2025年山东淄博高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

第1页/共1页淄博市2024-2025学年度高三模拟考试数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2、回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A.R B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.1253.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.5.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.526.已知函数满足，当时，，则（）A.2 B.4 C.8 D.187.已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（）A.曲线关于轴对称B.曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过C.曲线与有8个交点D.曲线所围成图形的面积小于2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选借的得0分．9.随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.是偶函数 D.图象关于点中心对称10.如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则三棱锥的体积为定值C.若，则直线与直线所成角的最小值为60°D.若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为11.过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列的前项和为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比______．13.在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______．14.如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．（1）规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游市民进行调查，得到如下列联表：

男市民女市民合计优质水源日出游12

30非优质水源日出游

6

合计

50请完成上述列联表，并根据独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？（2）从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望．附：．0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.82816.已知双曲线，离心率，点双曲线上（1）求双曲线的标准方程；（2）点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．17.如图，在四棱锥中，，，点在上，且．（1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点；（2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度．18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．19.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为．（1）求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）；（2）求证：；（3）定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解.【详解】,,,故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.125【答案】B【解析】【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解.【详解】，则，则，则.故选：B3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，所以该圆锥的表面积为.故选：C5.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，以及第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去餐厅用餐的概率.【详解】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去餐厅的概率为（因为只有、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是）.又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）.根据条件概率公式（其中、为事件，表示与同时发生的概率），可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：同理，第一天去餐厅的概率为.已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）.根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅”这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生），所以根据互斥事件的概率加法公式（其中、为互斥事件，表示或发生的概率），可得王同学第二天去餐厅用餐的概率为：故选：C6.已知函数满足，当时，，则（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】根据，结合对数运算性质，将转化到里面计算即可.【详解】因为，所以．因为，所以．故选：C.7.已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围.【详解】如下图所示：令，解得，故当时，对称轴为直线，则，因为，所以，，又因为，，由可得，则，则，所以，.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解.8.数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（）A.曲线关于轴对称B.曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过C.曲线与有8个交点D.曲线所围成图形的面积小于2【答案】C【解析】【分析】对A，在方程中，以替代方程不变，可判断；对B，由基本不等式求解判断；对C，易得曲线在的内部，作出图象判断交点个数；对D，易求围成的正方形面积为2，又曲线在的内部，得解.【详解】对于A，在方程中，以替代方程不变，所以曲线关于轴对称，同理，以；替代方程均不变，所以曲线关于轴，坐标原点对称，如图，故A正确；对于B，曲线上点到轴的距离为，到轴的距离为，由，当且仅当时取等号，，故B正确；对于C，在第一象限内，，所以曲线在直线的下方，所以两者有4个交点，分别为，故C错误；对于D，如图，围成的正方形面积为，所以曲线围成图形的面积小于2，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程分析曲线在第一象限的性质.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选借的得0分．9.随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.是偶函数 D.的图象关于点中心对称【答案】AD【解析】【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，当增大时，减少，所以在上是减函数，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，若的图象关于点中心对称，则，因为服从正态分布，所以关于对称，所以，则，故D正确.故选：AD.10.如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则三棱锥体积为定值C.若，则直线与直线所成角的最小值为60°D.若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明判断A，若，点在直线，可得体积为定值判断B；上求得直线与直线所成角的最小值判断C；确定外接球的球心，进而轨迹的周长判断D.【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正确；因为，，所以点在直线上，又因为，，所以四边形是平行四边形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；点为的中点，坐标为，点的坐标为

，向量，向量，设直线与直线所成的角为，，又因为，当

时，，即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，因为平面，所以，又，所以三棱锥外接球的半径，因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，所以

的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，所以

的轨迹的周长为

，故D正确.故选：ABD.11.过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列的前项和为 D.【答案】ABD【解析】【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D.【详解】设直线，联立，得，则由，即，解得（负值舍去），故A正确；可得，，所以，故B正确；因为，则，故C错误；因为，，所以，设，则，可得在上单调递增，则时，，又，则，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由，得出，，进而判断各选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比______．【答案】【解析】【分析】根据的定义以及等比数列的定义，建立方程，可得答案.【详解】由，则，由，，则，整理可得，分解因式可得，解得或（舍去）.故答案为：.13.在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据二倍角公式求出的值，进而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判断的范围并求出的值，最后根据三角函数的两角和公式求出的值.【详解】已知，根据二倍角公式，则有.因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：.已知，将其代入可得：，解得.因为为锐角，根据，可得.由正弦定理，已知，，，则.因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角.根据，可得因为，所以，则.故答案为：14.如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败.用表示第行第列含有陷阱的方格，则第1行含有陷阱的方格为，第2行含有陷阱的方格为，第3行含有陷阱的方格为，所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件，具体如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑战失败的基本事件有，，，，，，，共个，所以玩家挑战失败的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．（1）规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表：

男市民女市民合计优质水源日出游12

30非优质水源日出游

6

合计

50请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？（2）从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）完善列联表，根据公式计算出卡方，即可得解；（2）由题知的可能取值为，然后计算相对应的概率，画出分布列，最后求出期望.【小问1详解】

男市民女市民合计优质水源日出游121830非优质水源日出游14620合计2624

50，所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关.【小问2详解】根据题意，第一组有天，第二组有天，所以的可能取值为，，，，，的分布列为0123.16.已知双曲线，离心率，点在双曲线上（1）求双曲线的标准方程；（2）点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得：，，解方程求出，即可得出答案；（2）由题意可得，设，与双曲线联立，得出韦达定理，利用弦长公式即可求解.【小问1详解】由题意可得，则，即，又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：.【小问2详解】因为的周长为12，所以①，由双曲线的定义可得：，所以②，所以由①②可得：，由（1）知，，所以，因为直线的斜率不为，所以设，则联立直线与双曲线可得，当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以，，所以，所以，解得：（舍去）或，所以，直线的方程为：，即.17.如图，在四棱锥中，，，点在上，且．（1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点；（2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度．【答案】（1）见解析（2）的长度为或【解析】【分析】（1）过点作交于点，连接，由线面平行的性质定理证明，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】连接，过点作交于点，连接，又因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以为线段的中点；【小问2详解】连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面所以平面又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设，，设平面的法向量为，，所以，令，，所以，所以与平面所成的角的余弦值为，所以与平面所成的角的正弦值为，即，所以，化简可得：，解得：或，即或，所以或.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．【答案】（1）的增区间为，减区间为.（2）见解析（3）整数的最大值为．【解析】【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间；（2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明.（3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解．【小问1详解】函数的定义域是，，当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为.【小问2详解】要证时，，即证在恒成立，令，，，令，，当时，，，所以上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所，所以，综上，时，；【小问3详解】不等式等价于不等式，由可得：，