数学分析7.3上极限和下极限

第七章实数的完备性3上极限和下极限定义1：若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项，则称a为{xn}的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。定理7.4：有界点列(数列){xn}至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{xn}为有界数列，∴存在M>0，使得|xn|≤M，记[a1,b1]=[-M,M].将[a1,b1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{xn}中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a2,b2]，则[a1,b1]⊃[a2,b2],且b2-a2=(b1-a1)=M.[a2,b2]含有{xn}中无穷多个项；将[a2,b2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{xn}中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a3,b3]，则∴[a2,b2]⊃[a3,b3],且b3-a3=(b2-a2)=.[a3,b3]含有{xn}中无穷多个项；依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[an,bn]}满足[an,bn]⊃[an+1,bn+1],且bn-an=→0(n→∞)，即{[an,bn]}是区间套，且每一个闭区间都含有{xn}中无穷多个项，而其右边至多只有{xn}中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn],n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N时有[an,bn]⊂U(ξ;ε)，∴U(ξ;ε)内含有{xn}中无穷多个项，∴ξ为{xn}的一个聚点.若ξ为{xn}的唯一的聚点，则ξ同时为{xn}的最大聚点和最小聚点.若{xn}有聚点ζ>ξ，则令δ=(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{xn}中无穷多个项，且当n充分大时，U(ζ,δ)将落在[an,bn]的右边，矛盾。∴ξ为{xn}的最大聚点.同理，在取区间列{[an,bn]}时，优先挑选左边的子区间，则最后得到的聚点为{xn}的最小聚点.定义2：有界数列(点列){xn}的最大聚点与最小聚点分别称为{xn}的上极限与下极限，记作：=xn，=xn.例1：(-1)n=1，(-1)n=-1；sin=1，sin=-1；==0.定理7.5：对任何有界数列{xn}有.xn≤xn.定理7.6：xn=A的充要条件是：xn=xn=A.定理7.7：设{xn}为有界数列，则1、为{xn}上极限的充要条件是：任给ε>0，(1)存在N>0，使得当n>N时，有xn<+ε；(2)存在子列{x},x>-ε，k=1,2,….2、为{xn}下极限的充要条件是：任给ε>0，(1)存在N>0，使得当n>N时，有xn>-ε；(2)存在子列{x},x<+ε，k=1,2,….证：1、[必要性]∵是{xn}的聚点，∵对任给的ε>0，在U(,ε)内含有{xn}中无穷多项，设为{x}，则有x>-ε，k=1,2,….又是{xn}的最大聚点，∴在+ε的右边至多只有{xn}的有限个项，设此有限项的最大下标为N，则当n>N时，有xn<+ε.[充分性]任给的ε>0，由条件(1)和(2)可知，在U(,ε)内含有{xn}中无穷多项，∴是{xn}的一个聚点.又设a>.记ε=(a-)，则由条件(1)可知，在U(a,ε)内至多只有{xn}的有限个项，∴a不是{xn}的聚点，即是{xn}的最大聚点.2、同理可证。定理7.7’：设{xn}为有界数列，则1、为{xn}上极限的充要条件是：对任何a>，{xn}中大于a的项至多有限个；对任何b<，{xn}中大于b的项有无限多个.2、为{xn}下极限的充要条件是：对任何b<，{xn}中小于b的项至多有限个；对任何a>，{xn}中小于a的项有无限多个.定理7.8：(上、下极限的保不等式性)设有界数列{an},{bn}满足：存在N0>0，当n>N0时有an≤bn，则an≤bn，an≤bn.特别地，若m,M为常数，又存在N0>0，当n>N0时有m≤an≤M，则m≤an≤an≤M.证：设an=a,bn=b，若a>b，取ε=>0，则{an}中大于a-ε=a-=b+=b+ε的项有无限多个.∵bn≥an，∴{bn}中大于b+ε的项有无限多个，与bn=b矛盾，∴a≤b，即an≤bn.同理可证an≤bn.