第2.1练 函数的概念及其表示（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数第2.1练函数的概念及其表示一、单选题1．下列函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】选项A：的定义域为，故不正确；选项B：的定义域为，故不正确；选项C：的定义域为，故正确；选项D：的定义域为，故不正确；故选：C.2．已知函数，则的值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】因为函数，所以，所以，故选:D.3．已知函数，若，则（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由函数，可作图如下：

由方程，则，即，解得..故选：B.4．已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C.5．下列四组函数中与是同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数.D选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.故选：C6．已知函数，则（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】A【详解】因为，所以，故选：A7．已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，又，所以，则，故选：C.8．已知函数的定义域是R，值域为，则下列函数中值域也为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据函数的定义域为，值域为，可知，的值域为，的值域为，的值域为，的值域为，故选：B9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．B．的最大值为1C．的最小值为0D．在上的值域为【答案】C【详解】对于A，，，所以，A错；由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1；当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1；绘制函数图象如图所示，

对于B，由图可知，当，没有最大值，B错；对于C，由图可知，当，的最小值为0，C对；对于D，由图可知，在上的值域为，D错.故选：C10．一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一的也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称是函数的反函数，记作.在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式.例如函数的反函数为.设，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，则，由，根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，故的值域为.故选：D二、多选题11．下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C．+ D．【答案】AC【详解】A选项，依题可知，且，所以，故A正确；B选项，依题可知，所以，故B错误；C选项，依题可知，且，所以，故C正确；D选项，依题可知2，所以，故D错误，故选：AC.12．与表示同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】定义域为，且.对于A：，定义域也为，故A正确；对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；故选：AC.13．已知函数，则（

）A． B．C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点【答案】ACD【详解】令，得，则，得，故，，，A正确，B错误.，所以在上单调递增，，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.故选：ACD14．中文“函数.（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（

）

A．与表示同一函数B．函数的定义域是C．已知函数，则在区间的值域为D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像【答案】AC【详解】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，所以与表示同一函数，A对；对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以在区间的值域为，C对；对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.故选：AC15．存在函数，对任意都有，则函数不可能为（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件；对于B选项，，所以，故满足条件；对于C选项，取和，可得，，矛盾，C不满足条件；对于D选项，，则，单调递增，且，即为奇函数，图象如下所示，所以值域为，D满足条件.故选：AC.三、填空题16．设函数，且，，则的解析式为____________．【答案】【详解】因为函数解析式为，则，则，由可得，，解得，所以.17．定义：表示不超过的最大整数，，.已知函数，，则函数的值域为______.【答案】/【详解】因为，当时，函数为减函数，所以，所以；当时，函数为减函数，所以，所以；综上所述：的值域为.故答案为：18．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为______.【答案】【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，结合一元二次方程的性质，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：19．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的轨迹方程是，且，则使的x的最小正值为________.【答案】/.【详解】“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．点P的运动轨迹如图所示，根据图像知，满足的x的最小正值是.故答案为：.20．定义函数，设，若含有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是______．【答案】或【详解】设，，由，解得，；由于含有3个不同的实数拫，所以有两个相等的实根或者两个相异的实根，则，即，解得，或.当时，，解得，又，满足题意；当时，如下图，的对称轴方程，，则有4个根，不合题意，舍去；当时，，解得，即，含有2个不同的实数拫，不满足题意；当时，如下图，，若含有3个不同的实数拫，则，解得；综上，或.故答案为：或.四、解答题21．求下列函数的定义域：(1)；(2)．【详解】（1）由题意得，解得且，所以函数的定义域为.（2）由题意得，解得，故函数定义域为．22．已知函数其中，.(1)求与的值；(2)求的最大值.【详解】（1）,.（2）当时，为增函数，，当时，为增函数，，因为，所以的最大值为.23．用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域．【详解】，图象如图所示，

函数的定义域为，值域为．24．如图，在直角梯形OABC中，已知，且，梯形被直线截得位于直线l左方图形的面积为S．

(1)求函数的解析式；(2)画出