,0]时,

〃x)=2，+g,则(log?.

【答案】1

【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用、对数的概念判断与求值

【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.

【详解】因为/(x)是定义在R上的偶函数，且当xe(-吟0]时，/(x)=2，+g,

2

+-=—+-=1.

3

故答案为：1

【变式1-1](23-24高三上•北京顺义•期末)已知函数歹=/(%)在R上是奇函数，当x40时,

f(x)=2x-l,则八1)=

【答案】1/0.5

【知识点】指数函数的判定与求值、函数奇偶性的应用、求函数值

【分析】根据奇函数的定义得到/⑴=-/(-1),代入求解即可.

【详解】•.・函数了=〃x)在R上是奇函数，/(力=-〃-X),

故答案为：y.

【变式1-2](23-24高一上•北京•期中)设“X)是定义在R上的奇函数，当X20时，〃x)=2x+b,则

/(-1)=.

【答案】-2

【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用

【分析】根据奇函数性质求得6值，再由奇函数的定义求得函数值.

【详解】〃x)是奇函数，贝旷(0)=&=0,即x»0时，/(x)=2x,所以/(1)=2,从而"-1)=-/■⑴=-2.

故答案为：-2.

题型05根据函数奇偶性求参数

【解题规律•提分快招】

7G）二面面选毛布而公羹孟诵王春禾而皈寤落.

/(X)

/（X）g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1］（23-24高一上•北京海淀•期末）已知函数/（町=+-会则"0=1"是"/（X）为奇函数”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】探求命题为真的充要条件、由奇偶性求参数

【分析】根据"。=1"与"/（X）为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.

【详解】当时,〃上就一；‘定义域为R且关于原点对称，

11_T1_2X+1-111___1

所以，（-x）==-/（、），

2一、+12-1+2X2~1+2X_―22-1+2X

所以/（x）为奇函数;

当/（%）为奇函数时，显然定义域为R且关于原点对称，所以/（-%）=-/（%）,

所以/("(“UMA

所以4=1,

由上可知，〃。=1〃是〃/（力为奇函数〃的充要条件,

故选：C.

【典例1-2](23-24高一下•北京•开学考试)已知函数〃x)=N-a一2,且函数〃x+2)是偶函数，求实

数々=_________

【答案】4

【知识点】由奇偶性求参数

【分析】函数/(x+2)是偶函数转化为函数关于尤=2对称，从而有〃x)=/(4-x),代入解得久

【详解】因为函数〃幻=|--亦|-2,且函数/(x+2)是偶函数，

所以/(x+2)=/(-X+2)所以〃x)图像关于x=2对称,即“X)=/(4-x),

即办户2=|(4-x)2-a(4-x)|-2恒成立，化简为

|x~—ax|—|(4—x)2_a(4-x)|=|x~+—8^x+16—4t7|

x~—ux—±(尤~+(a—8)x+16—4a)

当x?-ax=-卜~+(a-8)x+16-4a)时，2x?-8x+16-4a=0,不可能恒成立，舍去；

当-ux=x.2+(a-8)x+16-4”时，(2a-8)x+16-4a=0怕成立..

f2a-8=0

,-Hz-4n,解得a=4.

[16-4。=0

故答案为：4.

2

【变式1-1](24-25高三上•北京•开学考试)设—+。)是奇函数，则使〃x)<0的x的取值范围

1-x

是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—CO,0)D.(—00,0)vj(1,+GO)

【答案】A

【知识点】由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式

【分析】根据奇函数的定义求出常数。，再利用对数函数单调性解不等式.

2

【详解】由函数—+a)是奇函数，得该函数定义域内实数x,恒有〃x)+/(-x)=0,

1-x

口“，2+a—ax,2+a+ax„,(2+a)~—x~„l.、

即In--------+In---------=0<=>ln-----J----=0恒成“，

1—X1+X1—X

(2+a)2-a2x2(2+4=11-J-v

因此=1,则解得“=一1,/(x)=ln^,

17/a2=11-x

1-I-y1J-y

不等式/(x)<0，即山1<0,整理得mf-l<x<0,

1-x1-x

所以X的取值范围是(-1,0).

故选：A

【变式(高三上・北京・期中)若函数/@)=，。]£|为偶函数，则。=

1-2]23-242-/(x)的最小值

为.