又m=m≤an≤an≤M=M，即m≤an≤an≤M.例2：设{an},{bn}为有界数列.证明：(an+bn)≤an+bn.证：设an=A，bn=B，则对任给的ε>0，存在N>0，使当n>N时，有an<A+，bn<B+；∴an+bn<A+B+ε.由上极限的保不等式性得(an+bn)<A+B+ε.由ε的任意性得(an+bn)≤A+B=an+bn.定理7.9：设{xn}为有界数列，则1、为{xn}上极限的充要条件是：={xk}.2、为{xn}下极限的充要条件是：={xk}.证：1、[必要性]设xn=(为有限值).则对任给的ε>0，{xn}中大于+的项至多有限个.设这有限个项中下标最大者为N，则当n≥N+1时，xn≤+，∴{xk}≤+<+ε.又{xn}中大于-ε的项有无限多个，∴对一切n，有{xk}>-ε.∴当n>N时，有-ε<{xk}<+ε.∴{xk}=.[充分性]设{xk}=(为有限值).设An={xk}，则{An}递减，∴=inf{An}，即对任给的ε>0，存在N，使AN<+ε，∴当n≥N时，xn<+ε，即{xn}中大于+ε的项至多有限个；又对一切n，有An≥>-ε，∴{xn}中大于-ε的项有无限个，∴xn=.2、∵(-xn)={-xn}=-{xn}，又(-xn)=-xn，∴xn={xk}.注：对非正常点±∞，以上定理皆成立.习题1、求以下数列的上、下极限：(1){1+(-1)n}；(2){(-1)n}；(3){2n+1}；(4){sin}；(5){sin}；(6){}.解：记原数列为{xn}.一般地，若P为自然数，且xkp=A0,xkp-1=A1,…,xkp-p+1=Ap-1存在，则对∀ε>0，存在自然数N，使得当k>N时，Aj-ε<xkp-j<Aj+ε(j=0,1,…p-1).设min{A0,A1,…,Ap-1}=A，则小于A+ε的xn有无限项.若对某个正数ε，数列{xn}中小于A-ε的xn有无限项，设它们是x,x,…,x,…，(n1<n2<…<nj<…).∵自然数集N可分为有限个子集：{kp|k∈N},{kp-1|k∈N},…{kp-k+1|k∈N}，且nj有无限个，∴以上p个子集中，必有一个(设为第j个)含有无限个nj，即有n=kip+j(i=1,2,…).∴x=xp+j=Aj.∴Aj≤A-ε<A与A最小矛盾.∴xn=min{A0,A1,…,Ap-1}.同理可得xn=max{A0,A1,…,Ap-1}.(1)∵x2k-1=0，x2k=2，∴xn=0，xn=2.(2)∵x2k-1=-，x2k=，∴xn=-，xn=.(3)∵xn=+∞，∴xn=xn=+∞.(4)∵x8k-7=x8k-5=，x8k-6=2，x8k-4=x8k=0，x8k-3=x8k-1=-，x8k-2=-2，∴xn=-2，xn=2.(5)∵sin==π，∴xn=xn=π.(6)∵x3k-1=x3k-2=x3k=1，∴xn=xn=1.2、{an},{bn}为有界数列.证明：(1)an=-(-an)；(2)an+bn≤(an+bn)；(3)若an>0,bn>0，则anbn≤anbn；anbn≥anbn；(4)若an>0,an>0，则=.证：(1)设an=a，则对任给的ε>0，小于a-ε的an至多有限项，小于a+ε的an有无限项，即{-an}中大于-a+ε的至多有限项，大于-a-ε的有无限项，∴(-an)=-a,即an=-(-an).(2)设an=a，bn=b，(an+bn)=c，若a+b>c，则对任给的ε>0，有无限个n，使得an+bn<c+ε，取ε0=(a+b-c)>0，则有无限个n，使an+bn<c+(a+b-c)=(a+b+c)=a+b-(a+b-c)=a+b-ε0.又an=a，bn=b，∴至多有有限个n和有限个m，使得an<a-,bm<b-.设分别有p个an项，和q个bm项满足以上条件.则满足an+bn<a+b-ε0的n至多有pq个，矛盾.∴a+b≤c，即an+bn≤(an+bn)；(3)设an=a，bn=b，anbn=c，若ab=0，∵anbn>0，∴c≥0.即0=ab=anbn≤c=anbn，成立.若a>0,b>0，设ab>c，任取ε>0，使ab-c>ε>0，则有无限多项满足anbn<c+<c+(ab-c)=(ab+c)=ab-(ab-c)<ab-<ab-+.又至多有有限项(设为p项)满足an<a-,且有限项(设为q项)满足bm<b-,从而至多有pq项满足anbn<(a-)(b-)=ab-+，矛盾.∴anbn≤anbn.同理可证：anbn≥anbn；(4)设an=a>0，则对任给的ε>0，取ε充分小，使ε<a，且aε<1，令ε1=>0，ε2=>0，则{an}中小于a+ε1=的项有无限多个，小于a-ε2=的项至多有限个，则{}中大于=-ε的项有无限多个，大于=+ε的项至多有限个，∴==.3、证明：若{an}为递增数列，则an=an.证：若{an}有界，则由单调有界定理知，an存在，且an=an.若{an}无界，则an=+∞，从而对任