2025年北京高考数学复习热点题型专练：平面向量与复数（9类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题08平面向量与复数

o----------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01用基底表示向量.........................................................................I

题型02平面向量共线定理推论...................................................................2

题型03向量数量积（几何意义法）...............................................................3

题型04向量数量积（自主建系法）...............................................................4

题型05向量数量积（极化恒等式法）............................................................5

题型06向量投影（投影向量）...................................................................6

题型07向量模（含最值范围）...................................................................8

题型08向量夹角（含最值范围）.................................................................9

题型09复数的四则运算.........................................................................9

*>----------题型探析,明规律-----------令

题型01用基底表示向量

【解题规律•提分快招】

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量有且只有一对实数4，4，

使〃=4,+l2e2.

*窕祠m72023%言年否三稹3而囱丁歪工4面市17万万万己正正西币殡;碧7百茄而市百「而正二

1—►3—►

B.——AB——AC

44

1—►5―►1—►3—►

C.-AB——ACD.-AB——AC

4444

【典例1-2】（2023•北京海淀•一模）在ZUgC中，ZC=90°,ZB=30°,/A4C的平分线交于点。.若

2

AD=AAB+juAC（^,AeR）.则一=（）

A.-B.vC.2D.3

32

【变式1-1］（2023•北京西城・一模）已知尸为ZUBC所在平面内一点，BC=2CP,则（）

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-JC

2233

―>3—>1—>―>2—>1—>

C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC

2233

【变式12］（23-24高三上•北京•阶段练习）如图，在△/BC中，。是5C的中点.若第=£,刀=加，则就=

（）

__1_1_一___

A.3a—2bB.—+—^C.—a+2t）D.a-2b

【变式1-3］（23-24高一下•北京丰台•期末）在"SC中，点。是边45的中点.记田=3，CD=b,贝U而二

（）

A.-a-2bB.-a+2bC.a-2bD.a+2b

题型02平面向量共线定理推论

【解题规律•提分快招】

OA=XOB+/JOB（2,〃为实数），若N,B,。三点共线=几+〃=1

【典例1-1】（2024•浙江宁波•模拟预测）己知A42C是边长为1的正三角形，*="『是BN上一点、

—►—►2—►一

^AP=mAB+-AC,则力尸（）

212

A.—B.—C.-D.1

993

【典例1-2】（2023高三・全国•专题练习）已知△Z5C的重心为G,经过点G的直线交45于。，交4。于

叱_>一——.11

E,右AD=AAB，AE=JL/AC,则:+—=______•

2//

【变式1・1】（2024•河北•模拟预测）已知点4瓦。是直线/上相异的三点，。为直线/外一点，且

2OA=3OB+AOC则几的值是（）

11

A.—1B.1C.—D.—

22

【变式1-2]（2024•天津河北•二模）△4BC是等腰直角三角形，其中48，五=1,尸是△4BC所在平

面内的一点，若岳=25+〃而（丸20,〃20且彳+2〃=2）,则而在而上的投影向量的长度的取值范

围是（）

【变式1-3]（2025高三•北京•专题练习）已知G是△4BC的重心，过点G作一条直线与边48,NC分别

交于点E,F（点”与所在边的端点均不重合），设力麻，"方,则汨的最小值是一

题型03向量数量积（几何意义法）

【解题规律•提分快招】

已知两个非零向量£与石，我们把数量|ZM|cos。叫做Z与B的数量积（或内积），记作7B，即

<2-=|<211S|COS。，

彳观丽nii一（-2o5了无京潮而二二■橙一）一如酉厂jir方天m丽的开接囱厂7万二屋-75二%;一方为孜万不的申舌;

贝1J粉•万=（）

A

A.26B.13C.10D.5

【典例1-2】（2024•北京门头沟•一模）已知。是边长为2的正△/3C边8c上的动点，则冠万的取值范

围是（）

A.[6,4]B.[A2]

C.[0,2]D.[2,4]

【变式1-1]（23-24高三下•北京西城・开学考试）如图，圆/为△4BC的外接圆，4B=4,AC=6,N为

边BC的中点，则前.礼=（）

A

B

N

C

M

A.10B.13C.18D.26

【变式1-2］（23-24高一下•北京海淀•期中）如图，已知四边形/BCD为直角梯形，AB1.BC,ABHDC,

27r_______

AB=1,40=3,ZBAD=—,设点尸为直角梯形48cz＞内一点（不包含边界），则益.万的取值范围是

()

-I1C.°4D.°4

【变式1-3］（23-24高一下•江苏扬州•期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪

花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花"汇聚成一朵代表全人类"一起

走向未来"的"大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形

（如图②）.已知正六边形的边长为1,点M满足旃=|■（斓+#,则=；若点P是其内部一

点（包含边界），则后.您的最大值是.

