2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一上册第一次月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则，则等于（）A. B.C. D.2.命题“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得3.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.4.给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.45.若，是正数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知，，则（）A. B.C D.7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（）A.4 B.8 C.16 D.208.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（）A.7 B.15 C.31 D.63二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A.若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B.若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C.若四边形对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab＝0，则a＝010.若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（）A B. C. D.11.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为8 B.的最小值为8C.的最小值为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，且，则的值为_________.13.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．14.已知，，则最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)．16.已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．18.某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．（1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19.已知集合．（1）判断8，9，10是否属于集合A：（2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；（3）写出所有满足集合A的偶数．2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】在数轴上表示出集合，再结合交集的定义即可得解.【详解】集合在数轴上表示如图所示：由图可得.故选：B.2.命题“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“，都有”的否定是“，使得”.故选：B.3.如图，是全集，，，是子集，则阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，即.故选：C.4.给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确；对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确；对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误；对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误.故选：B.5.若，是正数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“”“”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】由题意知，，当时，由，得，则“”“”；当时，由，得，则“”“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.已知，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】，，，，，.故选：D.7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（）A.4 B.8 C.16 D.20【正确答案】B【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果.【详解】由题得，，由题意可知若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制可或.综上，集合A可为：，，，，，，，.所以集合A的个数共8个.故选：B.8.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（）A.7 B.15 C.31 D.63【正确答案】A【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得.【详解】，所以8是自恋数；，所以23不是自恋数；，所以81不是自恋数；，所以153是自恋数；，所以254不是自恋数；，所以370是自恋数.所以集合.所以真子集个数：个.故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A.若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B.若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab＝0，则a＝0【正确答案】BCD【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD10.若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由，可得或.对于方程，当时，方程无解，符合题意；当时，解方程，可得.由题意知，，此时应有或，解得或.综上可得，或.故选：BC.11.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为8 B.的最小值为8C.的最小值为 D.的最小值为【正确答案】ABD【分析】对条件进行变形，利用不等式基本性质对选项一一分析即可【详解】解：因为，当且仅当时取等号，结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；，当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，且，则的值为_________.【正确答案】0【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.【详解】因为，所以，解得或，当时，，而集合的元素具有互异性，故，所以，故013.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．【正确答案】【分析】求出的最大值，然后可得，解出即可.【详解】因为关于的不等式在上有解，的最大值为4所以，解得故14.已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______.【正确答案】①.1②.【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围.【详解】因为所以，当且仅当即时等号成立，当时，，所以当时取得最大值4所以由恒成立可得，解得故1；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)．【正确答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}．【详解】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；故有(∁UB)∪(∁UC)＝{67,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．16.已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.【详解】证明：（1）∵，∴（2）∵，，∴，即，∴，∴.当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．【小问1详解】已知集合，．当时，，或又，；【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以，所以；当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：．18.某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．（1）该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】（1）吨（2）该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损【分析】（1）设每吨的平均处理成本为（元），得到，结合基本不等式求解即可；（2）设该单位每月获利（元），得到函数表达式，结合二次函数性质求解即可.【小问1详解】设每吨的平均处理成本为（元），则，则，当且仅当，即时等号成立，所以该单位每月处理为吨时，才能使每吨平均处理成本最低【小问2详解】设该单位每月获利（元），则，函数图像开口向下，对称轴，所以函数在单调递减，所以，所以该单位每月不能获利，需要国家至少补贴40000元才能使单位不亏损19.已知集合．（1）判断8，9，10是否属于集合A：（2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；（3）写出所有满足集合A的偶数．