【答案】-12

【知识点】奇偶函数对称性的应用、由奇偶性求参数、基本不等式求和的最小值

【分析】根据偶函数定义即可求。，据函数单调性求函数的最小值.

【详解】因为函数〃x)=2-eII为偶函数,

所以/(r)=/(x),即=2:夕]£|,

所以4=一1;

故/3=2'+"，

当X20时，2X>1,所以/(x)=2*+g]=2x+^>2,

当且仅当2*=4,即无=0时，等号成立；

由偶函数图象的对称性，所以当x<0时，〃x)>2,

综上,所以〃x)N2,即〃x)的最小值为2.

故答案为：-1：2

【变式1-3](24-25高三上•北京海淀•开学考试)函数/(x)=咚?是奇函数，且对任意xeR成立,

X+1

则满足条件的一组值可以是“=,b=.

【答案】10

【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题

【分析】由奇函数确定6,再由最值确定

【详解】因为函数/。)=学!是奇函数，xeR

所以"0)=0,得6=0,经验证符合；

所以/⑴"普,又/⑴:言金恒成立,

所以V-OX+INO恒成立，

所以△=—440,即—2<a<2.

故答案为：1;0

题型06奇偶性+单调性解不等式

【解题规律•提分快招】

⑤7丘片一画6云W布的公其藏藏王看不而而昌祢;

/(X)

/(x)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1］(24-25高一上•北京•期中)设奇函数“X)在(0,+co)上为减函数，且/⑴=0,则不等式x-/(x)<0

的解集为()

A.(T0)U(l,+8)B.(-<x>,-l)U(0,l)C.(-l,0)U(0,l)D.(F,-1)U(1,+8)

【答案】D

【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式

【分析】根据单调性和奇偶性分析〃x)的符号，进而解不等式即可.

【详解】因为“X)在(0,+可)上为减函数，且/。)=0,

当0<x<l时，/(x)>0；当x>l时，/(x)<0；

又因为〃x)为奇函数，可得当T<x<0时，/«<0:当x<-l时，/«>0:

x>0Jx<0

若x-〃x)<0,/(x)<0或t/(x)>0可得尤>1或x<T,

所以不等式x-〃x)<0的解集为(-»,-1)U(1,+8).

故选：D.

【典例1-2］(23-24高一上•北京东城•期中)定义在R上的奇函数/(x)的图象是一条光滑连续的曲线，在

区间(-叱-1］上单调递增，在区间［T1］上单调递减，且"3)=0,则不等式/(x)〃x+5)<0的解集是

().

A.(-8,-5)u(-3,3)B.(-8,-5)u(-3,-2)u(O,3)

C.(-8,-2)u(0,3)D.(-8,-3)u(-3,-2)u(-2,3)

【答案】B

【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式

【分析】先根据函数的奇偶性求出函数的单调区间，从而求出/(力>0和/(x)<0时，x的范围，再由

〃x)/(x+5)<0可得或："八c，进而可得出答案.

〃x+5)>0

【详解】因为函数/'(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

又函数〃x)在区间(-8,-1］上单调递增，

所以函数/(无)在区间［1,+8)上单调递增，

又"3)=0,所以〃-3)=0,

又因函数/'(x)在区间卜1,1］上单调递减，

所以当/(x)>0时，-3<x<0或x>3,

当/(x)<0时，0cx<3或x<-3,

由〃x)/(x+5)<0,得］0或，c，

''')/(x+5)<0［/(x+5)>0

1-3<%<0或，310<%<3或］<-3

、'jo<x+5<3或x+5<-3--3<x+5<0或x+5)3，

解得-3<%<-2或-8Vx<-5或0<x<3,

所以不等式〃必/5+5)<0的解集是(-8,_5)。(_3,_2)口(0,3).

故选：B.

【典例1-3］(23-24高一上•北京•期中)己知〃x)是定义在R上的奇函数，"3)=0,若V演'«0,+co)

且再力声满足"/一/⑷>0,则犷(x)>0的解集为()

玉-x2

A.(-8,-3)"3,+8)B.(-3,O)U(O,3)

C.(-3,0)"3,+s)D.(-^,-3)u(O,3)

【答案】A

【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、奇偶

函数对称性的应用

/、/、/、/、fx>0

【分析】由题设易知奇函数/(X)在(-8,0)、(0,+8)上递增，结合/(3)=-/(-3)=0旦〃x)>0或

［x<0

，/、c，即可求解集.

