2024-2025学年吉林省长春市高一上册9月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年吉林省长春市高一上学期9月月考数学质量检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.下列元素全体可以组成集合的是（）A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市C.地球上的四大洋 D.优秀的高中生2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.3.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，4.已知集合，，则（）A. B. C. D.5.若，，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.6.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（）A.当时，， B.当时，C.当时， D.当时，8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（）．A.4 B.8 C.16 D.32二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知关于不等式的解集为，则（）A. B.不等式的解集是C. D.不等式的解集为10.已知都是正数，且满足，则下列说法正确是（）A.的最大值为1 B.的最小值为2C.的最小值为2 D.的最小值为111.用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（）A.，B.，C.“”是“”充分不必要条件D.若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，，若，则实数的取值范围是______．13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______．14.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题（本题共3小题，共47分）15.设集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值；（3）解关于的不等式（其中）．17.已知方程（1）若，，求方程的解；（2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．2024-2025学年吉林省长春市高一上学期9月月考数学质量检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.下列元素的全体可以组成集合的是（）A.人口密度大的国家 B.所有美丽的城市C.地球上四大洋 D.优秀的高中生【正确答案】C【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合.故选：C.2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.【详解】由题知：图中阴影部分表示，，则.故选：A3.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此命题“，”的否定是，.故选：A4.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】解出集合，再利用交集含义即可.【详解】或，，则.故选：D.5.若，，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】对BD举反例即可，对AC根据不等式性质即可判断.【详解】对A，因为，则，故A错误；对B，当时，则，故B错误；对C，因为，则，故C正确；对D，当时，则，故D错误.故选：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】，解得或，则“”可以推出“”，但“”无法推出“”，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（）A.当时，， B.当时，C.当时， D.当时，【正确答案】B【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A，当时，方程的二实根为，A正确；对于B，方程，即，，解得，当时，，B错误；对于C，令，依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，观察图象知，当时，，C正确；对于D，当时，，D正确.故选：B8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（）．A.4 B.8 C.16 D.32【正确答案】C【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数.【详解】由题设可知，，又因为，所以，而，因为的解为或，的两根满足，所以分属方程与的根，若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合的子集的个数为.故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知关于的不等式的解集为，则（）A. B.不等式的解集是C. D.不等式的解集为【正确答案】BC【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项分析判断即得.【详解】对于A，由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，A错误；对于B，，则，不等式，即，解得，B正确；对于C，，C正确；对于D，不等式，即，整理得，解得或，D错误.故选：BC10.已知都是正数，且满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为1 B.的最小值为2C.的最小值为2 D.的最小值为1【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：ACD11.用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（）A.，B.，C.“”是“”的充分不必要条件D若，则【正确答案】AC【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可.【详解】对于A，当时，，此时，A正确；对于B，当时，，此时，B错误；对于C，当时，，则，而，，因此；当时，而，则或，若，满足，解得；若，则方程的两个根都不是方程的根，且，解得，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；对于D，由，而，得或，由C知：或，因此，，D错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，，若，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由，得，而，，则，所以实数的取值范围是.故答案：13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______．【正确答案】18【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.【详解】如图所示：在中，，而直角三角形周长，由勾股定理可知，若要使最大，只需即最大即可，又，等号成立当且仅当，所以，，，等号成立当且仅当，此时，其面积为.故18.14.若不等式对恒成立，则实数取值范围是______．【正确答案】【分析】根据主元法得对恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式对恒成立，得对恒成立，令，得，解得，∴实数x的取值范围是.故答案为.四、解答题（本题共3小题，共47分）15.设集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．【正确答案】（1）或（2）或.【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.【小问1详解】当时，可得，故可得或，而，所以或.【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件可得；当时，，解得，符合题意；当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，解得；综上可得，m的取值范围为或.16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值；（3）解关于的不等式（其中）．【正确答案】（1）；（2）；（3）答案见解析【分析】（1）化简得，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出，解出即可；（3）因式分解为，再对进行分类讨论即可.【详解】（1），当且仅当，即，即时等号成立.则的最大值为.（2）因为,且,则，解得或（舍去），当且仅当时等号成立，则的最小值为.（3）不等式化为，（其中），当时，解得；当时，不等式化为，若，即，解得；若，无实数解；若，即，解得，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.已知方程（1）若，，求方程的解；（2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．【正确答案】（1）或；（2）（3）【分析】（1）由题意得到，求出方程的根；（2）由根的判别式大于