图②

题型04向量数量积（自主建系法）

【解题规律•提分快招】

海据靛建豆适当两巫标系：

I

用坐标表示点

建立函数关系I

根据函数关系求值I

i而机工ii~Go24：正翥三澳厂巨威忘后冠及后苏2雨东吴扬花二二%询五王二扁/茬扬工又王「而‘

B.卜4,4+2回

C.卜2后,4+2行]D.[-2A4]

【典例1-2]（2024•北京昌平•二模）已知正方形N2CD的边长为1,点尸满足力=几方。>0）.当

时，~AC-Jb=;当彳=时，定.丽取得最大值.

【变式1-1]（2024•北京朝阳•一模）在△4BC中，AB=AC=2,BC=24,点尸在线段8C上.当强.而

取得最小值时，PA=（）

6V737

A.—B.—C.-D.-

2244

【变式1-2]（2024•北京东城•一模）已知正方形/BCD的边长为2,P为正方形N8CD内部（不含边界）

的动点，且满足莎・丽=0，则万・丽的取值范围是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

【变式1-3]（2024•北京通州•一模）在矩形/BCD中，AB=2,BC=C,点尸在45边上，则向量而在

向量史上的投影向量的长度是—，屈•丽的最大值是.

题型05向量数量积（极化恒等式法）

【解题规律•提分快招】

_____*------*]------>-2------（-2

①平行四边形形式：若在平行四边形48CD中，则4BZQ=—（ZC-DB）

4

---►---►-----2----2-----21------>2

②三角形形式：在A45c中，M为8c的中点，所以=-MB=AM——BC

4

【典例1-1】（2024高三•全国•专题练习）如图，是圆。的一条直径且48=2,E/是圆。的一条弦，且

E尸=1,点P在线段所上，则强.丽的最小值是（）

【典例1-2]（24-25高三上・安徽六安•阶段练习）已知棱长为2的正方体-4用G",点尸是其表面

上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN,则痂•丽的取值范围是.

【变式1-1]（2024高三•全国•专题练习）已知正六边形的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的

中心，圆。的半径为2,圆。的直径CD,点尸在正六边形的边上运动，则而\丽的最小值为（）

【变式1-2]（24-25高一上•浙江杭州•阶段练习）在△4BC中，尸在ZUBC的三边上运动，是△4BC外

接圆的直径，若/B=2,BC=3,AC=4,则同乙丽的取值范围是.

题型06向量投影（投影向量）

【解题规律•提分快招】

①定义：在平面内任取一点。，作。祝=Z,西=5.过点M作直线ON的垂线，垂足为M],则啊"就

是向量Z在向量B上的投影向量.

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，函与工方向相同，2=|OA^|=|a|cos^,所以

OMX=|OMX|e=同cosde；

--------"——TC

当。为直角（如图（2））时，2=0,所以。弘=0=同cos,e；

当。为钝角（如图（3））时，西与工方向相反，所以

2=-1OMX|=-1tz|cos/MOM】=-\a\cos（乃-0）=\a\cos0，即OMX-\a\cos。e.

当9=0时，X=|M，所以0Mi=|a|e二|a|cos0e；；

当。=兀时，丸=一同，所以0Mi=Ta|e=|a|cos兀e，；

综上可知，对于任意的。£[0,兀],都有两=R|cos。鼠!

【典例1-1]（23-24高一下•北京大兴•期中）已知Z3是夹角为120。的两个非零向量，且忖=W，若向量£+宓

在向量々上的投影向量为37，则彳=（）

A.-4B.一述

3

C.4D.

3

【典例1-2]（23-24高二上•北京通州•期中）在空间直角坐标系。中z中，已知方=（2,0,0）,前=（0,2,0）,

AD=（0,0,2）.则函与法的夹角的余弦值为；丽在在的投影向量a=.

