2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期10月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题3.已知集合，则的非空真子集的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.44.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（）A. B. C. D.6.设集合，则（）A. B.C.⫋ D.7.时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（）A.50 B.51 C.52 D.538.在整数集中，被4除所得余数为所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（）A.B.C.整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”D.若，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列对象能构成集合的有（）A.接近于2025的所有正整数 B.小于的实数C.未来10年内的房价趋势 D.点与点10.已知正数满足，则（）A. B.C. D.11.已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“”否定为_______．13.当时，二次函数的最小值为，则______．14.已知关于的不等式只有有限个整数解，且0是其中一个解，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．（1）对任意的实数，都有；（2）存在实数，使得；（3）所有的素数都是奇数；（4）方程的每一个根都是正数．16.已知集合．（1）当时，求；（2）若是的子集，求的取值范围．17.已知关于一元二次方程．（1）若上述方程的两个不同根都是负数，求的取值范围．（2）上述方程是否存在两根中恰有一个是正数，且为整数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．（1）证明：．（2）若改变的长度（矩形的周长保持不变），则的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．19.若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．（1）判断是否为“集合”，说明理由；（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件集合；（3）求所有满足条件的“集合”．2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期10月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据一元一次不等式写出集合，根据交集的定义，可得答案.【详解】因为，，所以．故选：B.2.已知，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【正确答案】C【分析】利用特殊值法，结合反例，可得答案.【详解】对于，当时，，所以是假命题，是真命题．对于，当时，是真命题，是假命题．故选：C.3.已知集合，则的非空真子集的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案.【详解】因为，所以，故其非空真子集的个数为．故选：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】解：若，则，若，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】应用特殊值法判断A、B、D，作差法判断C即可.【详解】对于A，当时，不等式不成立，错误．对于B，当时，满足，但，错误．对于C，因为，而，所以，则，正确．对于D，当时，满足，不等式不成立，错误．故选：C6.设集合，则（）A. B.C.⫋ D.【正确答案】D【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合相等定义判断D，根据与集合的关系，结合集合并集定义判断B.【详解】由题意可得，⫋，故A，C均错误；，D正确；，B错误.故选：D.7.时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（）A.50 B.51 C.52 D.53【正确答案】A【分析】利用容斥原理结合题意画出韦恩图求解即可.【详解】因为同时对人工智能和新能源汽车感兴趣有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人，所以同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有人，因为有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，所以只对人工智能感兴趣的有人，只对新能源汽车感兴趣人，只对绿色能源感兴趣人，所以所求该班级学生的人数为．故选：A8.在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（）A.B.C.整数属于同一“类”充分不必要条件是“”D.若，则【正确答案】D【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C.【详解】对于A，因为，所以，A错误．对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又，所以，B错误．对于C，若，则，所以；若，则，不妨设，则，所以，所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”．故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误．对于D，由，可设，则，因为，所以，D正确．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列对象能构成集合的有（）A.接近于2025的所有正整数 B.小于的实数C.未来10年内的房价趋势 D.点与点【正确答案】BD【分析】根据集合中元素的确定性判断各项是否能构成集合即可.【详解】对于A，接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合．对于B，小于的实数是确定的，能构成集合．对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合．对于D，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合．故选：BD10.已知正数满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断.【详解】对于A，因为，且，所以，则，当且仅当时等号成立，正确．对于B，由，得，又，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立，正确．对于C，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，错误．对于D，由，当且仅当，即时等号成立，正确．故选：ABD11.已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（）A. B. C. D.【正确答案】BCD【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数，可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案.【详解】当时，由，可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，此时不存在；当时，由对任意的恒成立，作出的大致图象，如图所示：由题意可知，又是整数，所以或或.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“”的否定为_______．【正确答案】【分析】将全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】全称量词命题“”的否定为存在量词命题“”．故13.当时，二次函数的最小值为，则______．【正确答案】##【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，利用分类讨论，分成对称轴在区间内和外两种情况，对应建立方程，可得答案.【详解】图象的对称轴为直线．当时，，解得或，与矛盾，舍去；当时，，解得．综上可知，．故14.已知关于的不等式只有有限个整数解，且0是其中一个解，则______．【正确答案】或【分析】根据一元二次不等式的解及解集特征确定参数的范围，即可得答案.【详解】因为0是的解，所以．因为只有有限个整数解，所以，因为，所以或．故或四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．（1）对任意的实数，都有；（2）存在实数，使得；（3）所有的素数都是奇数；（4）方程的每一个根都是正数．【正确答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可.【小问1详解】全称量词命题．原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题．【小问2详解】存在量词命题．原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题．【小问3详解】全称量词命题．原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题．【小问4详解】全称量词命题．原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题.16.已知集合．（1）当时，求；（2）若是的子集，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据一元二次不等式求解，写出集合，根据交集和补集的定义，可得答案；（2）利用分类讨论思想，分空集和非空两种情况，建立对应不等式，可得答案.【小问1详解】由，化简可得，解得或，所以或；当时，，故．【小问2详解】由于是的子集，当时，则，解得，满足是的子集；当时，则满足，解得．综上所述，，即的取值范围为．17.已知关于的一元二次方程．（1）若上述方程的两个不同根都是负数，求的取值范围．（2）上述方程是否存在两根中恰有一个是正数，且为整数？若存在，求出值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）（2）不存，理由见解析【分析】（1）根据题意，结合韦达定理写出根的表示，列出不等式组，可得答案；（2）利用分类讨论，分为另一个根为负或零两种情况，建立不等式组，可得答案.【小问1详解】因为的两个不同根都是负数，设其根为，则，，所以且，解得，即的取值范围为．【小问2详解】由题意，上述方程的两根中恰有一个是正数，由（1）可知，若该方程有一正一负根，则，解得，无整数解；若该方程有一正根一零根，则，解得，此时一元二次方程为，不满足题意．故满足条件的整数不存在．18.已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．（1）证明：．（2）若改变的长度（矩形的周长保持不变），则的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）存在，【分析】（1）设折叠后点变成，根据已知证明即可；（2）设，进而得到，利用三角形面积公式及基本不等式求的最值.【小问1详解】设折叠后点变成，