［fM<0

【详解】由题设/(X)在(0,+。)上递增，又/(X)是定义在R上的奇函数，

所以/（X）在（-8,0）上递增，而/（3）=0,则"-3）=0,

/、00

由犷（x）>0,有f|x>、n或|fx<、八，贝ljx>3或x<-3,

l/W>0［/（X）<0

所以不等式解集为（-。，-3）。（3,+动.

故选：A

【变式1-1］（24-25高三上・北京•阶段练习）已知/（力是偶函数，它在［。,+⑹上是增函数.若

/（lgx）>/（l）,则X的取值范围是（）

A.（Q）B.（0,:［（10,+8）C.LD.（0,l）u（10,+0

【答案】B

【知识点】由函数奇偶性解不等式、抽象函数的奇偶性、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调

性解不等式

【分析】由偶函数和单调性之间的关系，再结合对数函数的单调性求解即可；

【详解】由"X）是偶函数，在［。,+动上是增函数，

可得在（-巴0）上为减函数，

又〃lgr）>f⑴,

所以|lgx|>l,

即「>1或也工<-1,

解得x>10或0<x<5,

所以x的取值范围是（0,\］u（10,+8）,

故选：B.

【变式1-2］（24-25高三上•北京•阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+。）上单调递减,

若aeR+,且满足〃1唱。）+/11叫。,2〃2）,则。的取值范围是（）

0,13*+功

A.|_5'B.C.9D.

【答案】D

【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得。的取值范围.

【详解】依题意，/（X）是偶函数，且在区间［0,+。）上单调递减，

由〃log3a)+/[logyj<2〃2)得/(log3a)+/(-logs。)=2/(log3a)<2/⑵,

所以/(logs。)W/⑵,所以logs.V-2或log3a22,

所以0<avg或029,

所以。的取值范围是，,；u[9,+。).

故选：D

fr2r>0

【变式1-3](23-24高一上•北京东城•期中)已知函数〃x)=；一八，若Vxe(-co,l],都有

[一],x<0

f(x+m)<-/(x),则实数加的取值范围是().

A.[-l,+oo)B.[-2,+co)C.D.(一

【答案】D

【知识点】分段函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解

不等式

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】当xe[0,+co)时,/(%)=炉>0且函数为增函数,

当x>0时，贝l|-x<0,则=,

当x(-oo,0)时，/(x)=-x2<0且函数〃x)为增函数，

止匕时一x>0,贝Ij/(-x)=(-x)~=/=-/(x),

所以函数/(无)是R上的增函数，且/(x)为奇函数，

则/(x+7W)V-/(x),即为+,

所以尤+加4一工对\/X©(-00,1]，恒成立，

即m<-lx对Vxe恒成立，

当xe(-co,l]时,(一2x)1nm=-2,

所以机V-2,

所以实数机的取值范围是(-*-2].

故选：D.

题型07根据函数周期性求值

【解题规律•提分快招】

函薮周期桂的僧甬结足写技行一……―—……一一

设函数y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(x),则函数的周期T=2a；

③若/(》+。)=7二，则函数的周期T=2a；

/(x)

④若/(x+a)=一二二，则函数的周期T=2a；

/(x)

@f(x+a)=f(x+b),则函数的周期T=|a—

【典例1-1](23-24高一上•北京•期中)函数〃x)=?-]],(xeN,其中[可表示不大于x的最大

整数.)的值域为()

A.{0}B.{1}C.[0,1]D.{051}

【答案】D

【知识点】函数新定义、由函数的周期性求函数值、分段函数的值域或最值、判断证明抽象函数的周期性

【分析】根据“X)的表达式，分段研究在区间[0,2)与[2,3)的取值，再结合函数的周期性，求值域即可.

【详解】由题意，卜]表示不大于x的最大整数，则[x+l]=[x]+l,

x+3x+1yxx,

所以VxwN,/(x+3)=---+1----+1

333

四]+1_旧+]

3」Q」J

则函数“X)是以3为周期的函数，

当xe[0,2)时，/(