【变式1-1]（2024•北京•模拟预测）已知向量0=（1,-百），£在否上的投影向量为;九|“+可=近，则

【变式1-2]（23-24高一下•北京•期中）已知向量3=（1,-1）,5=（-2,1）,则%+5=;向量£在加上

的投影向量的坐标为

【变式1-3］（23-24高一下•北京门头沟•期中）设向量1与B的夹角为60。，且同=2a,忖=百，贝陵在B

方向上的投影数量为

题型07向量模（含最值范围）

【解题规律•提分快招】

|a|=y）a-a=Jx；

【典例1-1］（23-24高三上•北京丰台•期中）已知向量满足同=2吊=1,且£%=1，则B+2+（）

A.12B.2>/3C.4D.2

【典例1-2］（23-24高三上・北京海淀•阶段练习）已知平面向量b,满足Z=（l,3）,|昨1,则口-陷的

取值范围是

【变式1-1］（23-24高一上•北京西城•期末）如图，N8为半圆的直径，点C为冠的中点，点M为线段N8

上的一点（含端点/,B）,若AB=2,则|就+碉的取值范围是（）

A.［1,3］B.建,3］

C.〔3,廊］D.［V2,VTO］

【变式1-2］（23-24高三上•北京昌平•期末）已知向量5满足|力=4,5在4方向上的投影为2,则|£+2g

的最小值为（）

A.2B.2V2C.8D.10

【变式1-3］（24-25高三上・北京西城•期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而

得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设=2,ZAOB=^,则扇面（图中扇环）

部分的面积是,\OD-CB\=.

题型08向量夹角(含最值范围)

【解题规律•提分快招】

cos"，L=尸+产

【典例1-1】(2024•北京•模拟预测)平面向量£,刃满足口=3即且**4,贝壮与夹角的正弦值

的最大值为()

1112

A.-B.—C."D.一

4323

【典例1-2】(2024高三•北京海淀•专题练习)已知平面向量Z]满足同=道,问=1,则向量£+5与1一％夹

角的最大值是.

【变式1-1](2024•辽宁•模拟预测)向量同=忖=1,同=6且。+很+己=0,贝底与汗-B的夹角为()

7127157171

A.—B.—C.—D.一

6362

【变式1-2](2024•贵州遵义•二模)已知单位向量刃满足卜-同=6,贝£与£+族的夹角为()

71715兀71

A.—B.-C.—D.一

63122

【变式1-3](23-24高三上•北京•期中)设向量2=(3,-4),向量B=(2,x),向量工=(2/),若々/后且

a_Lc,则〃一3否与Q+2c的夹角大小为.

题型09复数的四则运算

【解题规律•提分快招】

(1)我们规定，复数乘法法则如下：设为=。+加，Z2=c+dz,是任意两个复数，那么它们的乘积为

Az2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi1=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(2)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(。+山)(x+W)=a+4(

c+diwO)的复数x+W叫做复数。+加除以复数c+dz.的商，记作(a+加)+(c+由)或”土

c+di

复数的除法法则

a+bi(a+bi)(c—di)(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)+(c+di)=------------=-----------=-----1----1(c+成w0)

c+di(c+dz)(c—di)c2+d2c?+d?c2+d2

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

z+1

【典例1-1】（2024•北京•模拟预测）若「=上则|刃=（）

z-1

/y1

A.J2B.—C.1D.-

22

【典例1-2]（2024•北京海淀・二模）若（x+T=2i（xeR）,贝”=.

i-2_

【变式1-1]（2024•北京•三模）已知复数l+i=——，贝匹在复平面上对应的点位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式1-2]（2024•北京通州・二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1,-1）,则刍=（）

Z

A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i

【变式1-3]（2024•北京•三模）若答是纯虚数，则实数a的值为________.

1-（71

*>----------题型通关•冲高考------------*>

一、单选题

1.（2024•北京西城•二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（6,T）,贝心二=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024・北京•模拟预测）复数z满足i.z=2+i,则复数z的虚部为（）

A.1B.iC.-2iD.-2

3.（2023•北京海淀•二模）已知：石是平面内两个非零向量，那么“£〃5"是"存在几片0,使得

|£+4|=内+|焉I”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•北京海淀•一模）已知向量21满足0=2,3=（2,0）,且0+8=2,贝|&花〉=（）

7T712兀5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

5.（2024•黑龙江二模）己知忖=5,S=（-l,2）,"在加上的投影向量为三=（-2,4）,则向量"与g夹角余

弦值为（）

A.垣B.旦C.-D.一旦

5555

6.（2024•北京门头沟•一模）在△4BC中，AB=4,AC=?>,且读+园=君-狗，则万及=

()

A.16B.-16C.20D.-20

7.（2023•北京丰台•二模）已知4,B,。是单位圆上的三个动点，则在.就的最小值是（）

A.0C.-1D.-2

8.（2024・湖北黄冈•模拟预测）已知非零向量混满足同=3